20橙啦数学基础阶阶段测试高数线代概率

1 20 橙啦数学基础阶测试（高数橙啦数学基础阶测试（高数+线代线代+概率概率） 本试卷满分 150 分，考试时间 180 分钟，命题人：边一 一、选择题：一、选择题：18 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸 指定位置上. 1. 设 ，0, 1 , 0, sin 1 2 )( 1 1 x x x x e e xf x x 则在0x处)(xf（）. （A）极限存在但不连续（B）仅左连续（C）仅右连续（D）连续 2 设( ), ( )f x h x在 0 xx的 某 邻 域 内 连 续 ， 且 在 0 xx处 存 在 一 阶 导 数 ， 00 ( )( ),( )( ) xx xx F xf t dt H xh t dt ，又设 00 () ()0f x h x，( )( )( )G xF x H x，则点 0 xx（） （A）必不是( )G x的驻点 （B）是( )G x的驻点但不是极值点 （C）是( )G x的极小值点 （D）是( )G x的极大值点 3若 22 ( ,) x f x xx e， 2 2 ( , )| x x y x fx yx e ，则 2 ( , )| () y y x fx y （A）2 x xe（B） 2 (2 ) x xx e （C） x e（D）(21) x xe 4（数一、三做（数一、三做） 对于常数0k ，级数 1 2 1 1 ( 1)tan() n n k nn () (A)发散(B)绝对收敛 (C)条件收敛(D)收敛性与 k 的取值有关 4（数二做（数二做） 已知 11 00 ( )( )f x dxxf x dx ，则二重积分( )(:1,0,0) D f x dxdy D xyxy () (A)2(B)0(C) 1 2 (D)1 2 5设 12312 , 均为四维列向量，且 1231 ,Am ， 1223 | |,|Bn ，则 32112 |, ()|（） （A）mn（B）mn（C）()mn（D）nm 6设A为n阶矩阵，P为n阶可逆矩阵，为矩阵A属于特征值的特征向量，则下列矩阵中 2 A 1 P AP T A2EA 肯定是其特征向量的有（）个. （A）1（B）2（C）3（D）4 7（数一、三做（数一、三做） 设 1 fx为标准正态分布的概率密度， 2 fx为1,3上均匀分布的概率密度.若 1 2 ,0 0,0 ,0 afxx f xab bfxx ，则a，b满足（） （A）234ab（B）324ab（C）1ab（D）2ab 7（数二做（数二做） 设常数0k ，函数 ln x f xxk e 在0 ，内零点个数为（） （A）0（B）1（C）2（D）3 8（数一、三做（数一、三做） 设X和Y相互独立，且X服从参数为 1 2 的0 1分布，Y服从参数为 1 3 的0 1分布， 则方程 2 20tXtY有两个相等实根的概率为（） （A） 1 3 （B） 1 2 （C） 1 6 （D） 2 3 8（数（数二二做做） 已知某二阶常系数线性非齐次微分方程的通解为 12 11 cos2 210 xx yC eC ex ，则此微 分方程为（） (A)cos2yyx(B)sin2yyx (C) 2 cosyyx(D) 2 sinyyx 二、二、填空题：填空题：914 小题，每小题 4 分，共 24 分，请将答案写在答题纸答题纸 指定位置上. 9、 设曲线( )yf x在原点处与sinyx相切， 假设, a b为非零的常数， 则 0 lim sin x f axf bx x _. 10、设位于曲线 )ln1 ( 1 2 xx y (ex)下方，x轴上方的无界区域为G，则G绕x轴旋转一周 所得空间区域的体积为_. 11、 22 0212 10 11 xx xx dxxy dydxxy dy . 3 12、微分方程322 x yyye满足 0 ( ) lim1 x y x x 的特解为_. 13、设 * (1,0,1) ,() TT ABkEA若是正定矩阵，则k的取值范围是_. 14（数一、三做（数一、三做） 、某人打靶的命中率为 1 2 ，当他连射三次后检查目标，发现靶已命中，则他在第一次射 击时就已命中的概率为_. 14（数二做（数二做） 、设( )f x是周期为 4 的可导奇函数，且( )2(1),0,2,fxxx则(7)f_. 三、解答题：三、解答题：1523 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸答题纸 指定位置上.解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤. 15（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 设dxxxa n n n n n 1 2 3 1 0 1 ，求极限 n n na lim. 16（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 设函数)(xf在0, 1上有连续导数, 满足0)0(1)( 0fxf且.求证 1 0 3 2 1 0 )()(dxxfdxxf. 17（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 设( , )f u v具有二阶连续偏导数，且满足1 2 2 2 2 v f u f ，又)( 2 1 ,),( 22 yxxyfyxg，求 . 2 2 2 2 y g x g 18（本小题满分（本小题满分 10 分）分） 求 2 , D x dxdy D 由 2 3(1)yx与xy3及y轴围成. 19（数一、三做，数一、三做，本小题满分本小题满分 10 分）分） 将函数 2 2 x f x xx 展开成x的幂级数. 19（数二做，数二做，本小题满分本小题满分 10 分）分） 如图,A和D分别是曲线 x ye和 2x ye上的点,AB和DC均垂直x轴,且 :2:1ABDC ,1AB ,求点B和C的坐标,使梯形ABCD的面积最大. 4 20（本（本小小题满分题满分 11 分）分） 已知非齐次线性方程组 1234 1234 1234 1 4351 31 xxxx xxxx axxxbx 有3个线性无关的解. （1）证明方程组系数矩阵A的秩 2r A ； （2）求, a b的值及方程组的通解. 21（本（本小小题满分题满分 11 分）分） 设二次型 ) 0(222),( 31 2 3 2 2 2 1321 bxbxxxaxAXXxxxf T 二次型的矩阵A的特征值之和为 1，特征值之积为-12. （1）求,a b的值； （2）利用正交变换将二次型 f 化为标准形，并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵. 22（数一、三做，数一、三做，本本小小题满分题满分 11 分）分） 设随机变量X的概率密度为 ,11, 0,. xx f x 其他 令 2 1YX，求 (I)Y的概率密度 Y fy;(II) 3 1 2 PY . 22（数二做，数二做，本本小小题满分题满分 11 分）分） 如图， 曲线C的方程为 yf x， 点3,2是它的一个拐点， 直线 1 l与 2 l分别是曲线C在点0,0与3,2 处的切线，其交点为2,4. 设函数 fx具有三阶连续导数，计算定积分 3 2 0 xx fx dx . 23（数一、三做，数一、三做，本本小小题满分题满分 11 分）分） 设二维随机变量,X Y在区域,12,01Gx yxyy上服从均匀分布. 5 试求： （1）,X