2020高考数学二轮复习课堂学案课件-高考提能 圆的第二定义—阿波罗尼斯圆

,高考提能圆的第二定义阿波罗尼斯圆,板块二专题五解析几何,一、问题背景,苏教版数学必修2P112第12题：已知点M(x，y)与两个定点O(0,0)，A(3,0)的距离之比为，那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所构成的曲线.,二、阿波罗尼斯圆,公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯(Apollonius)在平面轨迹一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆.如图，点A，B为两定点，动点P满足PAPB.则1时，动点P的轨迹为直线；当1时，动点P的轨迹为圆，后世称之为阿波罗尼斯圆.,证明：设AB2m(m0)，PAPB，以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(m,0)，B(m,0).,两边平方并化简整理得(21)x22m(21)x(21)y2m2(12).当1时，x0，轨迹为线段AB的垂直平分线；,上述课本习题的一般化情形就是阿波罗尼斯定理.,三、阿波罗尼斯圆的性质,1.满足上面条件的阿波罗尼斯圆的直径的两端是按照定比内分AB和外分AB所得的两个分点.,2.直线CM平分ACB，直线CN平分ACB的外角.,4.CMCN.,5.当1时，点B在圆O内，点A在圆O外；当01时，点A在圆O内，点B在圆O外.6.若AC，AD是切线，则CD与AO的交点即为B.7.若过点B作圆O的不与CD重合的弦EF，则AB平分EAF.,四、范例欣赏,例1设A(c,0)，B(c,0)(c0)为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a(a0)，求P点的轨迹.,解设动点P的坐标为(x，y)，,化简得(1a2)x22c(1a2)xc2(1a2)(1a2)y20.,当a1时，化简得x0.,当a1时，P点的轨迹为y轴.,例2如图，圆O1与圆O2的半径都是1，O1O24，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得PMPN，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.,解如图，以O1O2的中点O为原点，O1O2所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则O1(2,0)，O2(2,0)，,因为两圆的半径均为1，,设P(x，y)，则(x2)2y212(x2)2y21.即(x6)2y233，所以所求轨迹方程为(x6)2y233.,例3如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4，设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；,切线的斜率存在，设切线方程为ykx3.,故所求切线方程为y3或3x4y120.,(2)若圆C上存在点M，使MA2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.,化简得x2(y1)24.即点M的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D.又因为点M在圆C上，故圆C与圆D的关系为相交或相切.,解设点M(x，y)，由MA2MO，知,例4在x轴正半轴上是否存在两个定点A，B，使得圆x2y24上任意一点到A，B两点的距离之比为常数？如果存在，求出点A，B坐标；如果不存在，请说明理由.,设P(x，y)，A(x1,0)，B(x2,0)，其中x2x10.,所以解得x11，x24.,五、跟踪演练,解析以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，,平方化简整理得y2x26x1(x3)288.,2.在ABC中，边BC的中点为D，若AB2，BCAD，则ABC的面积的最大值是_.,解析以AB的中点为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，则A(1,0)，B(1,0)，,3.在平面直角坐标系xOy中，设点A(1,0)，B(3,0)，C(0，a)，D(0，a2)，若存在点P，使得PAPB，PCPD，则实数a的取值范围是_.,解析设P(x，y)，,另一方面，由PCPD知动点P在线段CD的垂直平分线ya1上运动，因而问题就转化为直线ya1与圆(x5)2y28有交点.,4.如图，在等腰ABC中，已知ABAC，B(1,0)，AC边的中点为D(2,0)，则点C的轨迹所包围的图形的面积等于_.,解析因为AB2AD，所以点A的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为(x3)2y24(y0).设C(x，y)，由AC边的中点为D(2,0)，知A(4x，y)，所以C的轨迹方程为(4x3)2(y)24(y0)，即(x1)2y24(y0)，所求的面积为4.,4,5.如图，已知平面平面，A，B是平面与平面的交线上的两个定点，DA，CB，且DA，CB，AD4，BC8，AB6，在平面上有一个动点P，使得APDBPC，求PAB的面积的最大值.,解DA，PA，DAPA，,APDBPC，BP2AP.在平面上以线段AB的中点为原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A(3,0)，B(3,0)，,化简得(x5)2y216，y216(x5)216.,|y|4.,6.已知O：x2y21和点M(4,2).(1)过点M向O引切线l，求直线l的方程；,解由题意知，直线l的斜率存在，设切线l的方程为y2k(x4)，,(2)求以点M为圆心，且被直线y2x1截得的弦长为4的M的方程；,M的方程为(x4)2(y2)29.,(3)设P为(2)中M上任一点，过点P向O引切线，切点为Q，试探究：平面内是否存在一定点R，使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.,解假设存在这样的点R(a，b)，点P的坐标为(x，y)，相应的定值为.,即x2y21