自动控制-04e广义根轨迹

在设计控制系统时，可能要调整4-3广义根轨迹的不是开环增益k而是其他参数，在这种情况下，我们总是在变形闭环特征方程式以获得与典型根轨迹方程式类似的形式。 如果可能的话，可以应用典型的根轨迹方法来绘制根轨迹图。 根轨迹增益K*以外时的根轨迹称为广义的根轨迹。 概念：以非开环增益为可变参数的路线轨迹。 描绘参数根轨迹的规则与描绘一般的根轨迹的规则基本相同，但在描绘参数的根轨迹之前对控制系统的特征方程式进行等效变换，以非开环放大率作为可变参数描绘根轨迹的形式，即，在多项式中，s的最高应的系数为1，它们为下一个1、参数的根轨迹，例1负反馈系统的开环传递函数，已知想画出可变参数的根轨迹。 解闭环系统的特征方程式对上式进行等价变换，1、等效开环极为等效开环零点，2、参数根轨迹分支数为2、3、2根轨迹的起点和终点，4、实轴上的根轨迹()、5、根轨迹渐进线，因此渐进线有负实轴，6、根轨迹和实轴分离点坐标7、根轨迹的开始角、8、与实轴上的分离点对应的可变参数a可以通过式、以上的解析计算描绘出如下的根轨迹图，有时控制系统需要增加开环零点来改善动态性能，下图(a )所示的系统是一个例子，其该系统的闭环特征方程，*开环零点是参数的根轨迹，上式的两侧除以s(1 5s) 5时：因此与典型的根轨迹方程等价，相当于n=2、m=1、z1=0、p1、2=-0.1j0.95。 开环零点是参数的根轨迹图，注意：这里的z1、p1、p2与典型的根轨迹方程式等价，是等效系统的开环零、极，这是与典型的根轨迹的主要差异。 这样，能够用基本规则描绘根轨迹的是如下图(b )。 此根轨迹图明确地显示了图a系统中t对闭环节点的影响。 开环零点是参数的根轨迹图，*开环极是参数的根轨迹，控制系统可能需要增加开环极(滤波器等)，下图(a )所示的系统是一个例子。 其中，参数t被选择了多少？ 可以根据路线轨迹决定。 该系统的闭环的特征方程式是：上式的两侧除以s(s 1) K得到：取上式的k的固定常数，t作为参数，以典型的根轨迹方程式的形式，当相当于n=2、m=3、n0时，图(a )、(b )的代表性的系统总是稳定的可以选择离的虚轴更远的闭环极，这表明可以增加位于适当的虚轴左侧的开环零点，增加稳定裕度，提高迅速性。 图(c )增加的是位于虚轴右侧的零点，很明显，在此情况下，系统仅在K0.67时稳定，这说明了位于虚轴右侧的开环零点增加，通常降低了稳定性。 可见，如果系统具有虚拟轴右侧的零点(无论是固有的还是加入的)，则称为非最小相位角系统，从此例子中，非最小相位角系统的动态性能需要认真处理。 图(d )增加的是位于虚轴左侧的极，很明显，该情况下，系统仅在K60的情况下稳定，与图(a )相比，说明了在开环系统中增加位于虚轴左侧的极时，通常稳定性下降。 图(e )在图(d )的基础上追加了虚拟轴左侧的零点，大幅度提高了闭环系统的稳定性。 图(f )根据图(a )追加了位于虚轴右侧的极，这种情况下，从该极出发的一根根的轨迹都位于虚轴的右侧，意味着k取任何值闭环系统都不稳定，不优选追加位于虚轴右侧的极。 但是，如果在虚拟轴的左侧添加适当的零点，该系统条件稳定，请具体证明。另外，在设计控制系统时，通常在控制器的零(极)点处抵消被控制对象的零(极)点以减少系统阶段或抵消大的惯性链路是有利的，但也有例外。 另外，图4-14(a )是以下三次系统的根轨迹：*零，极对消除问题，如果附加图4-14(a )，零点z1=-1来抵消系统的稳定极P1=-1，则系统的传递函数为：其根轨迹图4-14(b )，系统的稳定性大幅提高。 现在考虑到建模误差的影响，如果开环传递函数的参数不准确，假定实际系统P1=-0.8或P1=-1.2，则以P1=-1建模，零极正好不抵消，根轨迹为图4-14(c)(d )。 另外，图4-14(b )、图4-14(c )、图4-14(d )中，如果用零点z1=1抵消系统的不稳定极P1=1，则系统的开环传递函数为：根轨迹图明显地，尽管有建模误差，但是通过附加零点来实现系统但是，情况并不一定乐观，考虑下一个三次系统，其根轨迹在图4-14(e )中，零、极正好消失，系统的稳定性大幅度提高。 考虑到建模误差的影响，假设实际系统P1=0.8，不要用零、极抵消的方式抵消系统的不稳定极和零点。图4-14(e )、图4-14(f )，如上所述：一、增加开环零点对根轨迹的影响，由画根轨迹的规律，增加开环零点，对系统的根轨迹有如下影响：一、改变了根轨迹在实轴上的分布。 2、改变了根轨迹渐近线的根数、角度及交点位置。 3、增加的开环零点和某极重叠或距离近，构成开环零点对后，两者相抵消。 因此，可以追加零点来抵消损害系统性能的极点。 4、根轨迹曲线向左移动，有利于改善系统的动态性能，加上的零点越接近虚轴，其影响越大。 二、增加开环电极对根轨迹的影响，增加开环电极，对