线性代数习题4.2方阵的特征值与特征向量_第1页
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第四章,4.2方阵的特征值与特征向量,矩阵的特征值与特征向量,一、方阵的特征值,定义4.2.1设,为,阶方阵，,为,维非零向量，,为一个数，若,，则称,为矩阵,特征值，向量,称为对应于特征值,的特征向量.,的一个,例如：,称为对应于2的特征向量.,注意：特征值和特征向量是成对出现的，但它们之间不是一一对应关系，一个特征值可能对应多个特征向量,设,都是方阵,的对应于特征根,特征向量，对于,，则,也是方阵,的对应于特征根,特征向量，那么特征值和特征向量的究竟如何求呢？,任意非零常数,我们来分析一下，,由,若设,，,则有,此时为一个齐次线性方程组,于是，要使特征值,与特征向量,存在就是要使上述,，而齐次线性方程组有非零,方程组有非零解,解的条件为,由于此处的,也可以用克莱姆法则，即系数行列式等于零，,即,时，方程组有非零解.,称为特征方程.,求矩阵特征值和特征向量的步骤为：,（1）求特征方程,所有的相异实根,这些相异实根就是矩阵,的特征值；,为方阵，,（2）求方程组,所有的非零解向量，这些向量就是对应于特征值,的特征向量。,例1求下列矩阵的特征值和特征向量,特征方程为,为特征值，,时，对应的方程组为,所以，方程组的基础解系为,从而,所对应的特征向量为,时，对应的方程组为,，所以，方程组的基础解系为,，从而,所对应的特征向量为,练习,解特征方程为,特征向量为,例2证明：若是矩阵的特征值，是的属于的特征向量，则,证,再继续施行上述步骤次，就得,（1）是的特征值（,是任意常数）,（2）当可逆时，是的特征值,故是矩阵的特征值。且是对应于的,特征向量,（2）当可逆时，,由可得,故是矩阵的特征值，且是对应于的特征向量,类似证明，若,是,的特征值，则,是,的特征值；,是的特征值,，其中,是,的多项式，,是矩阵,的多项式.,的特征值为1,2,3,求,全部特征值.,是,阶方阵，,是,的特征值，,三个特征值为3，2，3，,例3已知3阶矩阵,二、方阵特征值与特征向量的性质,定理4.2.1,为,阶方阵，则下列结论成立.,（1）矩阵,的,个特征值之和等于,的,个对角线元素之和，即,个特征值),（,个特征值的乘积等于,（3）设,是,阶方阵,的,个特征值,依次是与之对应的特征向量,如果,互不相等，则,线性无关.,证设,而,的常数项和一次项前系数分别为,，,所以易得（1）（2）结论，下面证（3）,设有常数,使得,上式可化为,上式等号左端第二个矩阵的行列式，当范德蒙,行列式，,当各不相等时该行列式不等
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