运筹学线性规划问题与图解法.ppt

运筹学（OR:operationalresearch(英)operationsresearch(美)）,主讲：卢安文,2线性规划（LP:LinearProgramming）问题与图解法,2.1问题的提出,生产计划问题某厂生产两种产品，需要三种资源，已知各产品的利润、各资源的限量和各产品的资源消耗系数如下表,问题：如何安排生产计划，使得获利最多？步骤：1、确定决策变量：设生产A产品x1kg,B产品x2kg2、确定目标函数：maxZ=70X1+120X23、确定约束条件：人力约束9X1+4X2360设备约束4X1+5X2200原材料约束3X1+10X2300非负性约束X10X20,配料问题:每单位原料i含vitamin如下：,求：最低成本的原料混合方案,解：设每单位添加剂中原料i的用量为xi(i=1,2,3,4),minZ=2x1+5x2+6x3+8x4,线性规划问题的基本特征,决策变量：向量(x1xn)T代表一个具体的方案，一般有xi非负约束条件：线性等式或不等式目标函数：Z=(x1xn)线性式，求Z极大（Max）或极小(Min),线性规划问题的一般形式,Max(min)Z=C1X1+C2X2+CnXn,简写式,向量式,其中：C=(c1,c2,cn)价值向量X=(x1,x2,xn)T决策向量Pj=(a1j.a2j,amj)T系数向量B=(b1,b2,bn)T资源向量,矩阵式,其中系数矩阵,2.2线性规划问题的图解法,1图解法用于求解两个决策变量的线性规划问题，图解法简单直观，有助于了解线性规划问题求解的基本原理。如：maxZ=70X1+120X2人力约束9X1+4X2360设备约束4X1+5X2200原材料约束3X1+10X2300非负性约束X10X20,.,9080604020,020406080100,x1,x2,9x1+4x2360,4x1+5x2200,3x1+10 x2300,A,B,C,D,E,F,G,H,I,Z=70 x1+120 x2,图中阴影部分为可行域（满足约束条件的点的集合）可行解：满足约束条件的解可行域是可行解的集合当等值线Z=70 x1+120 x2平行移动到H点时Z取得最大值此时，x1=20,x2=24Z=70*20+120*24设备和原材料恰好使用完，而人力节余84个单位即：设备约束和原材料约束条件取等号，而人力约束条件仍然取不等号,2线性规划问题的解,可行解：满足约束条件的解X=(x1,x2,xn)F可行域:可行解的集合(线性规划问题的可行域一般为凸集)最优解：使目标函数达到最优的可行解若线性规划问题有唯一最优解，则最优解一定在可行域的顶点处取得,线性规划问题可能存在无穷多个最优解（若线性规划问题有两个最优解，则一定有无穷多个最优解）线性规划问题可能存在无界解（即无最优解）线性规划问题可能存在无可行解（此时无最优解，可行域为空集）,3线性规划问题的标准型,目标函数极大化（或极小化）约束条件为等式，且右端常数全为非负决策变量非负,化标准型,maxZ=70X1+120X2maxZ=70X1+120X2+0S1+0s2+0s39X1+4X23609X1+4X2+S1=3604X1+5X22004X1+5X2+s2=2003X1+10X23003X1+10X2+s3=300X10X20Xj0j=1,2其中S1，s2，s30为松弛变量,化标准型,minZ=x1+2x2-3x3maxZ=x12x2+3(x3x”3)x1+x2+x39x1+x2+x3x”3+s1=9-x1-2x2+x32x12x2+x3x”3s2=23x1+x2-3x3=53x1+x23(x3x”3)=5x10 x20 x3无约束x10 x20 x30 x”30s10s20其中s1为松弛变量，s2为剩余变量x3x3x”3,+0s1+0s2,线性规划的标准型,