17 期末复习教师版

1 / 16 期末复习期末复习 第九章 整式 第一节整式的概念 9.1.2.3、字母表示数 代数式：用括号和运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫代数式. 单独的数或字 母也是代数式. 代数式的书写：1、 代数式中出现乘号通常写作“*”或省略不写，但数与数相乘不遵循此原则. 2、数字与字母相乘，数字写在字母前面，而有理数要写在无理数的前面. 3、带分数应写成假分数的形式，除法运算写成分数形式. 4、相同字母相乘通常不把每个因式写出来，而写成幂的形式. 5、代数式不能含有“=、”符号. 代数式的值：用数值代替代数式中的字母，按照代数式的运算关系计算出的结果，叫代数式 的值. 注意：1、代数式中省略了乘号，带入数值后应添加 . 2、若带入的值是负数时，应添上括号. 3、注意解题格式规范，应写“当.时，原式=.”. 4、在实际问题中代数式所取的值应使实际问题有意义. 9.4 整式 1、由数与字母的乘积组成的代数式称为单项式. 单独一个数或字母 也是单项式. 2、系 数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数. 3、单项式的次数：一个单项式中所有字母的指数的和叫做这个单项 式的次数. 4、多项式：几个单项式的和叫做多项式. 其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母 的项叫做常数项. 5、多项式的次数：多项式里次数最高的项的次数叫做这个多项式的 次数 6、整式：单项式和多项式统称为整式. 9.5 合并同类项 1、同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做 同类项. 2、合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项. 一个多项式合并后含有几项，这个多项式就叫做几项式. 3、合并同类项的法则是：把同类项的系数相加的结果作为合并后 的系数，字母和字母的指数不变. 第二节 9.6 整式的加减： 去括号法则： （1）括号前面是号，去掉号和括号，括号里各项的不变号； （2）括号前面是号，去掉号和括号，括号里的各项都变号. 添括号法则 （1）所添括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号； （2）所添括号前面是“”号，括到括号里的各项都改变符号. 2 / 16 第三节整式的乘法 9.7 同底数幂的乘法、9.8 幂的乘方、9.9 积的乘方： 同底数幂的乘法 am an=am+n(m、n 都是正整数). 同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 幂的乘方与积的乘方 （am）n=amn(m、n 都是正整数) 幂的乘方，底数不变，指数相乘. （ab）n=anbn (n 都是正整数) 积的乘方等于各因式乘方的积. 同底数幂的除法 am an=am-n(a0,mn 都是正整数，且 mn) 同底数幂相除，底数不变，指数相减. a0=1（a0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 1. a -p = (a0,p 是正整数) 任何一个不等零的数 的-p(p 是正整数)指数幂，等这个数的 p 指数幂的倒数. 9.10 整式的乘法： 单项式与单项式相乘： 单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的 字母，则连同它的指数作为积的一个因式. 单项式与多项式相乘： 单项式与多项式相乘， 就是根据分配率用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加， 即. 注意：单项式乘多项式实际上是用分配率向单项式相乘转化. 多项式与多项式相乘： 多项式与多项式相乘， 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项， 再把所得的积 相加， 即（） （）. 第四节、乘法公式 9.11 平方差公式 内容： （） （） 意义： 两个数的和与这两个数的差的乘积，等于这两个数的平方差. 特征： .左边是两个二项式相乘，这两项中有一项相同，另一项互 为相反数； 1 a 3 / 16 .右边是乘式中两项的平方差； .公式中的和可以使有理数，也可以是单项式或多项式. 几何意义： 平方差公式的几何意义也就是图形变换过程中面积相等 的表达式. 拓展： .立方和公式： （） （ ） ； .立方差公式： （） （ ） . （） （ ）-. 9.12 完全平方公式： 内容： （） ； （） . 意义： 两数和的平方，等于它们的平方和，加上它们积的倍. 两数差的平方，等于它们的平方和，减去它们积的倍. 特征： .左边是一个二项式的完全平方，右边是一个二次三项式，其 中有两项是公式左边二项 式中每一项的平方，另一项是左边二项式中两项乘积的倍，可简记为“首平方，尾平 方，积的倍在中央. ” .公式中的、可以是单项式，也可以是多项式. 推广： .（） c； .（） ； .（） . 第五节因式分解 因式分解的意义： 把一个多项式化为几个整式积的形式， 这种变形叫做把这个多项式因式分解， 也叫做 把这个多项式分解因式，即多项式化为几个整式的积. 注意：因式分解的要求： .结果一定是积的形式，分解的对象是多项式； .每个因式必须是整式； .各因式要分解到不能分解为止. 因式分解与整式乘法的关系： 是两种不同的变形过程，即互逆关系. 4 / 16 9.13 提取公因式法： 提公因式法分解因式： （） ，这个变形就是提公因式法分解因式. 这里的可以代表单项式，也可以代表多项式，称为公因式. 确定公因式方法： 系数：取多项式各项系数的最大公约数. 字母（或多项式因式） ：取各项都含有的字母（或多项式因式）的最低次幂. 9.14 公式法 利用公式法分解因式： .平方差公式： （） （）. .完全平方公式： （） ； （） . .立方和与立方差公式： （） （ ） ； （） （ ）. 注意： （）公式中的字母、可代表一个数、一个单项式或一个多项式. （）选择使用公式的方法：主要从项数上看，若多项式是二项式 应考虑平方差或立方和、立方差公式；若多项式是三项式，可 考虑用完全平方公式. 9.15.十字相乘法：利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解 因式的方法叫做十字相乘法. （）（） （）. 9.16 分组分解法： .将多项式的项适当的分组后，组与组之间能提公因式或运用公式分解. .适用范围：适合四项以上的多项式的分解. 分组的标准为：分组后能提公因式或分组后能运用公式. 其他方法： .求根公式法：若 + + （ ） 的两根是 、 ， + +=（- ） （- ） . 因式分解的一般步骤及注意问题： 对多项式各项有公因式时，应先提供因式. 多项式各项没有公因式时，如果是二项式就考虑是否符合平方差 公式；如果是三项式就考虑是否符合完全平方公式或二次三项式的 因式分解；如果是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法. 分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止. 5 / 16 第六节整式除法： 9.17 同底数幂的除法 同底数幂相除，底数不变，指数相减. 任何不等于零的数的零次幂为 1，既： 9.18 单项式除以单项式： 单项式与单项式相除的法则： 单项式与单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有 的字母，则连同它的指数作为商的一个因式. 注意：两个单项式相除，只要将系数及同底数幂分别相除即可. 只在被除式里含有的字母不不要漏掉. 9.19 多项式与单项式相除： 多项式与单项式相除的法则： 一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的 商相加， 即（ + + + ） = + + + . 注意：这个法则的使用范围必须是多项式除以单项式，反之，单项式除以多项式是不能这样 计算的. 整式的混合运算： 关键是注意运算顺序，先乘方，在乘除，后加减，有括号时，先去小括号，再去中括号， 最后去大括号，先做括号里的. 内容整理 多项式的乘法 单项式的除法 幂 的 运 算 aman=am+n (am)n=amn (ab)n=anbn aman=am-n 单项式的乘法 乘法公式 因 式 分 解 提公因式法 公 式 法 多项式除以单项式 6 / 16 第十章 分 式 10.1、 （1） 、分式的意义 两个整式 A/B 相除，即 A B 时，可以表示为 A/B.如果 B 中含有字母，那么 A/B 叫做分 式. A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母. 如果一个分式的分母为零，那么这个分式无意义. 10.2（2） 、分式的基本性质 整式 整式和分式统称为有理式： ：即有理式 分式 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式， 分式的值不变. 用式子表示为：A/B=A*C/B*C A/B=A C/B C （A,B,C 为整式，且 B、C0） 约分:把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式 的约分 分式的约分步骤： (1)如果分式的分子和分母都是或者是几个乘积的形式,将它们的 公因式约去 (2）分式的分子和分母都是将分子和分母分别,再将公因式约去. 注:公因式的提取方法:取分子和分母系数的,字母取分子和分 母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式. 一个分式的分子和分母没有公因式时,这个分式称为最简分式.约分 时，一般将一个分式化为最简分式. 通分：把几个异分母分式分别化为与原分式值相等的同分母分式, 叫做分式的通分. 分式的通分步骤:先求出所有分式分母的最简公分母,再将所有分式的分母变为最简公分 母.同时各分式按照分母所扩大的倍数,相应扩大各自的分子. 注:最简公分母的确定方法:系数取各因式系数的最小公倍数,相同字母的及单独字母的幂 的乘积. 注:(1)约分和通分的依据都是分式的基本性质. (2)分式的约分和通分都是互逆运算过程. 10.3、分式的运算： 分式的乘法法则:两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的 分母.用字母表示为：a/b * c/d=ac/bd 分式的除法法则: .两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘 ：a/b c/d=ad/bc .除以一个分式，等于乘以这个分式的倒数:a/b c/d=a/b*d/c 异分母分式通分时，关键是 确定公分母， 通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母， 这样的公分母叫做最简 7 / 16 公分母. 10.4 分式的加减 同分母分式加减法则:同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为： a/c b/c=a b/c 异分母分式加减法则:异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分 式的加减法法则进行计算.用字母表示为： a/b c/d=ad cb/bd 10.5 分式方程： 分式方程的意义:分母中含有未知数的方程叫做分式方程. 分式方程的解法: .去分母(方程两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方 程); .按解整式方程的步骤求出未知数的值; .验根(求出未知数的值后必须验根,因为在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未 知数的取值范围,可能产生增根). 10.6 整数指数幂及其运算 内容整理 第十一章 图形的运动 1、平移定义和规律 （1）平移的定义：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称 为平移（Translation）. 平移后各对应点之间的距离叫做图形平移的距离. 关键：a. 平移不改变图形的形状和大小（也不会改变图形的方向，但改变图形的位置）. b. 图形平移三要素：原位置、平移方向、平移距离. （2）平移的规律(性质)：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等、 对应角相等. 注意：平移后，原图形与平移后的图形全等. （3）简单的平移作图： 平移作图要注意：方向；距离. 整个平移作图，就是把整个图案的每一个特征点 按一定方向和一定的距离平行移动. 分 式 分式的性质 分式运算 分式方程 约分 通分 乘除法 加减法 8 / 16 2、旋转的定义和规律 （1）旋转的定义：在平面内，将一个图形饶一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的运 动叫做图形的旋转（Circumrotate）. 这个定点称为旋转中心；转动的角称为旋转角. 关键：a. 旋转不改变图形的形状和大小（但会改变图形的方向，也改变图形的位置）. b. 图形旋转四要素：原位置、旋转中心、旋转方向、旋转角. （2）旋转的规律(性质)： 经过旋转， 图形上的每一个点都绕旋转中心沿相同方向转动了相同的角度， 任意一对对 应点与旋转中心的连线所成的角都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等. (旋转前后两 个图形的对应线段相等、对应角相等. ) 注意：旋转后，原图形与旋转后的图形全等. （3）简单的旋转作图： 旋转作图要注意：旋转方向；旋转角度. 整个旋转作图，就是把整个图案的每一 个特征点绕旋转中心按一定的旋转方向和一定的旋转角度旋转移动. 3、图案的分析与设计 首先找到基本图案，然后分析其他图案与它的关系，即由它作何种运动变换而形成. 图案设计的基本手段主要有：轴对称、平移、旋转三种方法. 4、旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度 后，与初始图形重合，这种图 形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角（旋转角 满足 0360） 5、中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转 180 后，与初始图形重合，那么这个 图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心. 6、把一个图形绕着一个定点旋转 180 后，与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这 点对称，也叫做这两个图形成中兴对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做 关于中心的对称点. 7、轴对称知识回顾 （1） 轴对称图形定义： 如果一个图形沿着一条直线折叠后， 直线两旁的部分能够互相重合， 那么这个图形叫做轴对称图形（Axially Symmetric Figure）. 折痕所在的直线叫做对称轴. （2）两个图形关于这条直线成轴对称：如果把一个图形沿某一条直线翻，能与另一个图形 重合，那么叫做这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对 应点叫做关于这条直线的对称点. （3）注意： 轴对称是说两个图形的位置关系；而轴对称图形是说一个具有特殊形状的图形. 成轴对称的两个图形，必定是全等图形. （4）轴对称的性质：对应点所连的线段被对称轴垂直平分；对应线段相等；对应角相等. （3）简单的轴对称作图： 求作一个几何图形关于某条直线对称的图形， 可以转化为求作这个图形上的特征点关于这条 直线对称的点. 后依次连结各特征点即可. 9 / 16 图形的平移 旋转对称图形 中心对称图形 图形的运动 图形的旋转 中心对称 轴对称图形 图形的翻折 轴对称 轴对称和轴对称图形之间的区别与联系： 轴 对 称 轴对称图形 区 别 指两个图形而言； 指两个图形的一种形状与位置 关系. 对一个图形而言； 指一个图形的特殊形状. 联 系 都有一条直线，都要沿这条直线折叠重合； 把两个成轴对称的图形看成一个整体，就是一个轴对称图形；反过来， 把轴对称图形沿对称轴分成两部分，这两部分关于这条直线成轴对称. 轴对称几何图形的对称轴： 名称 是否是轴对称图 形 对称轴有几 条 对称轴的位置 线段 是 条 垂直平分线或线段所在的直线 角 是 条 角平分线所在的直线 长方形 是 条 对边中线所在的直线 正方形 是 条 对边中线所在的直线和对角线所在 的直线 圆 是 无数条 直径所在的直线 平行四边 形 不是 条 10 / 16 第 15 题 七年级第一学期数学期末考卷 一、填空题（每小题 2 分，共 32 分） 1计算： 32) 3( a 2 “比 a 的 2 3 小 1 的数”用代数式表示是 3 肥皂泡表面厚度大约是 0.0007 毫米， 将这个数用科学记数法表示为 毫米 4计算： 32232 2 1812 3 x yx yx y = ； 5因式分解：273 2 x 6因式分解： 16 1 2 1 2 aa 7已知 3 1 x a，那么 x a 2 _ 8若 m+n=8，mn=14，则 22 nm 9当 x 时，分式 2 4 2 x x 有意义 10如果分式 52 2 x x 的值为 1，那么x 11计算： 2 2 11 56 x xxx =_ 12将 12 )(2 yxx表示成只含有正整数的指数幂形式为_ 13如果12 2 mm，那么200863 2 mm的值是_ 14如图，一块含有 30 角（ BAC=30 ） 的直角三角板 ABC， 在水平的桌面上绕 A 点按顺时 针方向旋转到 ABC的位置， 点 B、A、C在一直线上，那么 旋转角是_度 15如图，把图中的某两个 小方格 涂上阴影，使整个图形是以虚 线为对称轴的轴对称图形 第 14 题 B C A C B 11 / 16 16下面是用棋子摆成的“上”字： 第一个“上”字需用 6 枚棋子， 第二个“上”字需用 10 枚棋子， 第三个“上”字需用 14 枚棋子， 如果按照这样的规律继续摆 下去，那么第 n 个“上”字需用 枚棋子 二、选择题（每小题 3 分，共 12 分）每题只有一个正确答案 17如果abAba 3 1 3 23 ，那么A是（ ） （A） 34b a； （B）ba2； （C） 34 3ba； （D）ba29 18现有浓度为 5的果珍饮料 200 克，若要把浓度提高到 10，应往该饮料中添加多少克 果珍. （ ） （A） ； 100 9 （B） 9 100 ； （C）20； （D） 9 200 19下列银行的图标中，既是旋转对称图形又是轴对称图形的是（ ） （A） （B） （C） （D） 20 如果将分式 yx yx 22 22 中的x和y都扩大到原来的 2 倍， 那么分式的值 （ ） （A）扩大到原来的 2 倍； （B）扩大到原来的 4 倍； （C）缩小到原来的 2 1 ； （D）不变 三、解答题（第 2124 每小题 5 分，第 25、26、29 题每小题 6 分、第 27 题 8 分 第 28 题 10 分，共 56 分） 21计算： 2 )(2)2)(2(nmnmnm 22因式分解：124 22 aba 23计算： xxx x x x1 3 6 3 2 24计算： 2 3 28 ()() 3 axaxa bbb 12 / 16 25解方程： 13 2 2 3 31 1 xx 26先化简，再求值： a bab a aba ba 2 2 22 2 ，其中2a，3b 27某地电话公司调低了长途电话的话费标准,每分钟费用降低了原来的 4 1 , 因此按原收 费标准 6 元话费的通话时间,在新收费标准下可多通话 5 分钟，问前后两种收费标准每分钟 收费各是多少? 28如图，在边长为 1 的正方形网格中，CBA与ABC是中心对称图形 （1）在图中标出CBA与ABC的对称中心点 O； （2）如果将ABC向右平移 3 个单位长度，再 向上平移 1 个单位长度，请画出平移后的 111 CBA； （3）画出 111 CBA绕点 O 旋转 180 后得到的 222 CBA； （4）顺次连结C、 1 C、 C 、 2 C，所得到的图 形是轴对称图形吗？ （5）求出四边形 21 CCCC的面积 解： CB A C B A 13 / 16 29如图是由 3 个同样的小正方形所组成，请再补上一个同样的小正方形，使得由 4 个小正 方形组成的图形成为一个中心对称图形要求： （1）补出所有的情况； （2）在所添画的正方形中用数字标出 解： 14 / 16 2010 学年第一学期期末七年级数学试卷 参考答案与评分标准（201012） 一、填空题（每小题 2 分，共 32 分） 1 6 27a； 231 2 a； 3 4 107 ； 4 2 2718xyy； 5) 3)(3( 3xx； 6 2 ) 4 1 ( a； 7 9 1 ； 8 36； 9 2x； 107； 11 1 (6) x x x ； 12 )( 2 2 yxx ； 132011； 14150； D 15 16 24 n 二、选择