5第五章 流体动力学微分形式基本方程.ppt

流体力学，顾伯琴主编，研究生教材，撤收，中国科学文化出版社，第二章流体动力学与流体工程基本原理，流体动力学微分形式基本方程，流体动力学积分形式基本方程，伯努利方程及其量纲分析与相似原理的应用，边界层理论的流动阻力与管道计算，物体周围流体流动的气体动力学基本原理，第5，6，7，8，9章，撤收，返回，第10章。 第11章，第12章，第5章流体动力学基本方程微分形式，连续性方程理想流体运动方程实际流体运动方程，第1节，第2节，第3节，出口，返回，流体运动必须遵循一些物质运动的一般规律，如质量、动量和能量守恒定律。 当这些普遍规律应用于流体运动时，可以得到流体速度、密度、压力和温度等参数之间的关系。这些关系被称为流体动力学的基本方程。可以为微元体建立基本方程，得到微分形式的基本方程。还可以通过对控制体和控制面进行积分来建立控制体并获得流体参数之间的积分关系。求解为微元控制体建立的微分形式的基本方程或积分形式的基本方程可以给出流场细节，即流体参数如压力、温度、速度和密度在空间各点的分布。本章讨论微分形式的基本方程。第五章流体动力学微分形式的基本方程，提取，返回，第1页，第五章流体动力学微分形式的基本方程，提取，返回，第一节连续性方程，第2页。在研究流体运动时，处理流体体积必须遵循物质永生的原则。因为流体充满整个流场并连续运动，所以物质永生化原理在流体力学中也被称为连续性原理。反映这一原理的数学关系称为连续性方程。首先，笛卡尔坐标系的连续性方程，取流场中的一个六面体微团，其边长为，(图5.1)。在单位时间内沿该方向流入六面体的流体质量为，在单位时间内沿该方向流出六面体的流体质量为，在单位时间内沿该方向流出六面体的流体质量为，在单位时间内流出六面体的流体质量为，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第1节连续性方程，第3页，类似地， 沿该方向在单位时间内流出六面体的流体质量为，沿该方向在单位时间内流出六面体的流体质量为，此外，流体密度随时间的变化也影响六面体中流体的质量。 如果此刻的流体密度是此刻的流体密度，由于单位时间内密度变化而添加到六面体中的流体质量是，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第1节连续性方程，第4页。根据连续流动的原理，流出六面体的流体质量和加入六面体的流体量之和为零，并且六面体中的流体质量是恒定的，即方程(5.1)是流体的连续方程。上述方程被扩展，并且注意到(5.1)，那么连续性方程也可以被写成向量形式，(5.3)，(5.3a)，或者，(5.2)，第5章流体动力学微分形式的基本方程，出口，返回，第1节连续性方程，第5页，对于稳定流动，那么方程(5.1)变成，即，(5.4a)，(5.4)，不可压缩流体的常数，那么连续性方程是，(5.5)，(5.5a)，即，第5章流体动力学微分形式的基本方程，出口，返回，部分圆柱坐标系的连续性方程，在圆柱坐标系中，取一个扇形六面体流体胶束ABCD，如图5.2所示。在单位时间内流入AB、BC和CA表面的流体质量为，流出CD、DA和BD表面的流体质量为，第五章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第一节连续性方程，第7页。单位时间内流出微团簇的流体质量是，微团簇中由于流体密度增加而增加的流体质量，根据连续性原理，微团簇中流体质量的总变化应该等于零，这就是圆柱坐标系的连续性方程。(5.6)，对于不可压缩流体，是常数，连续性方程是，(5.7)，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第2节理想流体运动方程，第1页，运动方程描述了作用在运动流体上的力和流动参数之间的关系。理想流体是指非粘性流体。工程实践中的所有流体都是粘性的，它们不是理想的流体。然而，在许多情况下，流体的粘滞力与其他力相比几乎没有影响，因此它们可以被视为理想流体。建立理想流体运动方程的基础是牛顿第二运动定律。在理想流体流场中取出一个微小的六面体胶束。微团簇上的力包括表面力(压力)和体积力(质量力)。轴向上六面体单位质量的表面力和体积力如图5.3所示。如果每单位质量的体积力是x，y，z，那么，根据牛顿第二运动定律，在轴向方向上，应该有第5章流体动力学微分形式的基本方程，出口，返回，第2页，简化，轴向方向上的力的平衡关系，所以，同样，在第2节，第5章流体动力学微分形式的基本方程，出口，返回，第3页，有理想流体运动的方程，它们被称为每单位质量的体积力矢量。(5.8a)、(5.8)是理想流体的运动方程，由欧拉于1755年提出，故又称欧拉运动方程。给出了压力、体积力和惯性力的关系。对于给定的流体(密度是已知的，或者压力和密度之间的关系是已知的，例如气体方程)，在已知的体积力场(即，x，y，z是已知的)内，根据该方程和连续性方程积分，可以求解流场中任何时间t和任何位置(x，y，z)的p，wx，wy，wz。然而，在实践中很难对公式进行分析和计算，往往需要给出一些限制条件。最简单的限制是讨论沿流线和非涡流场的运动。这两种情况都有实际意义，将在后面详细讨论。第2节理想流体运动方程第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第4页，圆柱坐标系中的欧拉方程形式可通过与上述相同的方法获得。在流场中取微小的扇形六面体胶束，然后根据牛顿第二运动定律列出胶束的力平衡方程，从而得到坐标系的欧拉运动方程，具体形式如下、分别是r、z方向单位质量体积力的分量。在第二节中，除了欧拉方程和连续性方程之外，通过添加状态方程和能量方程来求解理想流体的运动方程p，t。理想流体运动问题的求解主要依靠欧拉方程和连续性方程。方程是通用的，但是每个问题的初始条件和边界条件是不同的，所以应该对每个具体的问题进行具体的分析。初始条件是指对应于流体运动开始的时刻的条件。在理想流体力学问题中，所需要的是，第5章流体动力学基本方程微分形式，退出，返回，第5页，第二，不可压缩流体流动的理想流体运动方程的解，未知量是p，连续性方程可以解。对于可压缩流体的流动，未知量是、p、t，因此，在时间上，这些物理量的值，所以欧拉方程加，应该给出，即，第2节理想流体运动方程，第5章流体动力学基本方程微分形式，退出，返回，第6页，其中f1到f6是给定的函数。对于稳定流动，流场中各点的物理量不随时间变化，因此不存在初始条件。边界条件是指边界上物理量的值。对于静止的固体壁，因为流体不能穿过壁并且在流体和边界壁之间没有形成间隙，所以沿着壁的法线方向靠近边界壁的流体层的流体速度分量为零，也就是说，其切向分量不为零。对于移动的固体壁，该层中流体速度的法向分量必须等于固体边界壁上相应点处速度的法向分量，即根据作用力和反作用力相等的定律， 流体作用在边界壁或自由表面上的外部介质的流体颗粒上的力等于边界壁或外部介质作用在流体上的力，即第二段理想流体运动方程，第五段流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第7页，例5.1，存在稳定的流场，其速度分布为， 试着证明它是不可压缩的。也假设质量力是重力，z轴垂直向上，长度单位是m，试着计算点m (2，2，5)的压力梯度。解：连续性方程和运动方程分别为，对于不可压缩流，连续性方程变为，速度分布代入上述方程得到，因此，流是不可压缩的。第2节理想流体运动方程，第5节流体动力学微分形式的基本方程，提取，返回，第8页，由于质量力是重力，运动方程是，代入给定的A，X，Y，Z，获得第2节理想流体运动方程，第5节流体动力学微分形式的基本方程，提取，返回，第3节实际流体运动方程，第1页，为实际流体运动方程建立的欧拉方程是理想流体运动方程，理想流体是无粘的。实际的流体是粘性的，因此作用在流体胶束上的力将更加复杂。目前，仍采用流场中边长为微团簇的六面体进行分析(图5.4)。由于流体是粘性的，除了法向力之外，作用在每个正方形面上的力还包括切向力(剪切力)。法向力也不同于理想的流体情况。它不仅是流体的表面力(压力)，也是剪切变形引起的附加法向力。法向应力用表示，切向应力用表示。那么沿x轴方向作用在胶束上的所有表面力的合力是，沿x轴方向的质量力是，出口，返回，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第2页，第3节实际流体运动方程。根据牛顿第二运动定律，沿x轴方向的力的平衡方程如下所示，即，也可以获得沿y轴和z轴的力的平衡方程。简化后，第5章流体动力学基本方程微分形式，退出，返回，第3页，第3节实际流体运动方程，将弹性力学中的应力应变关系应用于流体力学，并做如下替换：用流体力学中的变形率替换弹性力学中的应变；流体的动态粘度用来代替固体的剪切模量；流体压力的负值()用来代替弹性中的平均法向应力。当流体停止流动(静态流体)或匀速运动时，所有剪切应力将消失，只有压力()处于正常应力状态。对于剪切应力存在的一般情况，该压力仍然存在，并且与坐标方向无关。因此，在一般实际流体的运动方程中，仍然可以认为只有当速度梯度和温度梯度非常高时，才会有较大的偏差。在上述替换之后，实际流体运动中的应力和变形率之间的关系可以如下获得，第五章流体动力学微分形式的基本方程，撤回，返回，第4页，第三节实际流体运动方程，从方程(5.11)的前三个方程可以看出，粘性流体运动中的法向应力由两部分组成，即静压P和剪切变形引起的附加法向应力。将等式(5.11)代入等式(5.10)以获得(5.11)，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第5页，第3节实际流体运动方程，等式(5.12)是实际流体运动方程，或纳维尔-斯特当流体的粘度为常数时，方程(5.12)可以写成(5.12)，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第6页，第3节实际流体运动方程，或以矢量形式，(5.13)，对于不可压缩流体，因为，被写成，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第7页，第3节实际流体运动方程，或以矢量形式写成，(5.14)。对于圆柱坐标系，考虑一个扇形六面体微团簇(以R、R、dr、D、Z、z dz的六个面为边界面)。根据牛顿第二运动定律，可以得到圆柱坐标系的纳维尔-斯托克斯方程。当将粘度视为常数时，其形式如下(推导省略)，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第8页，第3节实际流体运动方程，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第9页，第3节实际流体运动方程，其中Fr，f，Fz是r和z方向上单位质量体积力的分量，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第10页，第3节不可压缩流体的实际流体运动方程。对于稳定流动，上述方程显然可以简化。其次，用纳维尔-斯托克斯方程、连续性方程、状态方程、能量方程(热力学第一定律)和粘温关系求解实际流体运动方程。七个方程可以同时求解、P、T和七个未知量。必须在一定的初始和边界条件下进行求解。对于稳定流动，只需要给出边界条件。由于粘性流体的粘着效应，固体壁上的流体颗粒和相应的固体壁具有相同的速度，即，惯性项是纳维尔-斯托克斯方程中的非线性项，因此求解非常困难。对于理想流体，当速度势存在时，不可压缩理想流体的流动问题被简化为求解拉普拉斯问题，从而可以由许多简单流动转化为复杂流动。但对于粘性流体，由于它是一个非线性问题，不能用叠加法求解。第5章流体动力学微分形式的基本方程，退出，返回，第11页，第3节流体运动的实际方程，到目前为止，除了一些经典问题，一般问题的解析解仍然是不可能的。近年来，数值计算方法发展迅速。借助现代计算工具，解决了工程实践中的许多复杂水动力问题，其中纳维尔-斯托克斯方程是非常重要的计算基础。例2解决了两个固定无限二维平行板之间不可压缩流体的稳定层流问题(图5.5)。解决方案：X轴在两个板的中间，流动是沿着X方向，所以wy=wz=0。对于不可压缩流体的稳定平面流动，纳维尔-斯托克斯方程和连续性方程是，第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第12页，第3节实际流体运动方程，第二和第三个方程表明压力P只是X的函数，与Y和Z无关，最后一个方程表明wx与X无关，因此，第一个方程变成，第五章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回， 第13页，第3节实际流体运动方程，上面方程左边的x和右边的y的函数。 对于具有不同变量的全微分方程，只有当方程的两边都等于常数时，才能建立。因此，速度分布可以从边界条件获得：当，当，当，时，可以看到wx沿着板间隙的高度方向抛物线分布，如图5.5所示。如果板长为l，入口和出口压力分别为p1和p2，速度分布公式可写成：第5章流体动力学基本方程微分形式，出口，返回，第14页，第3节实际流体运动方程，通过板宽b的流速为，例3解决了长圆管中不可压缩流体的稳定层流问题。将管道长度设置为l，不包括质量力(图5.6)。解决方案：显然，在这个问题中，从圆柱坐标中不可压缩流体的连续性方程和纳维尔-斯托克斯方程获得，第5章流体动力学基本方程的微分形式，出口，返回，第15页，第3节实际流体运动方程，从第一个方程和流动对称性出发，从第一个方程和流动对称性出发，wz只是R的函数.根据第二和第三表达式，p仅是z的函数。这意味着垂直于管道轴线的每个端面上的速度分布是相同的，并且相同端面上的压