2021考研概率统计全考点习题册答案解析第四讲

2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 45 - 第四讲第四讲 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 4.14.1 设随机变量X与Y具有相同分布: 1 e (0,1,2,) ! P Xkk k =,且 ()2D XY=, 则()=E XY_. 【解析解析】由题意，(1)XP, (1)YP. 2()()( )2Cov(, )1 1 2Cov(, )D XYD XD YX YX Y=+= + . 所以, 0Cov(, )()() ( )X YE XYE X E Y=, 从而()() ( )1E XYE X E Y=. 4.2 4.2 设随机变量( )EX ，()2EXXY=，则_= EYYP. 【解析解析】 () () 22 P YEYP YE XEXP YDXPXEXDX=. 2 2 2 2 0 111112 0 ed1 e . x PXPXPX x = = 4.4.3 3 盒中有 5 个球，其中有 3 个白球，2 个红球从中任取两球，求白球个数X的 数学期望 【解析解析】由题意， 因此 1636 012 1010105 EX =+ + =+ + =. 4.4.4 4 设随机变量X的概率密度为则=, =. ),2 , 1 , 0()( 2 5 2 23 = = k C CC kXP kk , 1 )( 12 2 + = xx exf ()E X )(XD 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 46 - 【解析解析】由X的概率密度函数可知 1 1, 2 XN ,则1EX = =，=. 4.5 4.5 设X表示 10 次独立重复射击命中目标的次数且每次命中率为 0.4,则 = . 【解析解析】(10,0.4)XB,则. 4.6 4.6 设随机变量X服从参数为1的指数分布， 记 max,1YX= =， 则._=EY 【解析解析】X的概率密度 ,0 ( ) 0,0 x ex f x x = ，于是 1 1 01 max,1( )11 xx EYxf x dxe dxxe dxe + =+= + . 【注注】典型错误典型错误：显然1Y ，( )max(,1) Y FyP YyPXy=， 当1y 时，( )0 Y Fy =；当1y 时，( ) 1 y Y FyP Xye= ； 于是： ,1 ( ) 0,1 y Y ey fy y = ，故 1 1 ( )2 y Y EYyfy dyye dye + = . 错误原因错误原因：Y不存在概率密度! 不能按公式( ) Y EYyfy dy + =计算. 事实上，Y既不是连续型随机变量， 也不是离散型随机变量， 而是奇异型 （混合型） ， 1 1 111 y EYP Yye dye + = =+= + . 4.4.7 7 设随机变量,X Y相互独立且分别服从均匀分布()0,6U及泊松分布( )2P，求 ()D XY. 【解析解析】() 22222 () ()() ()()D XYEXYE XYE XE YEX EY= ， 而() 2 222 (60) 3,()312 12 EXE XDXEX =+=+=， () 222 2,()226EYE YDYEY=+=+=，故() 2 12 6(3 2)36D XY = =. )(XD 2 1 2 EX 4 .18164 . 2)()( 22 =+=+=XDXEEX 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 47 - 4.4.8 8 设二维随机变量(),X Y服从正态分布 () 22 , ;,;0N ，则 () 2 _E XY= 【解析解析】,X Y的相关系数为 0，且(),X Y服从正态分布 () 22 , ;,;0N ，故 ,X Y独立，于是 ()() 22222 () ()E XYEX E YDYEY =+=+. 4.4.9 9 设随机变量X的服从参数为 1 的指数分布，则 2 () X E Xe+= . 【解析解析】(1)XE，概率密度为： ,0 ( ) 0, x ex f x = 其它 . 所以 222 0 14 ()()()11 33 XXxx E XeE XE eee dx + +=+= += += . 4.10 4.10 设随机变量 1 X， 2 X的概率密度分别为 2 1 2,0 ( ) 0 ,0 x ex f x x = ， 4 2 4,0 ( ) 0 ,0 x ex fx x = . （1）求 12 ()E XX+， 22 12 (3)E XX； （2）又设 1 X， 2 X相互独立，求 12 ()E X X. 【解析解析】（1） 1 (2)XE， 2 (4)XE， 所以 1 1 () 2 E X=， 1 1 () 4 D X=， 2 1 () 4 E X=， 2 1 () 16 D X=，所以 2 1 1 () 2 E X=， 2 2 1 () 8 E X=. 于是 1212 113 ()()() 244 E XXE XE X+=+=+=， 2222 1212 111 (3)()3 ()3 288 E XXE XE X= =. （2） 1 X， 2 X相互独立，故 1212 1 ()() () 8 E X XE X E X=. 4.14.11 1 设X是一随机变量，()E X=， 2 ()D X=（，0常数） ，则对于 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 48 - 任意常数C，必有（ ） （A） 222 () ()E XCE XC= （B） 22 () () E XCE X= （C） 22 () () E XCE X （D） 22 () () E XCE X 【答案答案】 （D） 【解析解析】方法很多，只给一种. 2222222 () () (2)(2)()0E XCE XE XCXCE XXC=+=. 4.14.12 2 设随机变量X和Y的相关系数0.5，()( )0E XE Y=， 22 ()()2E XE Y=， 则 2 () E XY+= . 【解析解析】法一：法一： cov(, ) ()( ) XY X Y D XD Y =，()( )2D XD Y=，所以cov(, )1X Y =. 即()() ( )1E XYE X E Y=， ，所以()1E XY =. 所以 222 () ()2 ()()6E XYE XE XYE Y+=+=. 法二：法二： 22 () ()()()( )2cov(, )6E XYD XYEXYD XD YX Y+=+=+=. 4.14.13 3 设随机变量X和Y的方差存在且不等于 0，则()()( )D XYD XD Y+=+是 X和Y（ ） （A）不相关的充分条件，但不是必要条件 （B）独立的充分条件，但不是必要条件 （C）不相关的充分必要条件 （D）独立的充分必要条件 【答案答案】 （C） 【解析解析】 ()()( )()( )2cov(, )()( )D XYD XD YD XD YX YD XD Y+=+=+ 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 49 - cov(, )0,X YX Y不相关=. 4.14.14 4 设两个不相关的随机变量X，Y的方差分别为 4 和 1，则随机变量42XY 的方差为 . 【解析解析】因为X，Y不相关，所以(42 )16 ()4 ( )68DXYD XD Y=+=. 4.14.15 5 设随机变量X的分布函数为( )( ) 1 0.40.6 2 x F xx =+ ，其中( )x 是标准正态分布的分布函数，则_.EX = 【解析解析】因为( )( ) 1 0.40.6 2 x F xx =+ ，所以 ( ) 1 ( )0.4 ( )0.3 2 x f xFxx =+ ，其中( )x为标准正态分布的概率密度. ( ) 1 ( )0.40.3 2 x EXxf x dxxxdx + =+ ( ) 1 0.40.300.3 20.6 2 x xx dxxdx + =+=+= . 4.14.16 6 某人写好n封信，又写好n个信封，在黑暗中把每封信随意放入某一信封中， 设X表示放对的信封数，求EX. 【解析解析】设 1, 1,2, i i i Xin 第封信放对 0,第封信放错， = ，则 (1)!1 1 i n P X nn！ =， 1 0 i n P X n =，于是 1 i EX n = =，且 1 n i i XX = =，故 1 1 n i i EXEX = = . 4.14.17 7 一商店经销某种商品，每周进货的数量X与顾客对该商品的需求Y是相互独 立的随机变量，且都服从区间20,10上的均匀分布，商店每售出一单位商品可得 利润 1000 元；若需求量超过了进货量，商店可从其它商店调剂供应，这时每单位 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 50 - 商品获利润为 500 元，试计算此商店每周所得利润Z的数学期望. 【解析解析】由题意， 1000 ,1000 , (, ) 1000500(),500(), Y YXY YX Zg X Y XYXYXYXYX = = + + ， 而(, )X Y的概率密度为 1 ,10,20 ( , )100 0, x y f x y = = 其它 ，故 1020 1020 1 (, )( , ) ( , )( , ) 100 x y EZEg X Yg x y f x y dxdyg x ydxdy + + = 10,2010,20 1 500()1000 100 x yx y x yx y xy dxdyydxdy =+=+ 202020 101010 5()2 x x dxxy dydxydy=+=+ 42500 3 = =14166.7 元. 4.14.18 8 设连续型随机变量X的概率密度为( ) = else x x xf , 0 0 , 2 cos 2 1 ，对X进行独 立重复观察 4 次，用Y表示观察值大于 3 的次数，求 2 EY. 【解析解析】设 3 11 cos 3222 x pP Xdx= ，则(4, )YBp， 42EYp=，4 (1)1DYpp=， 22 ()5EYDYEY=+=. 4.14.19 9 设随机变量X服从参数为1的泊松分布，则 2 P XEX=_. 【解析解析】 22 ()2EXDXEX=+=， 2 21 11 2 2!2 P XEXP Xe e =. 4.4.2020 设随机变量X服从()1 , 0N，则 24 ()_ X E X e=. 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 51 - 【解析解析】 () 22 (4)8 24242 22 1 22 xx Xx e E X ex eedxx edx + = 2 2 (4) 8282 21 1 21 y eyedyeEY + = ，其中(4,1)YN， 222 ()1417EYDYEY=+= +=，故 () 248 17 X E X ee=. 4.4.2 21 1 设随机变量X和Y独立同分布，且都服从 2 1 , 0N，求E XY ， YXD. 【解析解析】令ZXY=，则由题意(0,1)ZN，于是 22 22 0 11 2 22 zz E XYE Zzedzzedz + + = 2 2 2 0 22 () 2 z z ed + = ， 2 222 222 ()()1D XYD ZE ZE ZEZDZEZ =+= =+= . 4.4.2 22 2 设随机变量ZYX,相互独立，且()6 , 0UX，()4 , 0 NY，( )3 EZ，求 ()ZYXE32+，()ZYXD32+. 【解析解析】( () ) 61 23232 034 23 E XYZEXEYEZ+=+= + =+=+= + =， ( () ) 2 2222 2 61 232324320 123 D XYZDXDYDZ+=+=+=+=+=+=. 4.4.2 23 3 设随机变量) 1(, 21 nXXX n 独立同分布，且其方差为. 0 2 令 = = n i i X n Y 1 1 ，则（ ） 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 52 - （A）() 2 1 cov,X Y n = （B）() 2 1 cov,X Y= （C）() 2 1 2n D XY n + += （D）() 2 1 1n D XY n + = 【答案答案】 （A） 【解析解析】因为 111 11 11 (, )(,)(,) nn ii ii Cov X YCov XXCov XX nn = = 2 1111 2 111 (,)(,)0 n i i Cov XXCov XXDX nnnn = =+=+= ，故选项(A)正确； （B） 、(C)、(D)均错误， 22 22 111 3 ()()( )2(, )2 n D XYD XD YCov X Y nnn + +=+=+=， 同理， 2 1 1 () n D XY n =. 4.4.2 24 4 设事件和互不相容，记 ，和的相关系数为，则（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案答案】 （C） 【解析解析】由题意知AB =，1,1()0P XYP AB=， ()11,10E XYP XY= = =， ()11( ),( )11( )E XP XP AE YP YP B = = = = =， 2 ()( )( )0D XP APA=， 2 ( )( )( )0D YP BPB=，故 AB0( )1P A0( )1P B 1, 0, A X A = 发生 不发生 1, 0, B Y B = 发生 不发生 XY 0=1=00 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 53 - (, )() 0 Cov X YE XYEX EY DXDYDXDY = = ，应选(C). 4.4.2 25 5 已知随机变量与均服从分布，且，则=+1YXP （ ） （A） （B） （C） （D） 【答案答案】 （B） 【解析解析】11111,1P XYP XYP XY+= += =+= += =， 由题意， 33 , 416 EXEYDXDY=， 1 (, )() 16 XY Cov X YE XYEX EYDXDY=， 15 () 168 E XYEX EY=+=+=，而 5 ()1,1 8 E XYP XY=，故 3 1 8 P XY+=+=，应选(B). 4.4.2 26 6 设随机变量.（1）求； （2）求； （3）求与的相关系数，其中表示取整不超过的最大整数. 【解析解析】 （1） 1 0,1 2 1,12 5 2,2 2 X XX X = = ，其分布律为 0 1 2 P 1 4 1 2 1 4 XY 3 1, 4 B 1 3 XY = 1 4 3 8 1 2 5 8 1 5 , 2 2 XU ()DX()D XX X X xx X 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册 张张 卫卫 - 54 - 222 31 ()( )1 22 D XE XE X=. （2）X的概率密度为 1 15 , ( )2 22 0, X f x = = 其它 ， 2 51 () 1 22 ()2(,)2(,) 122 D XXDXD XCov XXCov XX =+=+ =+=+， 3 (,)()() 2 Cov XXE X XEX E XE X X=， 55 12 22 11 12 22 111 () ( ) 222 E X Xx x f x dxx x dxx x dxx x dx=+=+= 15 8 ， 故 1533 (,) 828 Cov XX=， 531 ()2 6812 D XX= = =. （3）与的相关系数为 3 (,)3 6 8 811 32 Cov XX DXD X = = . 4.4.2 27 7 设服从二维正态分布，则随机变量与不相关的 充分必要条件是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案答案】 （B） 【解析解析】与不相关Cov( , )0 =DXDY= 2222 ()()()()E XEXE YEY=，故应选(B). 4.4.2 28 8 设二维随机变量),(YX服从单位圆( () ) 22 ,1Dx y xy=+=+上的均匀分布， 问X和Y是否独立，是否不相关？ X X (, )X YXY=+XY= ()( )E XE Y= ()()()( ) 22 22 E XE XE YE Y= ()() 22 E XE Y= ()()()( ) 22 22 E XE XE YE Y+=+ 爱启航在线考研 关注微信公众号【拼课助手】 拼课学习，共同成长 2021 考研概率统计全考点精讲习题册