线性代数知识点总复习习题课

22矩阵的运算,定义,一、矩阵的加法,设有两个矩阵那末矩阵与的和记作,规定为,说明当两个矩阵是同型矩阵时才能进行加法运算.,定义2,矩阵A的负矩阵，记作A.,由此可定义矩阵的减法运算，设矩阵,矩阵的加法满足如下运算律,（1）A+B=B+A（加法交换律）；,设A,B,C,0都是同型矩阵:,（2）(A+B)+C=A+(B+C)（加法结合律）；,（4）A+(A)=0.,（3）A+0=0+A；,设,求A+B与AB.,解,例1,定义3以数k乘矩阵A的每一个元素所得到的矩阵,称为数k与矩阵A的数量乘积，,如果A=(aij)mn,那么kA=Ak=(kaij)mn.,kA或Ak.,简称数乘，,记为,二、数与矩阵相乘,A、B为同型矩阵，k，l为常数：,运算律,数乘运算有如下,结合律,矩阵对数的分配律,数对矩阵的分配律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,例2求矩阵X，使3A+2X=3B。其中,解：,由3A+2X=3B解得,2X=3B-3A,即,所以,例设甲、乙两家公司生产、三种型号的计算机，月产量（单位:台）为,甲乙,如果生产这三种型号的计算机每台的利润为(单位：万元台),求这两家公司的月利润(单位:万元).,三、矩阵与矩阵相乘,这两家公司的月利润应为(矩阵C):,乙公司的利润为34.1万元.,甲公司每月的利润为29.1万元，,即,解,其中,从例题可以看到矩阵A、B、C的元素之间有下列关系:,这种关系就是矩阵A与矩阵B的乘法.,定义4,其中,即,C=AB.,i行,j列,关于矩阵乘法的说明：,1、只有当第一个矩阵A的列数与第二个矩阵B的行数相同时，AB才有意义.,2、乘积C的行数=第一个矩阵A的行数；,C的列数=第二个矩阵B的列数.,因为矩阵=(AB)的元素cij是矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素乘积之和.,例3设,求AB。,解,24,5,0,1,-4,-5,-11,4,-2,注：此题BA无意义，,因为,例4设,求AB。,解：,AB=,注：此题BA有意义,但BA=,是一个数,nn,由以上两例，不难看出：,（1）AB有意义时，BA不一定有意义；,（2）即使AB与BA都有意义也可能,然而对于个别矩阵也可能出现,这时称A与B是可交换的.,AB=BA，,ABBA，,矩阵乘法与实数乘法在运算规则上有一些不同归纳如下：,矩阵乘法与实数乘法的比较：(1)实数乘法满足交换率。即ab=ba矩阵乘法不满足交换率。即ABBA(2)实数乘法满足消去率。即：若ab=ac,且a0,则有b=c矩阵乘法不满足消去率即：由AB=AC,且AO,不能得出B=C(3)在实数乘法中，若ab=0,可推出a=0或b=0在矩阵乘法中，由AB=O不能推出A=O或B=O,例5设,解：,显然,AB=O,但BO,且AO,但也有例外，比如设,则有,例6设,求：AB,AC。,解：,注：此题AB=AC,且AO,但BC,矩阵乘法的运算规律,（其中为数）;,若A是阶矩阵，则为A的次幂，即并且,按照矩阵的乘法，线性方程组,的形式.,可表示为矩阵的乘积,Ax=b,其中,定义5把矩阵的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做的转置矩阵，记作.,例,、转置矩阵,四、矩阵的其它运算,矩阵的转置也是一种运算，满足下述运算律(假设运算都是可行的),例8,解,(AB)T=BTAT,因此有,设A为n阶方阵，如果AT=A，,其特点是:它的元素以主对角线为对称轴对应相等.,定义6,aij=aji(i,j=1,2,n),那么称A为对称矩阵.,即,30但两个对称矩阵的乘积不一定是对称矩阵.,注意,10两个同阶的对称矩阵的和还是对称矩阵,(A+B)T=AT+BT,20对称矩阵与数的乘积也是对称矩阵.,(kA)T=ATkT,主要特点:主对角线上的元素为0,其余的元素关于主对角线互为相反数.,定义7,设A为n阶方阵如果满足AT=A,aij=aji,即,则称A为反对称矩阵.,如,反对称矩阵的和及数量乘积还是反对称矩阵,但两个反对称矩阵的积不一定是反对称矩阵.,注,例9设列矩阵满足,证明,思考题,成立的充要条件是什么?,1.,2.,例10证明任一阶矩阵都可表示成对称阵与反对称阵之和.,证明,所以C为对称矩阵.,所以B为反对称矩阵.,命题得证.,2、方阵的行列式