2.3-2.4：母线平行于坐标轴的柱面和空间曲线方程.ppt

定义:,柱面,观察柱面的形成过程:,在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所形成的曲面称为柱面。,定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线，这族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母线.,柱面,定义:,在空间，由平行于定方向且与一条定曲线相交的一族平行直线所形成的曲面称为柱面。,定方向叫做柱面的方向，定曲线叫做柱面的准线，这族平行直线中的每一条直线，都叫做柱面的母线.,观察柱面的形成过程:,柱面,柱面,柱面,柱面,柱面,柱面,柱面,柱面,柱面,2.3母线平行于坐标轴的柱面的方程,考虑一个不含变数z的方程,表示什么图形?,毫无疑问，在平面上,它一般表示一条曲线.在空间呢?,讨论:,假设它在空间表示的曲面为.,我们将证明它是,一个母线平行于z轴的柱面.,方程(1)在xoy平面上表示一条曲线,记为.,上任意点,Q的坐标为:,(x1,y1).,Q在空间的坐标为:,(x1,y1,0).,显然,(x1,y1,0)满足方程(1).,(可以将方程(1)看作F(x,y)+0z=0),因此,Q点在曲面上.,Q(x1,y1,0),也就是说,曲线上的点都在曲面,上.,现在,过Q点作一条垂直于xoy面的直线L.,L,设P是L上任意一点.,P的坐标为:,P,(x1,y1,k),(x1,y1,k),这里k=QP,代数长.,P的坐标满足方程(1)吗?,满足!,注意可以将方程(1)看作F(x,y)+0z=0,这说明整个直线L在曲面上.,注意到Q点的任意性,所以,曲面至少包含沿曲线移动而平行于z轴的所有直线.,L,曲面至少包含沿曲线移动而平行于z轴的所有直线.,除了这些直线外,曲面还包含其它点吗?,没有其它类型的点!,证明:,设P(x1,y1,z1)是,曲面上任意一点.,下面只须说明P在过P而平行于z轴的直线上.,过P点作直线s垂直于xoy面,垂足为Q.则Q的坐标(x1,y1).,P,Q,由于P是曲面上的点,所以它的坐标满足方程(1),即,F(x1,y1)=0,这说明点,(x1,y1),也即点Q,在曲线上.,所以直线s(也即PQ)s是一条母线,在曲面上.,证毕.,s,在空间,方程F(x,y)=0表示一张母线平行于z轴的柱面.,在空间,方程F(x,z)=0表示什么?,一张母线平行于y轴的柱面.,在空间,方程F(y,z)=0表示什么?,一张母线平行于x轴的柱面.,例1,方程,在空间表示什么曲面?,椭圆柱面,a,b,动画椭圆柱面,例2,方程,在空间表示什么曲面?,双曲柱面,z,o,动画双曲柱面,例3,方程,在空间表示什么曲面?,抛物柱面,动画抛物柱面,2.4空间曲线的方程,称为空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，满足方程的点都在曲线上，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点：,一、空间曲线的一般方程,例1方程组表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,例2写出Oz轴的方程,Oz轴可以看作是两个坐标面yoz和xoz面的交线.,所以,Oz轴的一般方程为:,同理,Ox轴的一般方程为:,Oy轴的一般方程为:,例3求在xoy面上,半径为R,圆心在坐标原点的圆的方程.,解:,圆可以看作是一个平面和一个球的交线.,考虑一个球心在坐标原点,半径为R的球面.,它的方程是,xOy面的方程为,z=0,所以所求圆的一般方程为:,例4方程组表示怎样的曲线？,解,上半球面,圆柱面,交线如图.这个曲线称为维维安尼(Viviani)曲线.,二、空间曲线的参数方程,在空间取定一个标架(坐标系),点P是空间中一个动点,它与参数t有关.,于是,它的径矢也,与参数t有关,可以记为,当t变化时,动点P在空间画出一条曲线,显然,这条曲线,也可以看作是由动径矢的终点P画出.,也就是说,一个,起点固定在坐标原点的矢量,它若随着一个参数变化,那么它的终点就描画出一条曲线.,我们称动径矢是变数t的矢性函数.,记为,将矢性函数用分量形式表示,也就是说写成基矢量的线性组合.,定义2.1.2,当空间取定了标架后,如果矢性方程(1)与一,条曲线有着关系:,的终点必在曲线上;,(1)对于每一个t值,矢性方程的径矢,曲线的矢量式参数方程,其中t叫做参数.,(2)曲线上任何一点的径矢都可以由,方程(1)中取某个t值后得到.,那么这个方程(1)就叫做这条,而这条曲线叫做,这个矢性方程(1)的图形.,空间曲线的坐标式参数方程,例5空间一个质点一方面绕一条轴线作等角速度的圆周运动，另一方面作平行于轴线的直线运动,其速度与角速度成正比.求这个质点运动的轨迹方程,解:,设,在空间建立坐标系使Oz轴重合与轴线.,设动点从A(a,0,0)点出发，经过t时间，运动到P(x,y,z)点.,容易看出,取时间t为参数，,设P是轨迹上任意一点.,P在面的投影,Q(x,y,0),所求参数方程为,(关于用矢量方法推导参数方程,可以参见书中92页),上面的轨迹称为圆柱螺旋线.,它可以看作是质点在,一个半径为a的圆柱面上盘旋而成.(见图),参数方程,动画圆柱螺线,A,同时又在平行于z轴的方向等速地上升。其轨迹就是圆柱螺线。,圆柱面,a,x=y=z=,acost,bt,asint,t,.,点A在圆柱面上等速地绕z轴旋转；,消去变量z后得：,称为曲线关于的投影柱面.,设空间曲线的一般方程：,以此空间曲线为准线，垂直于所投影的坐标面.,投影柱面的特征：,同样,分别消去变量x,y后得：,依次称为曲线关于的投影柱面.,问:方程,表示什么?,曲线,同样,方程,也分别表示曲线.,和,例6,求曲线L:,的投影柱面.,解:,消去z得关于xoy面的投影柱面:,消去y得关于xoz面的投影柱面:,这是抛物柱面.,是圆柱面.,消去x得关于yo