债券价值与利率期限结构

精心整理第三章现值、债券价值与利率期限结构2007.10.1第二章介绍了财务管理中最重要的概念：货币的时间价值（timevalueofmoney）。货币的时间价值就是决定本期货币价值和未来期间货币价值间的关系。本章将第二章的现值概念由一期的架构延伸为多期的架构，接着将利用多期架构下的现值公式讨论各种债券的价值以及长短期利率间的关连。在多期架构下，除了将不同时间的现金流量转换为以相同时间的货币来衡量外，还须考量不确定性。此时，投资决策者计算现值时应如何适切考量风险因素？本书第十章将讨论存在风险情形下，如何调整折现率以计算现值及净现值。本章暂不考虑风险的存在如何影响净现值的计算，但先以例子说明风险因素如何影响投资决策。例子：台艺画廊正考虑以40万元购入一幅王秋香40号油画，预计此画明年售出可得款48万元，这项投资计划的现金流量图为现金收入48万元01现金支出-40万元目前银行存款利率为10%，请问该画廊是否应购入这幅画？一般而言，现金流量图中48万元现金收入不应视为事先确定的数字，最多只是预测值。若台艺画廊忽略投资画作和存款间风险的差异，而以存款利率10%做为购置的资本机会成本(opportunitycostofcapital)，则下一期出售画作价款的现值为。由於43万6364元的现值高於本期购画成本40万元，画廊似乎应选择此项投资计划。由於艺品投资的风险远较存款为高，不宜以存款利率做为资本机会成本（或称折现率），而恰当的折现率应比10%为高才能合理反映此项投资计划的风险。经过仔细评估，画廊廖老板认为25%才能反映购画计划的风险，亦即25%才是合理的资本机会成本。此时，下一期出售油画价款现值变为，而此项投资计划的净现值为负：384,000元元=元依据第二章的净现值法则，画廊不应选择此项投资计画。由於投资决策涉及投资计画执行期间现金流量的评估，而未来又充满不确定性，这个例子说明公司经营阶层如何选择恰当的折现率是投资决策过程中最大的挑战。1.复利计息的威力黄朝贷出手中的1万元现金後，下一期将有本金加利息的现金收入：(1+r)万元，r为市场均衡利率。黄朝若将所得的(1+r)万元再贷出一期，由於已将前期所赚的利息r万元做为下一期的本金再生利息，这个过程称为复利计息（compoundingprocess）。第二期结束後，黄朝可取得的投资收益为，式中r2表示将第一期收到的利息（r万元）做为第一期可贷出的本金，在第二期所赚到的利息，即息生息。2r表示两年期间单利计息所赚取的利息。两相比较可知：以复利计息所赚取的投资收益和单利计息所赚取的投资收益两期後金额相差r2万元。两期後黄朝将收到的(1+r)2万元再贷出一期，第三期结束後本金加利息的现金收入变为式中3r万元是三年期间以单利计息方式所得到的利息收入，而（3r2+r3）万元则是以复利计息方式所算出第一期利息以及第二期利息再透过息滚息过程所创造的额外现金收入，（）万元即为以复利计息方式所得到的利息总收入。复利计息和单利计息最不同之处在於单利计息的计算是不将前期的利息做为未来的本金，故三期後两者的差异变为（3r2+r3）万元。复利计息过程中息生息的威力到底有多大？表3-1列举单利计息以及复利计息所得到投资收益的差异。两种计息方式在第一期没有差别，二期以後期末余额亦只有1元(100元?10%?10%)的差异。20年後，单利计息所算出的期末投资收益为300元，而以复利计息方式所算出期末投资收益高达673元，两者差距已有一倍以上。其後的差异呈成长。举例说，50年後，单利计息所算出的期末投资收益为600元，若以复利计息所算出的期末投资收益为11,739元，两者差距已接近二十倍。表3-1本期投资100元各期期末的投资收益（r=10%）单利计息复利计息期数期初本金+利息期末余额期初本金+利息期末余额1100+10=110100+10=1102110+10=120110+11=1213120+10=130121+12.1=133.14130+10=140133.1+13.3=146.410190+10=200236+24=25920290+10=300612+61=67350590+10=60010,672+1,067=11,7391001090+10=11001,252,783,+125,278=1,378,0612002090+10=210017,264,116,020+1,726,411,602=18,990,527,6222102190+10=220044,778,670,810+4,477,867,081=49,256,537,891接下来，再以1926年到1996年这段期间，投资美国股市的年平均报酬率为例说明复利计息的威力。若在1926年初投资美国股市1美元，到了1996年底投资收益变为1370.95美元：，经过计算，投资美国股市71年的平均报酬率（r）为10.71%。10.71%的年平均报酬率看起来似乎不高，但经过71年的复利计息过程，当初投资1美元71年後竟会创造1370.95美元的投资收益，而复利计息的威力正在於前期利息可投入本期及未来各期的本金再用於生息，这也是息生息的威力所在。假若将1370.95元元再投资70年，1926年所投资的那一块钱，在2066年所创造出来的投资收益将变为187万9503美元。复利计息的威力亦可用於解释为何上一代遗产大都不赠与给下一代而是赠与给下一代的下一代。父母都宁愿让其孙徒辈变得比较有钱，而非让子女辈变得稍微有钱。2.多期架构下的现值公式截至目前，我们所讨论的都仅止於一期的投资计划，本节将现值与净现值的概念延伸到多期架构。依第1节复利计息的讨论，若本期投资支出为C0，则T期後所创造的投资收益(T期期末终值)为FV(T)=,式中r0T为第0期时投资T期的年利率，FV(T)为本期现金流量C0在T期结束时的终值，而T表示投资终止时间。若市场均衡年利率为9%，本期贷出1元，由终值公式两期後就可创造出1.1881元的投资收益。换一个角度看，若我们希望在两期後能有1元的收入，市场均衡利率为9%情形下，请问本期应投资多少？这个问题可用下列公式呈现PV元,式中PV即为两年後1元的现值。现值所表现的是两年後的1元以本期货币衡量所得的价值：PV=。这个计算现值的过程称为折现（discountingprocess）与复利计息正好相反。以折现方式计算现值是将未来期间的货币转换以本期货币来衡量，而复利计息则是将本期的货币价值转换为以未来某特定期间的货币来衡量（即复利计息等同於计算终值）。如何验证0.84168元的确是两年後1元的现值？我们可利用复利计息公式来检证。0.84168元以9%利率贷出一年，一年後可取得的本金加利息金额为0.84168元（1.09）=0.91743元。若将0.91743元再贷出一年，所得的本金加利息正等於1元：1元=0.91743元=也就是说，市场均衡利率为9%情形下，本期的0.84168元和两年後的1元等值。9%称为折现率（discountrate），而1/(1.09)2（或0.84168）称为现值因子（presentvaluefactor，以PVF简记）。我们可利用现值因子将未来的现金流量转换以本期货币衡量。例子：阿辉购买台北银行所发行的第一期对对乐彩券中了头奖，奖金100万元。阿辉想将它存入银行，计划五年後将本金及利息用於购车，而阿辉看上的车子其车价为161万500元。假设五年内车价不变，若阿辉将这笔奖金存入银行，请问市场均衡利率水准应是多少才让她五年後有足够钱支付车款。首先，本期存入100万元五年後所得到的本金加利息的金额可用以下现金流量图表示：现金支出-100万元05现金收入161万500元由终值的公式可得：100万元=161.05万元，简单计算可解出r为10%。在财务管理课程中，计算利息时，都以复利方式计息。由本节的讨论亦可清楚看出：折现其实就是一种复利计息的反向应用。在实际说明现值概念时，我们经常以本期投资100元，若市场均衡利率为10%时，请问一年後该投资者会有多少投资收益？替代假设均衡利率为10%，请问一年後100元的现值为多少？第一个问题的答案是100元1.1=110元，而第二个问题的答案则是=90.9元。也就是说，折现是将复利计息过程时间倒转过来，将未来的货币价值转换为以本期货币衡量的价值。综上所述，第n期现金流量(Cn)折现为以本期货币衡量的公式为式中r0n为n年期纯折现率(或称为n年期年利率)，n?1。投资计画所创造的现金收入不只限於未来的某一期，可能持续数期。此时计算各期现金流量现值的概念不变，先将各期现金流量一一转换以本期货币衡量的价值，这些价值的加总就得到现值。假设某投资计画在第1期至第n期间，预期第i期现金收入为Ci，i=1,2,n，则这n期现金收入的现值为PV=，（1）式中r0i为第i期的纯折现率。若本期的资本支出为C0（由於C0是现金支出，故以-C0表示），则此投资计画的净现值为NPV=。（2）一般而言，长短期年利率（或各期纯折现率）并不相同。假设长短期年利率相同：，则现值公式变为，而净现值公式亦简化为。由第二章的讨论可知，利率（r）不仅影响经济个体的储蓄意愿，亦影响厂商的投资意愿。假设某一四年期投资计画所需的资本支出为10亿元，未来四年每年能创造3亿元的现金收入。假设市场均衡利率为5%，则此项计画的净现值为NPV=亿元若利率上升到9%，此项计画净现值降为NPV=亿元由於利率上升（折现率变大）导致投资计画变为无利可图，亦即利率和净现值间存在反向变动关系，这也是为何大多数国家央行当经济景气不好时，常运用降低利率方式刺激厂商投资，或是景气过热时，以提升利率降温。3.几个常用的现值公式本节将介绍几个常用的现值公式：3.1 永续年金（perpetuity）3.2 成长型永续年金（growingperpetuity）3.3 年金（annuity）3.4 成长型年金（growingannuity）3.1永续年金永续年金是每期给付固定金额的现金流量且无终止给付的日期。永续年金最佳的例子为英国政府所发行称为Consols的公债。Consols公债持有人每期都可收到固定金额的票息（couponpayment）。此永续年金的现值应如何计算？以C表示永续年金持有者每期应收到的固定给付金额，其现金流量图为现金流量CCC时点012n将各期现金流量代入现值公式可得：PV=式中最右边的三点表示这个数列一直持续下去，r为资本（机会）成本。只要r大於零，上式右边的总和为有限值，其可化简为PV=。永续年金的价值就是未来各期固定金额现金流量（C）的现值，亦是永续年金持有者对持有此份永续年金所愿意支付的最高价格。永续年金的持有者若打算未来各期以其所取得票息收入做为该期消费支出的财源，则她可永远维持这个消费水准而不必担心未来各期消费支出的财源。C/r就是她为了永远维持这种消费水准在本期所必须提存的金额。将C/r存入银行，从下一期开始，她每期可支领的票息收入为票息收入=C若将此票息收入用於消费支出，则每期可以消费金额就等於该期票息收入且可永远运作下去。例子：某一永续年金未来每年将给付给永续年金持有者1000元。若资本机会成本为8%，请问此永续年金的价值？利用永续年金的现值公式可算出该永续年金现值：PV1=元。若机会成本降为5%，永续年金的现值变为PV2=20,000元。此例可知永续年金的价值（PV）和资本机会成本（r）呈反向变动关系。3.2成长型永续年金成长型永续年金和永续年金不同之处在於成长型永续年金持有者每期所收到的票息收入是以固定成长率逐年增加。亦即，成长型永续年金的现金流量图为现金流量CC（1+g）C（1+g）N-2 C（1+g）N-1时点012N-1N成长型永续年金的现值为PV=+?+?式中C为第一期的现金流量，C?（1+g）N-1为第N期的现金流量，g为息票收入的年成长率，r为折现率。若rg，则成长型永续年金的现值可简化为PV=例子：许根在淡水拥有一栋公寓，计划将此公寓分租给当地学生，预计下年度的房租总收入为10万元。许根在房租契约上，明订房租和物价指数连动，即房租租金率按物价膨胀率调整。许根预测未来各年度年平均物价膨胀率为3%。假设目前市场均衡利率为8%，请问许根将此公寓出租後未来各期可收到房租的现值为多少？未来各期都有房租收入且房租收入随物价膨胀率调整，故每年房租收入不再是固定值，而是依某固定成长率（3%）增加，此种现金流量型态就是成长型永续年金。将r=8%以及各期房租收入代入成长型永续年金现值公式可得PV=+?+?=200万元应用成长型永续年金公式时，必须注意以下几点：?现值公式中分子的C值，系指下一期而非本期的现金流量。?成长型永续年金现值公式成立的条件是rg。若gr，由於现金流量成长速度大於折现速度，此将造成各期现金流量的现值不再是有限值。换句话说，未来的现金流量随着时间愈久远，对本期价值的影响愈强，此和一般现值概念相违背。一般现值概念应是未来现金流量的重要性会随着时间愈久远而变小。?成长型永续年金的现值公式中，假设每期取得现金收入一次。3.3年金年金系指在固定且有限期间内，每期给付固定金额的现金流量。大部分财务工具现金流量型态属於年金型式，退休年金或房贷都是年金标准例子。年金可用以下的现金流量图表示现金流量CCC时点012T年金的现值可直接以下列公式算出：PV=+?+式中现金流量是由第1期持续到到第T期，每期现金流量为固定值C。以下将利用永续年金的现值公式说明如何计算年金的现值。首先，我们考虑两个永续年金A和永续年金B，两者差异在於年金现金流量给付的起始点不同：永续年金A给付起始点为第1期，永续年金B给付起始点为第T+1期。永续年金A：CCCC012TT+1永续年金B：CCT+1T+2永续年金A以第0期货币所算出的现值为：PVA(0)=，而永续年金B以第T期货币所算出的现值亦为：PVB(T)=。由於PVA(0)和PVB(T)并非以相同时点的货币衡量所得的价值。两者衡量基准不同。若要比较，我们应先将PVB(T)的转换为以第0期货币衡量的价值：=此时，PVA(0)和PVB(0)之差就是年金的现值：PV=(0)(0)=若给付期间愈长（T值愈大），则PV的值愈接近C/r（当T值愈大，愈接近0）。一般应用现值公式时，多是知道投资计画执行期间或金融资产持有期间各期现金流量以及折现率，然後利用现值公式（式（1）或净现值公式（式（2）算出投资计画净现值或金融资产现值。然而，式（1）亦可在现值（PV）及折现率（r）已知情况下，求算各期现金流量。计算贷款每期应偿还金额就是最佳例子。举例说，ABC公司决定新增一条生产线，资本支出金额为12亿元，ABC公司财务部门决定向银行举借10亿。银行核准的条件为分十年平均摊还，每年年度结束时还款，下年度开始偿还，年利率为8%。若ABC公司同意此项条件，请问ABC公司每年度应偿还的金额？依银行贷款条件，此项十年期贷款的现金流量图为CCCC012-10亿元银行本年度贷给ABC公司10亿元现金，未来十年每年ABC公司应偿还C的金额。银行之所以愿意贷款给ABC公司，必然是因为银行预期未来十年每年度所收到C以年利率8%计算的现值不低於10亿：10亿元=C?=C?6.71由上式就可算出ABC公司每年应偿还的金额C=未偿还借款余额等於至到期期限前借款人应偿还金额的现值。以下的例子将说明如何计算未偿还借款余额。例子：朱一十年前向银行借款3000万元用於购买新店豪宅，年利率为7.8%，期限为30年。由於目前银行房贷年利率低於7.8%，朱一打算举新还旧以减轻利息负担。朱一须先算出还有多少本金尚未偿还（或未偿还借款余额）？每年偿还12期，30年就有360期，此项三十年期借款的现金流量图为-C-C-C-C-C01233593603000万元年利率为7.8%，故月利率为0.65%（=7.8%12）。利用年金现值公式可算出每月应偿还的金额（C）：=21万5960元目前朱一的房贷未偿还余额等於未来20年每月偿还21万5900元的现值：未偿还余额=21万5960元?=2620万7590元由於朱一每月固定偿还的金额（C）包含利息及本金两部分，朱一还想知道去年一年她支付多少利息。每月要偿还21万5960元，一年总共偿还259万1520元，要算出支付多少利息须先算出去年一年朱一偿还多少本金。一年前，朱一房贷的未偿还余额为21万5960元?=2673万2480元与本年度未偿还余额相比较可知朱一去年偿还本金的金额为2673万2480元2620万7590元52万4890元，故去年一年朱一缴纳的利息为259万1520元52万4890元206万6630元3.4成长型年金成长型年金和年金不同处在於给付期间内，每期现金流量是以固定成长率增加：现金流量CC(1+g)C(1+g)T-2C(1+g)T-1时点012T-1T依3.3节年金现值计算方式，成长型年金的现值为：PV=式中C为第一期支付金额，g为支付金额的成长率，r为利率，T为成长型年金持续期间。例子：朱胖将自某国立大学经济系研究所博士班毕业，某科技大学提供朱胖助理教授一职，年薪60万元。朱胖预估她的年薪每年调升3%，朱胖目前25岁，距65岁退休年龄还有40年任职期间。目前，市场均衡利率为14%，请问朱胖往後40年任教期间的年薪现值为多少？为简化计算，假设年薪60万元是在第一年年终一次给付，而以後各年年薪给付亦依此方式，依成长型年金公式可得=515.46万元4.复利计息频率与有效年利率前几节有关投资收益或现值的讨论都假设一年计息一次。一年内复利计息次数若超过一次，复利计息（或折现）次数对终值或现值将有何影响？举例来说，银行存款年利率为10%，每半年复利计息一次。许根於本期期初存入1000元。半年後，本金加利息的金额为1000元,再过半年（此时存款正好满一年），本金加利息的金额就变为1050元。若每年复利计息一次，一年後本金加利息的金额为1000元1.1=1100元。两相比较，每半年复利计息一次较每年复利计息一次可多得2.5元。由於复利计息和单利计息最大不同就是复利计息所创造的利息可做为未来的本金再生利息，所以，同一期间内复利计息次数愈多，就会有愈多的利息可更早转为本金再生利息。假设每季复利计息一次，一年後本金加利息所得的金额为1000元元这个金额又比每半年复利计息所得的金额（1102.5元）为多。假设每年复利计息m次，本期期初存入C0元。一年後，本金加利息的金额为上面的公式适用於一期本金与利息的计算。在多期的情形下，每期复利计息m次，下期後C0的终值变为：式中T为计息终止期间。为了方便比较不同复利计息频率情形下，同一期间的平均投资报酬率，我们以有效年利率（effectiveannualinterestrate，以EAIR简记）来衡量不同复利计息频率（m）的年平均投资报酬率：EAIR=例子：黄朝考虑在本期期初借出100万元，年利率为24%，利息计算将采复利计息方式，每月计算一次。请问一年後，投资收益有多少？100万元万元。此时，有效年利率（EAIR）为26.82%=%5.债券的评价本节将利用现值公式说明如何计算无违约的风险债券价值。持有债券期间，持有者将依债券上约定的时间取得现金流量的给付，这些现金流量的现值就是债券持有者持有此债券所愿意付出的最高价格。债券简单的说就是标示资金借入者（债券发行者）未来各期应偿付多少金额给债券持有者的凭证。债券至少应包括以下几个组成要素：面额，到期期限（maturity），息票给付以及面额偿还方式。举例说，高雄市政府於2004年发行面额（facevalue，以FV简记）100万元的公债1万张，债券息票率（couponrate，以简记）为5%，期限五年，每年给付息票一次，公债到期後一次还本。由这个例子，我们知道高雄市政府公债的组成要素包括： 面额：公债面额为100万元。此次高雄市政府公债发行总金额为100亿元（1万张100万元）。 票息给付：票息金额计算公式为面额?息票率（FV）。高雄市政府必须在每年年度结束时支付给债券持有者5万元（100万元5%）的票息（couponpayment）。 到期期限（maturity）：何时债劵持有者收到最後一次应给付的金额。 面额偿还方式：债券七年後到期时，高雄市政府除了必须支付债券持有者5万元票息外，还需支付100万元的面额。不同的组成要素就形成不同的债券型式。以下将介绍几种常见债券以及其价值决定公式。5.1零息债券零息债劵（zero-couponbond）或称纯折现债券(purediscountbond)是型式最简单的债券，它承诺在未来某一特定时点（即到期日）做单一的给付。假若未来的时点是指一年後，则称为一年期纯折现债券；若未来特定时点是指两年後，则称为两年期纯折现债券。给付的日期则为债券的到期日（maturitydate），而给付金额为债券面额（以FV简记）。由於债券持有者在持有期间不会有任何票息，只在到期日收到等於债券面额的给付，这也是为何此类债券称为零息债券。1981年，美国百事可乐公司曾发行30年期零息票债券，发行金额总计8亿5000万美元。此为美国债券市场上首次发行长期零息票债券。此种债券吸引不少短期不需要资金但期望长期有确定投资收益的投资者（如：退休基金以及法人投资机构）的购买。其後，美国财政部亦於1985年开始发行零息债券。举例说，T期零息债券的现金流量图为FV息票收入0T债券价格-式中FV为零息债券的面额，T为债券到期日。P0为零息债券当期价格。利用现值公式可算出零息债券的价值（PV）：PV=。若零息债券价格（P0）大於持有该债券的价值（P0PV），表示取得零息债券的成本大於持有债券预期投资收益的现值（即债劵的价值），此时投资者不会持有这个债券。只有P0PV时，投资者才有持有的意愿。若债券市场为完全竞争市场，透过市场价格调整机制纯折现率会让T期零息债券市场均衡价格（P0）等於其面额（即持有期间收益）的现值（PV）：，(1)式中即为T年期零息债券殖利率(或称为纯折现率)。为突显和其他债券平均报酬率不同，以T年期纯折现率称之。假设20年期纯折现率为10%，ABC公司发行面额100万元的20年期纯折现债券，债券价格应为：元亦即，20年期纯折现债券的价格约略等於面额的15%。5.2 永续型息票债券永续型息票债券并无到期日，而是每期给付一定金额的票息给债券持有者，此种债券属於永续年金的型式亦称为永久型债券（permanentbond）。18世纪中，英格兰银行（BankofEngland）曾发行“EnglishConsols”永续型息票债券，持有者可永远按期领取息票，时至今日，这种债券仍在市场上交易。美国政府为筹集巴拿马运河建造费用曾发行永续型息票公债，但这种债券和英国政府所发行的不同处在於它附有买回条款，美国政府可随时买回这种债券。由於此项买回条款，此种债券亦因美国政府陆续买回已不复在市场流通。我们可用永续年金现值公式计算债券的价值。假设目前永续型息票债券的资本成本（折现率）为10%，若永续型息票债券承诺每年给付50元票息，则债券的价值为500元=。公司发行的特别股亦是永续型息票债券的一种。特别股如同普通股由上柜、上市公司发行，但它和普通股不同处是特别股必须每期给付固定金额的股利所得(请见第十一章说明)。假若公司每年皆能如期付出股息，则特别股可视为永续型息票债券。5.3 息票债券大部分的债券皆属於此种类型。息票债券(couponbond)最大特色是到期日之前债券发行者必须定期给付息票予债券持有者，其现金流量图为息票收入CCCC+FV012?T-1T债券价格-P0图中C为息票债券的票息金额（C=FV），T为债券到期日。息票债券和零票息债券的差别在於息票债券持有者从第一期至到期日每期都有票息收入，息票债券和永续型息票债券的差别则在於息票债券有到期日之有无。息票债券的价格应如何计算？先算出到期日前各期应给付的息票金额（=FV），然後运用现值公式算出该债券的本期价格：=?+，式中称为到期殖利率（yieldtomaturity或称为息票债券殖利率）。持有债券的资本机会成本（r）决定持有息票债券的价值，我们亦可由此角度来看息票债券价格(P0)和单一折现率(r)之间的关系。若息票债券价格为P0，到期殖利率（）就是持有息票债券的平均报酬率，因为是让息票债券持有期间各年度现金收入现值等於当期价格（P0）的折现率。例子：高雄市政府准备发行七年期息票债券，债券年息票率（）为13%，面额为100万元，每年六月以及十二月各发放息票一次。假设到期殖利率（k07）为10%，请问息票债券的价格为多少？首先，我们计算到期日前各期的息票给付金额。债券的面额为100万元，年息票率为13%，故年票息金额为13万元=100万元13%，由於每半年给付一次，故每次给付票息金额（C）应为6.5万元（100万元6.5%）。将各期现金收入以及到期殖利率（10%/2）代入年金现值公式就可算出此息票债券的价格：=?+=114.85万元由於每年半年发放息票一次，依有效年利率（EAIR）的定义可算出此七年期息票债券的有效年殖利率：。接下来探讨债券息票率（）与到期殖利率（kOT）间的关系。首先，以下面的例子说明两者关系。例子：假设两年期息票债券的到期殖利率(k0T)为10%，其息票率为10%，每年给付票息一次，债券的面额（FV）为1000元。请问债券的当期价格为何？此时，债券系以平价售出（即债券价格等於债券面额：P0=FV）。假若两年期息票债券殖利率(k02)由10%上升至12%，此时债券价格变为由於债券价格（966.2元）低於面额，此时债券系折价售出(P0?FV)。若两年期息票债券殖利率(k02)由10%降为8%，债券价格变为1035.67元=+由於1035.67元高於面额，债券系溢价售出(P0?FV)。由息票债券价格决定公式可知，T年期息票债券息票率(rc)和T年期息票债券到期殖利率(k0T)间存在以下关系：?+=FV只要殖利率(k0T)大於零，11/（1+k0T）T0，1-（1+k0T）T以及（1+k0T）T可分别视为rc/k0T与1加权平均值的权数。若息票率(rc)大於到期殖利率(k0T)，则上述加权平均值大於1，此时，债券价格（P0）大於债券面额（FV）。若息票率等於到期殖利率，则加权平均值为1，息票债券价格等於债券面额。最後，若息票率小於到期殖利率，则加权平均值小於1，债券价格小於债券面额。我们可归纳出息票率与到期殖利率间的关系： 债券价格等於债券面额时，息票率等於到期殖利率。 债券价格低於债券面额时，息票率低於到期殖利率。 债券价格高於债券面额时，息票率高於到期殖利率。6.纯折现率与利率期限结构长短期零息债券殖利率r01,r02,r0T与不同到期期限零息债券价格一样不必然相等。不同到期期限的零息债券殖利率（即纯折现率）：r01、r02、r0T和到期期限间的关系就构成利率期限结构(termstructureofinterestrates)。下图表现利率结构中的三种基本类型。r0TABC0T（到期期限）类型A表示随着到期期限（T）变长，零息债券殖利率（r0T）呈现上升趋势，而类型C正好相反，呈下降趋势，类型B则呈现长短期无息票债券殖利率水准不受到期期限的影响。【图3-1】显示2004年、2005年及2006年1月美国政府发行的不同到期期限息票债券到期殖利率。由【图3-1】可清楚看出各年度长短期利率关系差异极大。2006年1月时，利率到期期限结构较接近类型B，而2004年1月的利率到期期限结构则较接近类型A。接下来将说明如何利用利率期限结构的预期假说（expectationhypothesis）解释为何长短期利率会不相同。朱一手头有一笔现金，想全数投资於零息债券两年。此时她有两种投资机会可供选择：持有一个两年期零息债券或持有两个一年期零息债券。第一种选择下，本期投资一元，两期後的投资收益为(1+r02)2，至於第二种选择，本期投资一元，两期後的投资收益为（1+r01）?（1+），式中是在第一期发行的一年期零息债券到期殖利率（r12）的预期值。假设朱一为风险中立(risk-neutralagent)投资者，她的投资决策完全取决於这两种投资机会的预期报酬率何者较高。均衡时市场价格调整机制让这两种投资机会应有相同的预期投资收益（否则会出现套利机会）：。上式可进一步导出两年期纯折现率（）与一年期纯折现率（）间的关系：。换句话说，两年期纯折现率（r02）和一年期纯折现率（r01）间关系决定於市场投资者对下一期一年期纯折现率的预期（）。若预期下一年的一年期纯折现率维持在本期一年期纯折现率的水准（=r01），由上式可知两年期纯折现率和一年期纯折现率应有相同的水准（r02=r01）。若下一年的一年期纯折现率预期值（）较本期的一年期纯折现率（r01）为高（r01），则两年期纯折现率（r02）将较一年期纯折现率（r01）为高。若r01，则r02r01。若将两期的概念扩展到n期且假设市场投资者皆为风险中立。均衡状态下，各种投资机会的预期报酬应完全相同。举例说，持有一个n年期到期期限零息债券投资收益为（1+r0n）n，而持有n个一年期到期期限无息票债券投资收益为（1+r0n）（1+）（1+ren-1,n）。均衡时，两种投资选择的预期投资收益应该相同：（1+r0n）n=（1+r0n）（1+）（1+ren-1,n）。经过简单计算可得下式：式中rn-1,n，n1为第n-1期的一年期纯折现率，而ren-1,n则为rn-1,n的预测值。上式表示n年期纯折现率（r0n）是本期一年期纯折现率（r01）和未来n-1期各期的一年期纯折现率预期值的几何平均值。不同的n值，就可算出不同年期纯折现率和一年期纯折现率间的关系。当X值小於7%时，?n（1+X）X，式中?n（X）系指X的自然对数值。我们可利用这个近似关系式将上式简化为(3)此为所谓的利率期限结构的预期假说：长短期利率的关系（r0n和r01间关系）反映投资者对未来的n-1期间一年期纯折现率的预测。举例说，若投资者预期未来一年期纯折现率将持续上升（ren-1,nren-2,n-1rr01），则存折现率（r0n）必然会随到期期限（n）变长而上升。解释长短期利率差异另一个有用的概念是远期利率（forwardinterestrate）。远期利率简单的说就是多持有债券（或金融资产）一期所能取得的边际报酬率（marginalrateofreturns）。以ft，t+1表示第t期时一年期远期利率。假设市场投资者投资标的皆为零息债券，由纯折现率的定义可推导出ft，t+1有以下的关系：ft，t+1=(4)式中(1+r0,t+1)t+1为第0期投资一元到了第t+1期所得到的投资收益，而(1+r0t)t为在第0期投资一元到了第t期所得到的投资收益。两相比较就可算出在第t期时，多持有零息债券一期的边际报酬率。例子：假设一年期纯折现率（）为7%，两年期纯折现率（）为12%，请问目前一年期远期利率（f01）应为多少？将上述数字代入ft,t+1的定义式可得f0,1=当两年期纯折现率为12%，一年期纯折现率为7%时，投资者若在本期持有一年期零息债券，她应预期下一期一年期零息债券殖利率至少有17.23%的水准，如此才可能让两期的投资收益率不小於1.122。若利率期限结构的预期假说成立，则由式（4）一年期远期利率定义式可得出以下的关系式：ft-1,t=(1+ret,t+1)-1=ret,t+1由以上的推导可知：若利率期限结构的预期假说成立，则一年期远期利率（ft,t+1）是第t期时一年期纯折现率（rt,t+1）的最佳预测值。从实际资料来看，长期利率实际值大多高於由式（3）所算出的长期利率理论值，显示预期假说虽然掌握长短期利率趋势方向，但实际值和理论值之间仍有差距。由於到期期限不同的债券流动性不同，不应视为相同的债券，市场投资者会对不同到期期限债券有不同的偏好。解释长短期利率关系的第二个假说是流动性偏好假说（liquidity-preferencehypothesis）。推导预期假说时，假设市场投资者为风险中立的经济个体（risk-neutralagent）。事实上，大部分的投资者皆属风险厌恶者（risk-adverseagent）。当债券到期期限愈长，债券流动性就会愈低，使得到期期限愈长的债券在持有期间若要变现其实际报酬率就变得愈不确定，市场投资者对於到期期限愈长的债券就愈不喜欢持有。流动性愈低的债券为何风险愈大？原因很简单：当债券持有者在所持有债券到期期限未到之前，基於某些原因必须出售手中持有的债券求现，流动性低就表示出售的价格与当初决定是否持有时对价格所做的预期会有很大的差距，这些价格差异正是债券流动性所衍生的风险。到期期限愈长的债券，流动性愈低以至於风险愈高，投资者持有意愿就会下降。此时，只有支付到期期限愈长的债券较高的报酬率，投资者才愿意持有。只要投资者对流动性不同的债券有不同偏好时，式（3）不再成立。若考虑市场投资者对高流动性债券的偏好，式（3）应变为+termpremium，式中termpremium为到期期限溢酬。到期期限溢酬大於零表示由於市场投资者偏好高流动性债券（此大多为短期债券），市场必须对到期期限较长的债券给予较高的报酬率。7.到期殖利率与收益曲线以不同到期期限息票债券殖利率（kOT）和到期期限（t）间所呈现关系称之为殖利率线(yieldcurve或称收益曲线)。债券市场流通的债券多属息票债券，且息票债券殖利率又不必然等於零息债券殖利率(纯折现率)，到底收益曲线和利率期限结构间存在有何种关连？回答这个问题之前，先以下面例子说明如何利用均衡状态下，不存在套利机会的概念由长短期纯折现率（或长短期零息债券殖利率）推导出相对应的长短期息票债券殖利率。然而再说明无息债券殖利率和息票债券殖利率(纯折现率)间的关连。例子：高雄市政府打算发行两年期息票债券，面额为1000元，息票率为5%，每年给付息票一次。目前一年期零息债券殖利率（r01）为8%，而二年期零息债券殖利率（r02）为10%。假设这两种零息债券和两年期息票债券皆无违约风险。请问高雄市政府可以多少价格出售此债券？首先，两年期息票债券现金流量图为现金收入50元1050元012现金支出P0由於两年期息票债券和一年期及两年期零息债券皆无违约的风险，两年期息票债券的各期现金流量可视为以下两个零息债券现金流量的加总：一年期零息债券（A）：现金收入50元01现金支出P0(A)二年期零息债券（B）：现金收入01,050元012现金支出P0(B)由於r01=8%，r02=10%，我们可利用零息债券价格决定式算出一年期零息债券（A）及两年期零息债券（B）的价值，再予以加总：PV=P0(A)+P0(B)=+=914.06元。均衡时这两种零息债券的价值总和必须等於两年期息票债券的价值，否则就会出现套利机会。利用914.06元可算出两年期到期殖利率(k02)：914.06元=+，简单计算可算出两年期息票债券殖利率（k02）为9.95%。由於k02介於r01和r02之间，两年期息票债券殖利率可视为两年持有期间的平均报酬率。也就是说，k02为一年期无息票债券殖利率（r01）与两年期零息债券殖利率(r02)的加权平均值。接下来，我们探讨收益曲线和利率期限结构间的关系。T期息票债券价格（P0）和T期到期期限息票债券殖利率(k0T)间存在以下关系：P0=+，式中FV为息票债券面额，T为息票债券到期期限，C为每期票息金额（=FV）。只要零息债券和此息票债券有相同风险，我们亦可将T期息票债券各期息票给付以及到期面额的现值视为T个不同到期期限零息债券价值的加总：+=(5)不同到期期限零息债券殖利率(即纯折现率)：r0t，t=1，T构成利率期限结构，而不同到期期限息票债券殖利率：k0t，t=1，T则构成收益曲线。当利率期限结构呈现水平状态（即r01=r02=r0T）时，从式（5）可推算出r0t=k0t，t=1，2，T。此时，收益曲线亦呈现水平状态，且与利率期限结构完全重合（如下图）。r0t,k0tr0t=k0t0 t（到期期限）第二种情况是利率期限结构随到期期限呈现上升状态（即rO1rO2rOT），由式（5）可推算出r0tk0T，1tT。此时，利率期限结构和收益曲线间呈现如下图所显示的关系。r0t,k0tr0Tr01=k01k0T01Tt（到期期限）换句话说，当利率期限结构呈上升趋势时，息票债券殖利率（k0t）会出现低估无息票债券殖利率（r0t）的情形，导致收益曲线上升速度较利率期限结构为平缓。最後一种情况是利率期限结构随到期期限呈现下降状态（r01r02r03r0T）时，由式（5）可得知：此时，k0tr0t，Tt1。由於息票债券殖利率高估零息债券殖利率，亦即，收益曲线下降速度要比利率期限结构为慢，两者关系可用下图表示。k0t,r0tk01=r01k0Tr0T01Tt（到期期限）例子：假设市场有三种不同到期期限的无违约风险息票债券，这三种债券的面额(FV)均为1000元，年息票率()都是20%。债券A为一年期，债券B为二年期而债券C为三年期，息票债券殖利率(k0t)分别为10%，14%及18%。请算出利率到期期限结构。我们先算出这三种息票债券的当期价格。这三种债券年息票率均为20%，且面额又都是1000元，故每期票息金额均为200元（=1000元20%）。利用息票债券价格决定公式可算出这三种息票债券的价格：PA=1091.91元，PB=+=1098.8元，PC=+=1043.49元。算出这三种息票债券价格PA,PB,PC後，再算不同到期期限零息债券殖利率r01,r02,r03。由於一年期息票债券殖利率等於一年期零息债券殖利率，故k01=r01=10%。再将两期息票债券的各期给付拆解为由一年期零息债券（面额为200元）以及两年期零息债券（面额为1200元），我们可利用下式算出两年期零息债券殖利率（r02）：1098.8元=+。算出的r02後，再利用下式算出r03：1043.49元=+，简单计算可得r03=19.2%。最後，收益曲线以及利率期限结构间关系表现於下图。k0t,r0tr0tk0t0123t8.利率期限结构与现值公式长短期纯折现率不相同时，如何利用利率期限结构或收益曲线计算现值或净现值？更具体的说，对投资计划的各期现金流量折现时，零息债券抑或息票债券殖利率为较佳的折现率？例子：假设林金考虑就以下两个投资计画择一执行：年次0123计划A-110285963计划B-110485146目前一年期，二年期以及三年期零息债券殖利率（rOt）分别为10%，13%以及14%。评估这两个投资计划时，林金若忽略无息票债券殖利率所代表的意涵，直接以三年期零息债券殖利率(14%)做为投资计划的折现率，则计划A与计画B的净现值分别是：,由於计划A的净现值较高，故林金应选择计划A。然而上述计算过程却忽略：三年期零息债券利率(r03)只适用於对第三年现金流量折现，并不适用於对第一年以及第二年现金流量的折现。若要计算第二年以及第三年现金流量的现值，林金应选用一年期零息债券殖利率（r01）以及二年期零息债券殖利率（r02）做为折现率。此时，计划A和计划B的净现值变为,此时林金应选择计划B而非原来的计划A。由这个例子可清楚看出：由於零息债券殖利率（纯折现率）不具平均报酬率的概念，只适用於对同期间现金流量折现，若以纯折现率做为折现率，则正确的折现方法应是就不同期间的现金流量以相同到期期间的零息债券殖利率做为折现率。也就是说，对t期现金流入(Ct)应以t年期零息债券到期殖利率（r0t）做为折现率。依此逻辑，n期投资计划的净现值应为若无适当的零息债券殖利率可供使用时，投资决策者计算n期投资计划净现值可选择n年期息票债券殖利率（k0n）做为计划期间内各期现金流量单一折现率，而投资计划的净现值为这是因为息票债券殖利率具平均报酬率的概念。当然，选择折现率时更要注意风险的对等性，即折现率背後所意含的风险必须和投资计划风险相当。习题：1.朱一计划出售位於新店的别墅。林金出价1150万元，付款方式是以现金方式立即一次付清。黄朝出价1500万元，允许免费再使用三年，三年後再以现金一次付清。假设目前市场均衡利率为10%，请问朱一应将别墅出售给谁？2.林金刚接任凯达格兰智库董事长，并拟妥长程发展计画，未来每年打算资助的国家安全研究计画预算为1000万元。三年後，将开始执行此项计画。假设年利率为8%，请问林全本年要募到多少钱才能永续执行此项计画。3.林金5年前以12%年利率向银行借了一笔20年期500万元的房屋贷款。（a）若每个月偿还金