同济大学线性代数__第三章

11.06.2020,.,1,第三章矩阵的初等变换与线性方程组,11.06.2020,.,2,1矩阵的初等变换,引例求解线性方程组,11.06.2020,.,3,用消元法,11.06.2020,.,4,11.06.2020,.,5,令,代入方程组，得解,11.06.2020,.,6,消元法的三类变换：,（1）对调二个方程的次序；,（2）以非零的数k乘某个方程；,（3）一个方程加上另一个方程的k倍,由于三类变换都是可逆的，因此变换前的方程组与变换后是同解的,11.06.2020,.,7,定义1：,下面三类变换称为矩阵的初等行变换:,同样可定义矩阵的初等列变换(把“r”换成“c”),初等行变换和初等列变换统称初等变换。,11.06.2020,.,8,三类初等变换都是可逆的，并且其逆变换是同一类的初等变换。,11.06.2020,.,9,若矩阵A经过有限次初等变换变成B，则称A与B等价，记作AB.,矩阵的等价关系满足：,反身性AA；对称性若AB，则BA；传递性若AB，BC，则AC。,11.06.2020,.,10,(1)的增广矩阵,线性方程组,11.06.2020,.,11,11.06.2020,.,12,行阶梯形,11.06.2020,.,13,行最简形,令,11.06.2020,.,14,等价标准形,11.06.2020,.,15,任一mn矩阵A都等价于一个如下的矩阵,称为A的等价标准形。,11.06.2020,.,16,2初等矩阵,定义2：,由单位矩阵经过一次初等变换所得矩阵称为初等矩阵。,三类初等变换与三类初等方阵相对应,11.06.2020,.,17,11.06.2020,.,18,11.06.2020,.,19,11.06.2020,.,20,三类初等矩阵：,其中,11.06.2020,.,21,三类初等矩阵都是可逆的，并且其逆矩阵、转置矩阵都是同一类的初等矩阵。,11.06.2020,.,22,定理1：,设A为mn矩阵，则,11.06.2020,.,23,11.06.2020,.,24,方阵A可逆的充要条件是A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。,定理2：,证明：,充分性.,必要性.,11.06.2020,.,25,方阵A可逆的充要条件是AE,推论1：,推论2：,mn阵A与B等价的充要条件是存在m阶可逆阵P和n阶可逆阵Q，使得PAQ=B,注意到可逆阵可表示为若干个初等阵的乘积。,11.06.2020,.,26,例.,11.06.2020,.,27,即,11.06.2020,.,28,解：,例：,11.06.2020,.,29,11.06.2020,.,30,11.06.2020,.,31,例：,解：,初等行变换,11.06.2020,.,32,11.06.2020,.,33,11.06.2020,.,34,3矩阵的秩,定义3：在矩阵A中，任取k行、k列所得的k2个元素不改变它们的相对位置而得的k阶行列式，称为A的一个k阶子式。,A的一个2阶子式：,11.06.2020,.,35,定义4：矩阵A的最高阶非零子式的阶数称为A的秩，记作R(A)。,例4.求矩阵A和B的秩,其中,11.06.2020,.,36,2阶子式,3阶子式|A|=0,3阶子式,4阶子式都=0,R(A)=2,R(B)=3,11.06.2020,.,37,定理3若AB,则R(A)=R(B).,事实上，若A经过一次初等变换变为B，A的k阶子式全等于零,则B的k阶子式也全等于零。,11.06.2020,.,38,性质1.若A的所有r阶子式(如果有)全等于零，则阶数大于r的所有子式全等于零。,若A的所有k阶子式全等于零,则R(A)k,2.若A有一个k阶子式非零,则R(A)k,3.若A为mn矩阵,则0R(A)minm,n,4.,11.06.2020,.,39,5.R(PAQ)R(A),其中P,Q为可逆矩阵。,6.,7.,8.,11.06.2020,.,40,故,11.06.2020,.,41,注意到，从一个矩阵中划去一行或一列，它的秩至多减少一。将C1看成一个n阶矩阵划去了n-r1行,n-r2列，于是有,11.06.2020,.,42,3线性方程组的解,11.06.2020,.,43,化为行最简形矩阵,不妨假定,11.06.2020,.,44,(#),11.06.2020,.,45,(1)若，则(#)无解。,11.06.2020,.,46,非齐次性线性方程组解的条件,11.06.2020,.,47,例10：求解线性方程组,解：,11.06.2020,.,48,可知方程组无解。,11.06.2020,.,49,例11：求解线性方程组,解：,11.06.2020,.,50,11.06.2020,.,51,得,令,故,11.06.2020,.,52,11.06.2020,.,53,齐次性线性方程组解的条件,定理6：齐次线性方程组有非零解的,充要条件是,11.06.2020,.,54,例9：求解齐次线性方程组,解：,11.06.2020,.,55,11.06.2020,.,56,11.06.2020,.,57,矩阵方程有解的条件,定理6：矩阵方程,有