3.1数系的扩充和复数的概念.ppt

,问题提出,对此你有什么困惑？,由于实数的局限性，导致某些数学问题出现矛盾的结果，数学家们预测，在实数范围外还有一类新数存在，还有比实数集更大的数系.,问题提出,数系的扩充和复数的概念,从社会生活来看为了满足生活和生产实践的需要，数的概念在不断地发展.从数学内部来看，数集是在按某种“规则”不断扩充的.自然数是“数”出来的，其历史最早可以追溯到五万年前.,探究点1数系的扩充,负数是“欠”出来的.它是由于借贷关系中量的不同意义而产生的.我国三国时期数学家刘徽（公元250年前后）首先给出了负数的定义、记法和加减运算法则.,刘徽（公元250年前后）,数集扩充到整数集,分数（有理数）是“分”出来的.早在古希腊时期，人类已经对有理数有了非常清楚的认识，而且他们认为有理数就是所有的数.,数集扩充到有理数集,1,1,边长为1的正方形的对角线长度为多少？,？,毕达哥拉斯(约公元前560480年）,无理数是“推”出来的.公元前六世纪，古希腊毕达哥拉斯学派利用毕达哥拉斯定理，发现了“无理数”.“无理数”的承认（公元前4世纪）是数学发展史上的一个里程碑.,数集扩充到实数集,正数与负数，有理数与无理数，都是具有“实际意义的量”，称之为“实数”，构成实数系统.实数系统是一个没有缝隙的连续系统.,实数集能否继续扩充呢?,数系每次扩充的基本原则：,第一、增加新元素；,第二、原有的运算性质仍然成立；,第三、新数系能解决旧数系中的矛盾.,由得，这与矛盾的原因是什么？,方程x2x10无实根,方程x2x10无实根的根本原因是什么？,1不能开平方,问题探究,为了解决负数开平方问题，数学家大胆引入一个新数i，把i叫做虚数单位，并且规定：(1)i21；(2)实数可以与i进行四则运算,在进行四则运算时,原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和分配律)仍然成立.,问题解决:,给出“虚数”这一名称的是法国数学家笛卡尔(15961650)，他在几何学(1637年发表)中使“虚的数”与“实的数”相对应，从此，虚数才流传开来.,笛卡尔(R.Descartes,15961650),我们了引入一个新数i，这个数是1的一个平方根，,思考：,方程x2x10的根是什么？,1的还有其它平方根吗?,-i,思考：,若x41，则x等于什么？,1，1，i，i.,思考：,满足i21的新数i显然不是实数，称为虚数单位，根据数系的扩充原则，应规定虚数单位i和实数之间的运算满足哪些运算律？,乘法和加法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律.,思考：,1、虚数单位i与实数进行四则运算，可以形成哪种一般形式的数？,abi（a，bR）,2、把形如abi（a，bR）的数叫做复数，全体复数所成的集合叫做复数集，记作C，那么复数集如何用描述法表示？,Cabi|a，bR,问题探究,3、复数通常用字母z表示，即zabi（a，bR），这一表示形式叫做复数的代数形式，其中a与b分别叫做复数z的实部与虚部，那么复数z3i的实部和虚部分别是什么？,实部为,虚部为3.,问题探究,4、两个实数可以相等，两个复数也可以相等，并且规定：abicdi（a，b，c，dR）的充要条件是ac且bd，那么abi0的充要条件是什么？,ab0,问题探究,5、对于复数zabi（a，bR）当b0时，z为什么数？由此说明实数集与复数集的关系如何？,当b0时z为实数.,实数集R是复数集C的真子集.,问题探究,6、对于复数zabi（a，bR）当b0时，z叫做虚数，当a0且b0时，z叫做纯虚数，那么虚数集与纯虚数集之间如何？,纯虚数集是虚数集的真子集.,问题探究,复数的代数形式：,通常用字母z表示，即,其中称为虚数单位。,复数a+bi,7、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系用韦恩图怎样表示？,实数,虚数,问题探究,8、两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数可以比较大小吗？,注意：一般对两个不全是实数的复数只能说相等或不相等；不能比较大小。,例1.说明下列数是否是虚数，并说明各数的实部与虚部,例2.实数m取什么值时，复数z=(m2-3m-4)+(m2-5m-6)i(1)是实数？(2)纯虚数？(3)零？,解：(1)当m2-5m-6=0时，,即m=6或m=-1时，,z为实数,练一练：,1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与虚部。,5+8，,0,2、判断下列命题是否正确：（1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数（2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数（3）若a为实数，则Z=a一定不是虚数,-1,2,1、（广东卷）下列n的取值中，使in=1(i是虚数单位）的是（）,A、n=6B、n=7C、n=8D、n=