第三章-随机信号分析.ppt

第三章随机信号分析,引言随机过程的一般表述平稳随机过程平稳随机过程的相关函数与功率谱密度高斯过程窄带随机过程正弦波加窄带高斯过程随机过程通过线形系统,3.1引言,随机信号：信号的某个或几个参数不能预知或不能完全预知的信号随机噪声：不能预测的噪声随机过程：随机信号和噪声统称为随机过程,3.2随机过程的一般表述,1定义及特征无穷多个样本函数的集合称为随机过程,计为(t).它有两个基本属性:(t)是时间t的函数;在任一时刻t1上，观察到的全体样本却是不确定的，是一个随机变量。,图2.21n部接收机噪声记录,2随机过程的统计特性概率分布分布函数和概率密度函数,设(t)表示一个随机过程，则在任意一个时刻t1上(t1)是一个随机变量。(t)的一维分布函数：F1(x1,t1)=P(t1)x1(t)的一维概率密度函数：=f1(x1,t1)(t)的n维分布函数：Fn(x1x2xn;t1,t2,tn)=P(t1)x1,(t2)x2(tn)xn(t)的n维概率密度函数：=fn(x1x2xn;t1,t2,tn),n越大，用n维分布函数或n维概率密度函数去描述(t)的统计特性就越充分。,数字特征数学期望、方差和相关函数数学期望：并记为E(t)=a(t)。这里，它本该在某一时刻t1上求得，因此数学期望与t1有关。然而，t1是任意取得，故可把t1直接写成t。所以，随机过程的数学期望被认为是时间t的函数。数学期望的物理意义：信号或噪声的直流分量。方差：,方差的物理意义：信号或噪声交流功率。,自协方差与自相关函数衡量随机过程任意两个时刻上获得得随机变量得统计相关特性时，常用协方差函数和相关函数来表示。（1）自协方差函数式中t1与t2是任意的两个时刻；a(t1)与a(t2)为在t1及t2得到的数学期望；用途：用协方差来判断同一随机过程的两个变量是否相关。,（2）自相关函数用途：a用来判断广义平稳；b用来求解随机过程的功率谱密度及平均功率。（3）自协方差与自相关函数之间的关系显然，由式（2.2-7）及(2.2-8)可得到二者之间的关系式，,互协方差与互相关函数协方差函数和相关函数的概念也可引入到两个或更多个随机过程中去，从而获得互协方差及互相关函数。设(t)与(t)分别表示两个随机过程（1）互协方差定义（2）互相关函数定义如果t2t1，并令t2=t1+，即是t2与t1之间的时间间隔，则相关函数R（t1，t2）可表示为R（t1，t1+）。这说明，相关函数依赖于起始时刻（或时间起点）t1及时间间隔，即相关函数是t1和的函数。,2.3平稳随机过程,1狭义平稳随机过程：随机过程的任何n维分布函数或概率密度函数与时间的起点无关。fn(x1x2xn;t1,t2,tn)=fn(x1x2xn;t1+,t2+,tn+)含义：指随机过程的统计特性不随时间的推移而变化，即当取样点在时间轴上作任意平移时，随机过程的所有有限维分布函数不变。且有：一维分布则与时间无关：f1(x1,t1)=f1(x1)二维分布只于时间间隔有关：f2(x1,x2,t1,t2)=f2(x1,x2,)数字特征：数学期望与方差与时间无关自相关函数只与时间间隔有关R（t,t+)=R(),2广义平稳随机过程：随机过程的数学期望与方差与时间无关,自相关函数只与时间间隔有关。通信系统中的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有很大的实际意义。(t)=R(t1,t1+)=R(),注意：狭义平稳一定是广义平稳的，反之不一定成立。,3、各态历经的平稳随机过程1）问题的提出2）各态历经性“时间平均”代替“统计平均”一个随机过程的均值和自相关函数都具有各态历经性，则称该随机过程具有各态历经性。设x1(t)是(t)的一个样本，若下列式子成立，则具有各态历经性的平稳随机过程,注意：只有平稳随机过程才具有各态历经性即各态历经的随机过程一定是平稳的，而平稳的随机过程则需要满足一定的条件才是各态历经的。,例2.1,2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度,1、自相关函数平稳随机过程的自相关函数和时间t无关，而只与时间间隔有关，即R()E(t)(t+)(2.4-1)2、自相关函数的性质设(t)为实平稳随机过程R(0)=E2(t)=s（2.4-2）R(0)为(t)的均方值(t)的平均功率)。自相关函数在=0处的数值等于该过程的平均功率(包括直流功率和交流功率)。对偶性R()=R(-)自相关函数R()是的偶函数证明：,|R()|R(0)当0时,自相关函数取最大值证明:R()=E2(t)（2.4-3）R()是(t)的直流功率，在时间间隔很大的时候,可将二者看成是相互独立的。R(0)-R()=2方差，(t)的交流功率,利用R()的图形就可以求出该过程的各种成份的功率(直流功率,交流功率,总功率),3、功率谱密度概念：从频率的角度描述(t)的统计规律的最主要的数字特征。它的物理意义表示(t)的平均功率关于频率的分布。设(t)一次实现的截断函数为T(t)，T(t)的付氏变换为FT()，则该样本函数的功率谱为整个随机过程的平均功率谱为该随机过程的平均功率为,平稳过程的自相关函数与其功率谱之间为傅立叶变换关系。根据上述关系式及自相关函数的性质，推演功率谱密度的性质：P（）0，非负性P（-）P（），偶函数单边功率谱密度：P1（）2P（）=0,例2.2,（2.5-1）,2.5高斯过程,1、高斯分布定义（又称正态随机过程）若随机过程(t)的任意n维概率密度函数都服从正态分布，则称它为高斯过程。2、一维概率密度函数和分布函数,均值，2方差,（x）概率积分函数,f(x)对称与x=直线，即f(+x)=f(-x)f(x)在内单调上升，在内单调下降，且在点处达到极大值。且有对不同的，表现为f(x)的图形左右平移；对不同的，f(x)的图形将随的减小而变高和变窄。另外,当a0,1时,则称为标准高斯(正态)分布.,3、误差函数(互补误差函数)与概率积分函数的关系N(0,1/2)误差函数的定义：它是自变量的递增函数：erf(0)=0,erf()=1,且erf(-x)=-erf(x)互补误差函数的定义：它是自变量的递减函数：erfc(0)=1,erfc()=0,且erfc(-x)=2-erfc(x)当x1时，有,（2.5-3）,（2.5-4）,对式（2.2-2)进行变量代换，令新的积分变量为则，并利用式（2.2-3)和(2.2-4)，则分布函数可表示为：,3、重要性质高斯过程若是广义平稳随机过程，则又是狭义平稳随机过程；若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是相互独立的；若干个高斯过程的代数和的过程仍是高斯过程；高斯过程经过线形变换后的过程仍是高斯过程。,2.6窄带随机过程,一、引言1.必要性2.窄带条件在通信系统中，许多实际信号和噪声都满足“窄带”的假设，其频谱被限制在“载波”或某中心频率附近一个窄的频带上，而这个中心频率离开零频率又相当远。,频率近似为fc,缓慢变化的包络(t),f3时，Rice分布近似于高斯分布。这两种分布图形如图所示。,应掌握的内容：,1.高斯过程(定义,相互独立时的pdf)2.窄带高斯过程1)窄带条件;2)表示方式(两种);3)统计特性，即f(c,s)，f(c)，f(s)，f(a)，f()；c(t),s(t)与(t)的关系;3.白噪声的定义及自相关函数;4.正弦波加窄带高斯过程,要求同窄带,重点掌握f(z)服从Rice分布;5.瑞利,莱斯,高斯分布的关系。,2.8随机过程通过线形系统,一、一般分析(经典系统分析的回顾)1、时域(考虑到物理可实现性)确定性信号经过线性系统（如图2.8-1所示）的输出为2、频域3.谱密度之间的关系,2.8随机过程通过线形系统,二、输入是平稳随机过程如图2.8-2所示，随机过程经过线性系统的过程中，,这里只能理解成对随机过程的一个样本函数积分，而不是对随机过程积分。在此，需要解决两个问题：a、输入平稳.输出平稳否?b、输入、输出功率谱密度之间的关系。首先解决第一个问题。条件假设：i(t)平稳，Ei(t)为已知，h(t)为已知,问题：o(t)平稳否。思路：首先判定o(t)是否广义平稳:,2.8随机过程通过线形系统,结论：平稳随机过程经线性系统传输后,输出仍然为平稳随机过程。推论：(1)输入是各态历经的随机过程,输出也是各态历经的随机过程。(2)输入是高斯过程,输出也是高斯过程,只是均值和方差发生了变化。,3、功率谱密度P0()=FR（）P0()=Pi()|H()|2平稳随机过程通过线性系统，输出过程是平稳过程，系统输出功率谱密度是输入功率谱密度Pi()与|H()|2的乘积。4、输出过程0(t)的分布如果线性系统输入过程是高斯型的，则系统的输出过程也是高斯型的。,例2.3,例2.4,第2章教学要求,随机过程掌握随机过程的均值、方差、相关函数2。掌握平稳随机过程的特性3。了解窄带高斯过程、正弦波加窄带高斯过程的包络分布作业:2-22-42-7,例：2.1,随机相位正弦波(t)sin(ot+)，其中是在(02)内均匀分布的随机变量。求：（1）(t)是否广义平稳？（2）(t)是否各态历经？解：(1)由判定广义平稳的条件可知,如果a(t)为常数,而R(t,t+)仅与有关,则(t)广义平稳。,可见，满足广义条件，所以广义平稳。,(2)若集平均统计平