微分中值定理与导数的应用PPT课件

微分中值定理与导数的应用,第四章,第一节微分中值定理,一、罗尔定理,定理1(罗尔(Rolle)定理)如果函数f(x)满足：(1)在a,b上连续,(2)在(a,b)内可导,(3)f(a)=f(b),则至少存在一点(a,b),使得f()=0,证因为f(x)在a,b上连续,f(x)在a,b上必取得最大值M和最小值m,(1)如果M=m,则f(x)在a,b上恒等于常数M,因此,对一切x(a,b),都有f(x)=0.于是定理自然成立.,(2)若Mm,由于f(a)=f(b),因此M和m中至少有一个不等于f(a).设Mf(a),则f(x)应在(a,b)内的某一点处达到最大值,即f()=M,下面证明f()=0,因f(x)在达到最大值,所以不论x是正的还是负的,总有f(+x)-f()0,当x0时,根据极限的保号性,有,当x0时,从而必须有f()=0.,例1验证罗尔定理对函数f(x)=x2-2x+3在区间-1,3上的正确性,注罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个,定理的结论将不一定成立.,显然函数f(x)=-2x+3在-1,3上满足罗尔定理的三个条件,解,由f(x)=2x-2=2(x-1),可知f(1)=0,因此存在=1(-1,3),使f(1)=0,例2,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,)=,由连续函数介值定理知至少存在一点,在0,1上有且仅有一个,0f(x)1,且对于(0,1)内所有x，有f(x)1，求证,例设f(x)在0,1上可导，当0x1时，,，使f(,证令F(x)=f(x)-x,则F(1)=f(1)-10,F(0)=f(0)0,0,1,使得F(,，下面证明在0，1上,)=,即f(,仅有一点,，使F(,)=0,假设另有一点,)=0,，则由罗尔定理可知,在,上至少有,一点,，使,这与原题设矛盾这就证明了在0，1,内有且仅有,)=,一个,，使f(,)=0，,0,1,使得F(,不妨设,F()=0,即f()=1,二、拉格朗日中值定理,定理2若函数y=f(x)满足下列条件:(1)在闭区间a,b上连续；(2)在开区间(a,b)内可导则至少存在一点(a,b),使得,证作辅助函数,F(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,且,故F(x)满足罗尔定理的条件,从而至少存在一点(a,b),使得F()=0,即,因此得,拉格朗日中值定理中的公式称为拉格朗日中值公式,此公式也可以写成f(b)-f(a)=f()(b-a)(ab),另外，由于是(a,b)中的一个点,它还可以表示成=a+(b-a)(01),于是，拉格朗日中值公式又可写成f(b)-f(a)=(b-a)fa+(b-a)(01),要注意的是，在公式中，无论ab或ab，公式总是成立的，其中是介于a与b之间的某个数,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,例4,证,例5证明不等式,对一切x0成立.,ln(1+x)x,1),证由于f(x)=ln(1+x)在，）上连续、可导，对任何x0，在0,x上运用微分中值公式,得,(01),即ln(1+x)=,由于,x,因此当x0时，有,f(x)-f(0)=f(,x)x,(0,ln(1+x)x,推论1如果f(x)在开区间(a,b)内可导,且f(x)0,则在(a,b)内,f(x)恒为一个常数,证在(a,b)内任取两点x1,x2,设x10，,f(x),从而f(-1)=,为f(x)的最小值.,f(x)=+，,又f(x)=0,所以f(x)无最大值,一、最大利润与最小成本问题,设某种产品的总成本函数为C(Q),总收益函数为R(Q)(Q为产量),则总利润L可表示为L(Q)R(Q)-C(Q),要使利润最大,必须使产量Q满足条件L(Q)=0,即R(Q)=C(Q)(1),此式表明当产出的边际收益等于边际成本时，利润最大.,L(Q)=R(Q)-C(Q)0,即R(Q)C(Q)(2),经济学中称(1)和(2)为“最大利润原则”或,“亏损最小原则”,假如L(Q)在(0,+)内二阶可导，则还要求,单位成本(即平均成本)最小的问题,设某种产品的总成本为C(Q),则生产的平均成本为,最小,必须使产量Q满足条件,此式表明当产出的边际成本等于平均成本时，平均成本最小.,例3,解,总收益R(Q)=PQ=60Q,总利润L(Q)=R(Q)-C(Q),令L(Q)=0,得唯一驻点Q0=200,又L(Q0)=L(200)=-0.60，所以当日产量为Q0=200单位时可获最大利润.,最大利润为L(200)=3000(元),例4设某产品的总成本函数为,试求平均成本最小时的产量水平.,C(Q)=54+18Q+6，,解因C(Q)=18+12Q，,+18+6Q，,令C(Q)=,得Q=3(Q已舍)，所以当产量Q=3时可使平均成本最小.,例5,某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费试问房租定为多少可获得最大收入？,解,设房租为每月元，,租出去的房子有套，,每月总收入为,（唯一驻点）,故每月每套租金为350元时收入最高。,最大收入为,例6,解,如图,解得,二、库存问题,假定计划期内货物的总需求为R,考虑分n次均匀进货且不允许缺货的进货模型.,设计划期为T天,待求的进货次数为n,那么每次进货的批量为q=,进货周期为t=,再设每件物品贮存一天的费用为c1,每次进货的费用为c2,在计划期(T天)内总费用E由两部分组成,(1)进货费(2)贮存费,于是总费用E可表示为批量q的函数,最优批量q*应使一元函数E=f(q)达到最小值,最优进货次数为,最优进货周期,最小总费用,三、复利问题,例7设林场的林木价值是时间t的增函数V=,又设在树木生长期间保养费用为零,试求最佳伐木出售的时间,解考虑到资金的时间因素,晚砍伐所得收益与早砍伐所得收益不能简单相比,而应折成现值,设年利率为r,则在时刻t伐木所得收益V(t)=的现值,按连续复利计算应为,四、其他优化问题,例8巴巴拉小姐得到纽约市隧道管理局一份工作,她的第一项任务是决定每辆汽车以多大速度通过隧道,可使车流量最大.经观测,她找到了一个很好的描述平均车速v(kmh)与车流量f(v)(辆/秒)关系的数学模型试问:平均车速多大时,车流量最大?最大车流量是多少?,解,得唯一驻点v=26.15(kmh).由于这是一个实际问题，所以函数的最大值必存在.当车速v=26.15kmh时,车流量最大,且最大车流量为f(26.15)=8.8(辆/秒).,第六节函数的凸性、曲线的拐点及渐近线,一、函数的凸性、曲线的拐点,在(0,)上都是单调递增的,但它们增长的方式不同,从几何上来看，两条曲线弯曲的方向不同.,函数图形向上或向下凸的性质称为函数的凸性.,向下凸的曲线,其上任意两点间的弧段总位于联结两点的弦的下方,向上凸的情形正好相反,在曲线y=f(x)上任取两点(x1,y1)和(x2,y2),设x10,则f(x)在a,b上是严格下凸的;(2)若在(a,b)内f(x)0,则f(x)在a,b上是严格上凸的.,函数上凸或下凸的区间称为凹凸区间.,定义2设f(x)C(U(x0),若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)的左右两侧凸性相反,则称点(x0,f(x0)为该曲线的拐点,可见:若(x0,f(x0)是曲线y=f(x)的拐点,则f(x0)=0或f(x0)不存在.反之不一定成立.,例2讨论,-4的凸性，并求拐点,y=3,，,这两个点将定义域(-,+)分成三个部分区间,解y=12-12,令y=0得,列表考察各部分区间上二阶导数的符号，确定出函数的凸性与曲线的拐点(“”表示下凸,“”表示上凸)：,-24x=36x(x-),，y=36,可见，曲线在(-,0)及(,，+)上是下凸的，在,)上是上凸的，拐点为(0，1),，,),(0，,及(,二、曲线的渐近线,1.水平渐近线,定义3设函数y=f(x)的定义域为无限区间,如果f(x)=A或f(x)=A(A为常数),则称直线y=A为曲线y=f(x)的水平渐近线,例3,解,显然曲线有水平渐近线,2.垂直渐近线,定义4设函数y=f(x)在点x0处间断,如果f(x)=或f(x)=,则称直线x=x0为曲线y=f(x)的垂直渐近线,故垂直渐近线为,3.斜渐近线,定义5设函数y=f(x)的定义域为无限区间,且它与直线y=ax+b有如下关系：f(x)-(ax+b)=0或f(x)-(ax+b)=0则称直线y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线,要求斜渐近线y=ax+b，关键在于确定常数a和b.,下面介绍求a，b的方法:,-a-,=0,x,因为,所以,将求出的a代入(1)式得,(2),(1),(f(x)-ax)-b=0，,所以,例5,解,无水平渐近线，x=-1为垂直渐近线,又,于是曲线有斜渐近线,三、函数图形的描绘,(1)确定y=f(x)的定义域;,(3)求出f(x)=0和f(x)=0的根及其不存在的点,并将它们作为分点划分定义域为若干个小区间;,(2)讨论函数的奇偶性、周期性;,(4)列表确定函数的单调区间和极值及曲线的凸向区间和拐点；,(5)确定曲线的渐近线；,(6)算出方程f(x)=0,f(x)=0的根所对应的函数值,定出图形上的相应点.,(7)作图.,例6,解,下凸、单调增,下凸、单调减,上凸、单调增,上凸、单调减,描绘f(x)=2xe-x的图形.,(1)定义域为(-,+),且f(x)C(-,+),(2)f(x)=2e-x(1-x),f(x)=2e-x(x-2),由f(x)=0得x=1,由f(x)=0得x=2,把定义域分为三个区间(-,1),(1,2),(2,+);,(3)列表如下:,f(x)=2xe-x,的图形,例7作函数y=3x-,解(1)定义域为(-，+)；,(2)函数是奇函数，所以函数的图形关于原点对称；,=0,(3)令y=3-3x=3(1-x)(1+x)=0,得驻点,令y=-6x=0,得,(4)列表讨论，由于对称性，这里也可以只列(0，+)上的表格,，,=-1,(5)无渐近线；,(6)已知点(0，0)、(1，2)，辅助点(,，0)、(-2，2)；,，0)、(2，-2)，,再利用函数的图形关于原点的对称性，找出对称点,(-1，-2)、(-,(7)描点作图,的图形,例8描绘f(x)=,解(1)函数的定义域为(-,+)，