二项式定理典型例题解析

可编辑版二项式定理概念篇【例1】求出二项式(a-2b)4的展开式.分析：直接利用二项式定理展开解：根据二项式定理，得到(a-2b )4=ca4ca3(-2b ) Ca2 (-2b ) 2ca (-2b ) 3c (-2b ) 4=a4-8a3b 24a2b2-32ab3 16b4说明：应用二项式定理时要注意指定席，本问题容易错误地忽略-2b中的符号“-”展开(2x-)5。分析1 :直接用二项式定理展开式解法1:(2x-)5=c (2x ) 5c (2x )4(-) c (2x )3(-) 2c (2x )2(-) 3C (2x)(-)4 C(-)5=32x5-120x2 - -。分析2 :对于比较复杂的公式，简化后用二项式定理展开解法2:(2x-)5= c (4x3) 5c (4x3)4(-3 ) c (4x3)3(-3 ) 2c (4x3)2(-3 ) 3c (4x3) (-3 )4C(-3)5=(1024 x 15-3840 x 125760 x9- 4320 x 61620 x3- 243 )=32x5-120x2 - -。说明：记住二项式(a b)n的展开式，是解决有关二项式定理问题的前提条件。 对于复杂的二项式，有时简化后再展开会更容易在(x-)10的展开式中，x6的系数为解法1 :从二项式定理可知，x6的系数是c解法2:(x-)10的展开式的通项是Tr 1=Cx10-r(-)r如果设10-r=6、即r=4，则从项式可知，包含x6的项是第5项，即T4 1=Cx6(-)4=9Cx6 .x6的系数是9C上面的解法1和解法2明显不同，哪一个是对的呢？问题在于求包含x6的二项式的系数，而不是包含x6的二项式的系数，所以解法应该是正确的。 如果问题变成求包含x6的二项式系数，解法是正确的，即c说明：要注意二项式系数和指定某项的系数的差异二项式的系数和项的系数是两个不同的概念，前者只与二项式的指数和项数有关，后者与二项式、二项式的指数和项数有关。【例4】已知二项式(3-)10(1)求其展开式第4项的二项式系数(2)求其展开式的第4项的系数(3)求其第四项分析：用二项式定理展开公式解： (3-)10的展开式的通项是tr1=c (3) 10-r (-) r (r=0，1，10 )。(1)展开式第四项的二项式系数为C=120(2)展开式的第四项的系数为C37(-)3=-77760(3)展开式的第4项为-77760()7，即-77760说明：注意把(3-)10写为3 (-)10，做成二项式定理的形式求二项式(x2 )10的展开式中的常数项。分析：展开式的r 1项为C(x2)10-r()r，要成为常数项，必须将“x”的指数为零，x0=1，x0。解：设r 1项为常数项时假设tr1=c (x2) 10-r () r=CX () r (r=0，1，10 )，设20-r=0，r=8。T9=C()8=第9项是常数项，其值为说明：有二项式展开式的项是常数项，这不包含“变量”，一般用将通项Tr 1中的变量指数归零的方法求出常数项【例6】求(1)式(1 2x)7展开式中的系数的最大项(2)求出(1- 2x ) 7展开式中的系数的最大项.分析：利用展开式的通项式，得到系数式，列举了相邻两个系数间关系的不等式，并求出其最大值解： (1)将r 1项的系数设为最大时也就是说简化的0r7，87563； r=5系数的最大项是T6=C25x5=672x5(2)解：展开式有8项，系数的最大项必须在正项，即第一、三、五、七项中取得.另外，(1-2x)7括号内的两项中，后两个系数的绝对值大于前两个系数的绝对值，因此系数的最大值一定在中间或右边说明：在本例中，(1)的解法是求系数最大项的一般解法，(2)的解法通过分析展开式多项式，解题过程被简化，比较简洁(12x )在n的展开式中第6个和第7个系数相等，在展开式中求出二项式的系数最大的项和系数最大的项。分析：根据已知条件求出n，根据n的奇偶校验确定二项式系数最大的项解：在T6=C(2x)5、T7=C(2x)6、根据题目的不同，在C25=C26、n=8. (1 2x)8的展开式中，二项式系数最大的项是T5=C(2x)4=1120x4如果将第r 1个系数设为最大5r6.r=5或r=6系数最大的项是T6=1792x5，T7=1792x6说明： (1)求出二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n为奇数时，中间的二项式系数最大，n为偶数时，中间项的二项式系数最大(2)求展开式中系数的最大项和求二项式的系数的最大项不同，根据各系数的正、负的变化状况，一般需要采用列不等式，用解不等式的方法来求.应用篇如果1)n=an bn(an，bnZ )，则为bn的值()一定是奇数、偶数有与c.bn的奇偶校验和逆d.a相同的奇偶校验分析1 :形式可以像二项式定理一样展开后再考察解法1:(1)n=anbn，an bn=(1 )n=C C C()2 C()3 C()n。bn=1 C()2 C()4 bn是奇数。回答： a分析2 :选择问题的答案是唯一的，可以使用特殊的值法解法2 :若设n-n * n=1，则(1)1=(1)、b1=1为奇数.如果n=2，则(1)2=2 5，b2=5为奇数.回答： a【例9】将10展开为多项式时，合并类似项后的项目数为()A.11B.33C.55D.66分析： (x y z)10视为二项式展开解：如果将x y z视为(x y) z，用二项式展开，则11项，即(x y z)10=(x y)10-kzk。此时，由于“和”中的各项z的指数各不相同，所以即使展开各自的二项式(x y) 10-k，展开不同的积c (xy ) 10-kzk (k=0，1，10 )，也不出现类似项.接着，分别考虑各乘积c (xy ) 10-kzk (k=0，1，10 ) .其中各积展开后的项目数由(x y)10-k决定，而且各项目中即使x和y的指数不同也不会出现类似项，所以原式展开后的总项目数为11 10 9 1=66回答： d说明：把三项式定为二项式是解决三项式问题的常用方法求出例10(|x|-2)3展开式中的常数项.分析：把原式变形为二项式定理的标准形状解：(|x| -2)3=(-)6展开式的通项是Tr 1=C()6-r(-)r=(-1)rC()6-2r。Tr 1是常数项，6-2r=0、r=3.展开式的第4项是常数项，即T4=-C=-20说明：虽然有些不是二项式，但可以变成二项式的主题，变成二项式后再解求出展开式(-)9的有理项。分析：展开式中的有理项是通项式中x的指数为整数的项解：Tr 1=C(x)9-r(-x)r=(-1)rCx令- z，即，4-z，且r=0、1、2、9。r=3或r=9在r=3的情况下，=4，T4=(-1)3Cx4=-84x4。在r=9的情况下，=3，T10=(-1)9Cx3=-x3。222222222喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓喀嚓6说明：利用二元展开式的通项Tr 1，可以求出展开式中的特定项目若(3x-1)7=a7x7 a6x6 a1x a0，请求(1)a1 a2 a7；(2)a1 a3 a5 a7；(3)a0 a2 a4 a6分析：求出的结果与各系数有关，可以考虑使用“特殊值”法，整体地解决解： (1)假设x=1，则a0=-1；假设x=1，则a7 a6 a1 a0=27=128. a1 a2 a7=129。(x=-1时，a7a5a4a2a1a0=(-4)7.由来： a1 a3 a5 a7=128-(-4)7=8256。(3)得到的a0 a2 a4 a6=128 (-4)7=-8128说明： (1)本解法基于问题恒等式的特征使用“特殊值”法，这是重要的方法，用于恒等式(2)一般来说，多项式g(x )=(pxq ) n=a0a1xa x2a3x3x4a5x6a7x 7，g(x )项的系数、g(1)，g(x )的奇数项的系数和g(1) g(-1)，g (x )的偶数项的系数和g(1)-g(-1) .【例13】证明以下事项(1)1 2C 4C 2n-1C 2nC=3n；(2)二(c )二(c )二=c；(3)C 2C 3C nC=n2n-1。分析： (1)(2)与二项式定理的形式相同的点可以使用二项式定理，形状可以像数列一样合计，所以可以研究其通项求出规律证明： (1)二元展开式(ab ) n=cancan-1b can-2 B2在cabn-1 CBN中假设a=1，b=2，(1 2)n=1 2C 4C 2n-1C 2nC，即1 2C 4C 2n-1C 2nC=3n。(2)(1 x)n(1 x)n=(1 x)2n(1c xcx 2cxrxn ) (1c xcx 2cxrxn )=(1x ) 2n。c是(1 x)2n的展开式中的xn的系数，通过多项式的恒等定理获得cccc=c。C=C，0mn(C)2 (C)2 (C)2=C。(3)设证明法S=C 2C 3C nC.设定为S=C 2C (n-1)C nC=nC (n-1)C 2C C=nC (n-1)C 2C C.从中得到的2S=nC nC nC nC=n(C C C C C )=n(C C C C C)=n2n。S=n2n-1，即C 2C 3C nC=n2n-1证法2 :观察通项： kC=k原式=nC nC nC nC nC=n(C C C C C)=n2n-1即C 2C 3C nC=n2n-1。说明：在解法2中，kC=nC可以作为性质记忆【例14】求出1.9975的精度为0.001的近似值。分析：要准确地使用二项式定理，必须将1.997分解为二项的和形式，如1.997=2-0.003解： 1.9975=(2-0.003)5=25-c 240.003 c 230.0032-c 220.003332-0.24 0.0007231.761。说明：利用二项式定理进行近似计算，重要的是确定展开式中的保留项，满足近似计算的精度求证： 5151-1能被7除尽分析：为了展开式中出现的7的倍数，必须将51分解为7的倍数和其他数的和(或差)的形式证明： 5151-1=(492 ) 51-1=c 4951 c 49502c 49250 c 5251-1容易看到C251-1以外的各项目能被7除尽。另外，251-1=(23 ) 17-1=(7) 17-1=c717c 716c7c-1=7(c716c 715c )。显然可以被7整除，所以5151-1可以被7整除说明：要用二项式定量证明多项式(数值)的整除问题，重要的是把给出的多项式通过常数等变形变成二项式，把公式包含在展开的各项中创作新篇已知(xlgx 1)n的展开式的最后3项的系数之和为22，中间项为20000。分析：本题看起来很复杂，如果用二项式定理正确地表达的话，很难解出来解：从已知的C C C=22，即n2 n-42=0.或nN*，n=6T4是中间项，T4=C (xlgx)3=20000，即(xlgx)3=1000. xlgx=10 .两侧取常用对数，lg2x=1，lgx=1， x=10或x=说明：主题中二项展开式的几个项或几个项之间的关系已知的情况下，多利用二项式通项式，根据已知的条件列举式或不等式来求解【例17】设f (x )=(1x ) m (1x ) n (m，nN* )，如果用该展开式询问x的一次项的系数和为11，m，n为什么取值，则包含x-2项的系数取最小值吗？ 求这个最小值分析：从已知条件得到的x2系数是与x相关的二次式，利用二次函数的性质研究最小值问题解： c=nm=11.c=(m2-mnn2-n)=nN*，在n=6或5，m=5或6的情况下，x-2项的系数是最小的，并且最小值是25说明：本问题是关于二次函数和组合的综合问题如果(x -2)n的展开式的常数项为-20，则求出n .分析：问题中的x0，x0的情况下，将三项式(x -2)n转换为(-)2n，x0时，(x -2)n=(-)2n其通则为Tr 1=C()2n-r(-)r=(-1)rC()2n-2r