因式分解(奥赛)

因式分解【奥赛花絮】最早的数学竞赛匈牙利是举办中学数学竞赛最早的国家，自1894年匈牙利物理数学学会通过了关于举行中学生奥林匹克数学竞赛的决议起，每年十月举行这种竞赛。仅仅由于两次世界大战和1956年的匈牙利时件间断过7年。2003年举行的是第103届匈牙利数学竞赛。【奥赛赛点】将一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。因式分解是一种重要的恒等变形，在数学中有广泛的应用。因式分解的方法比较多，除了课本介绍的提公因式法，公式法，十字相乘法，分组分解法外，我们还要掌握换元法,主元法,配方法, 待定系数法等。【解题思路与技巧】1 换元法.在解题的过程中，我们常把某个比较复杂的代数式看成一个整体，将它用一个字母来代替，从而简化这个代数式的结构，这种方法就是换元法. 在因式分解中用换元法，又可细分为整体代换（如例1，例2），对称代换（如例3），倒数代换（如例4），平均代换（如例5）等.2 主元法在分解一个含有多个字母的多项式时，我们常选择一个字母作为主要元素，将其他字母看作常数，然后将多项式按选定的字母降幂排列，这种方法叫做主元法。用主元法往往可以得到恰当的分组，从而找出公因式来，如例6。3 配方法 通过添项，拆项利用公式将一个多项式配成一个完全平方，是一种常用的恒等变形技巧，以便利用公式来分解因式，如例7，例8。4 待定系数法 在解决有关多项式时，可先假定问题的结果已经求出，其中含有未知系数，然后根据多项式恒等的定义或性质，列出含有这些未知数的方程或方程组，通过解方程或方程组，求出未知系数的值，从而解决问题的方法，如例9，例10。【典型示例】例1 (1994年第6届“五羊杯”数学竞赛试题)在有理数范围内分解因式：（1）16(6x-1)(2x-1)(3x+1)(x-1)+25= .（2）(6x-1)(2x-1)(3x-1)(x-1)+x2= .（3）(6x-1)(4x-1)(3x-1)(x-1)+9x4= .解 （1）原式=(6x-1)(4x-2)(6x+2)(4x+4)+25=(24x2-16x+2) (24x2-16x-8)+25设 24x2-16x+2=t, 原式=t(t-10)+25=(t-5)2=(24x2-16x-3)2（2）原式=(6x-1) (x-1) (2x-1)(3x-1) +x2=(6x2-7x+1)(6x2-5x+1) +x2设6x2-7x+1=t, 原式=t(t-2x) +x2=(t-x)2=(6x2-6x+1)2（3）原式=(6x-1) (x-1) (4x-1)(3x-1) +9x4=(6x2-7x+1) (12x2-7x+1)+ 9x4设6x2-7x+1=t, 原式=t(6x2+t)+ 9x4=(t+3x2)2=(9x2-7x+1)2例2 (2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题) 分解因式：(2x 3y)3 + (3x 2y)3 125(xy)3= .解设2x 3y=a, 3x 2y=b, -5x+5y=c,显然a+b+c=0.由公式 a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-bc-ca-ab) 知此时有a3+b3+c3=3abc，故有原式=3(2x 3y) (3x 2y) (-5x+5y)=-15(2x 3y) (3x 2y)(x-y)例3 （1997-1998年天津市初二数学竞赛决赛试题）分解因式xy(xy+1)+(xy+3)-2(x+y+)-(x+y-1)2解设xy=a, x+y=b.原式=a(a+1)+(a+3)-2b-1-(b-1)2=a2+2a+1-b2=(a+1)2-b2=(a+1+b)(a+1-b)=(xy+1+x+y)(xy+1-x-y)=(x+1)(y+1)(x-1)(y-1)例4（1991年贵州省初中数学竞赛试题）分解因式：x4+x3-4x2+x+1解 原式=设则，原式=x2(t+t2-2-4)= x2(t+3)(t-2)=(x2+3x+1)(x-1)2 例5 （1994年石家庄市初中数学竞赛试题）分解因式 (x+1)4+(x+3)4-272解 x+2=t, 原式=(t-1)4+(t+1)4-272=2t4+12t2-270=2(t2+15)( t2-9)=2(x2+4x+19)(x+5)(x-1)例6（1998-1999年天津市初二数学竞赛预赛试题）把2x3-x2z-4x2y+2xyz+2xy2-y2z分解因式解 原式=(2x-z)y2-2(2x-z)xy+(2x-z)x2=(2x-z)(y-x)2例7 （1986年扬州市数学竞赛试题）因式分解：(1+y)2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2解 原式=(1+y)2+2x2(1-y2)+x4(1-y)2-4x2=(1+y)+x2(1-y)2-(2x)2=(1+y)+x2(1-y)+2x (1+y)+x2(1-y)-2x=(x+1)2-y(x2-1) (x-1)2-y(x2-1)=(x+1)(x-xy+y+1)(x-1)(x-xy-y-1)例8 （1986年广州，武汉，福州，合肥，重庆五市初中数学联赛试题）若a为正整数，则a4-3a2+9是质数还是合数？给出你的证明。解 a4-3a2+9= a4+6a2+9-9a2=( a2+3)2-(3a)2=( a2+3a+3)( a2-3a+3)=( a2+3a+3)( a-1)(a-2)+1 当a=1时，a4-3a2+9=7是质数；当a=2时，a4-3a2+9=13是质数；当a2时, a2+3a+31, ( a-1)(a-2)+11,故a4-3a2+9是合数。例9 (2002年太原市初中数学竞赛试题)关于x,y的二次式 x2+7xy+my2-5x+43y-24可分解为两个一次因式的乘积，则m的值是 .解 设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+ay+b)(x+cy+d)，即 x2+7xy+my2-5x+43y-24=x2+(a+c)xy+acy2+(b+d)x+(ad+bc)y+bd比较对应项的系数，得， a+c = 7 (1) ac = m (2)b+d = -5 (3) ad+bc = 43 (4) bd = -24 (5)由(3),(5)解得 b = 3,d = -8 或b = -8,d = 3当b = 3,d = -8 时，(4)式为 -8a+3c=43 (6)由(1),(6)解得 a=-2,c=9. 故m=ac=-18当b = -8,d = 3时，可以得到同样的结果。例10 （1963年北京市中学生数学竞赛高二第二试试题）已知多项式x3+bx2+cx+d的系数都是整数并且bd+cd，证明：这多项式不能分解为两个整系数多项式的乘积。解1 因为 bd+cd=d(b+c)是奇数,故b+c和d都是奇数。（A）若b是偶数，c是奇数。设x3+bx2+cx+d可以分解成两个整系数多项式的乘积，显然一定有一个是一次因式，因为首项系数是1，不妨设 x3+bx2+cx+d = (x+p)(x2+qx+r),其中p,q,r都是整数。故有 x3+bx2+cx+d = x3+(p+q)x2+(pq+r)x+d (1) 比较(1)式两边的系数，得 pr = d 为奇数 (2) pq+r = c 为奇数 (3) p+q = b 为偶数 (4)由(2)知p,r都是奇数，再由(3)，q为偶数；这样一来，(4)式就矛盾了。（B）若b是奇数，c是偶数。可以同样地推出矛盾来。所以x3+bx2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积。解2 设x3+bx2+cx+d = (x+p)(x2+qx+r),其中p,q,r都是整数取x=1,上式左边=1+b+c+d 是一个奇数，而右边的因式 x+p=1+p是一个偶数。矛盾。故x3+bx2+cx+d不能分解为两个整系数多项式的乘积。【拓展练习】一 选择题1(2002年第13届“希望杯”数学竞赛试题)下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是（ ）.（A） x3-9x2+27x-27（B）x3-x2+27x-27（C）x4-x3+27x-27（D）x3-3x2+9x-272(1985年上海市初中数学竞赛试题)x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz因式分解之后，正确的结果为（ ）.（A） (y-z)(x+y)(x-z) （B） (y-z)(x-y)(x+z) （C） (y+z)(x-y)(x+z) （D） (x+z) (x+y) (x-z) 3（2002年北京市数学竞赛预赛试题）a4+4分解因式的结果是（ ）.（A） （a2+2a-2）(a2-2a+2) （B） （a2+2a-2）(a2-2a-2)（C） （a2+2a+2）(a2-2a-2) （D） （a2+2a+2）(a2-2a+2)4 (1997年第8届“希望杯”数学竞赛初二第二试试题)把多项式x2-y2-2x-4y-3因式分解之后，正确的结果是（ ）.（A） (x+y+3)(x-y-1) （B） (x+y-1)(x-y+3) （C） (x+y-3)(x-y+1) （D） (x+y+1)(x-y-3)5(1990年“缙云杯”数学竞赛试题)在1到100之间若存在整数n，使x2+x-n能分解为两个整系数一次式之积，这样的n有（ ）个.（A） 0 （B） 1 （C） 2 （D） 9二 填空题1(2000年第12届“五羊杯”数学竞赛试题) 分解因式：(x 2)3 (y 2)3 (xy)3= .2（2002年河南省数学竞赛试题）分解因式：x4+2x3+3x2+2x+1= .3(1998年第9届“希望杯”数学竞赛初二第二试试题)把代数式(x+y-2xy)(x+y-2)+(xy-1)2分解成因式的乘积应当是 .4(2000年第13届“五羊杯”数学竞赛试题) 分解因式：（x4-4x2+1）(x4+3x2+1)+10x4= .5(1999年天津市数学竞赛试题）k为 时，多项式x2-2xy+ky2+3x-5y+2能分解为两个一次因式的乘积三 解答题1(1998年天津市数学竞赛试题)分解因式：(x+1)(x+2)(x+3)(x+6)+x22（1992年沈阳市数学竞赛试题）分解因式：x4+y4 +z4-2x2y2-2y2z2-2z2x23(1996年北京市数学竞赛试题）一个自然数a恰好等于另一个自然数b的平方，则称自然数a为完全平方数，如64=82，64就是一个完全平方数，若a=19952+1995219962+19962，求证：a是一个完全平方数。4(1994年“祖冲之杯”数学邀请赛试题)已知乘法公式 a5+b5=(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)，a5-b5=(a-b)(a4+a3b+a2b2+ab3+b4),利用或不利用上述公式，分解因式：x8+x6+x4+x2+1.5.(第17届江苏省初二数学竞赛第二试试题)多项式x2-(a+5)x+5a-1能分解为两个一次因式(x+b),(x+c)的乘积,则a的值应为多少？【拓展练习答案】一选择题1. D. 易知x3-3x2+9x-27=(x-3)3,而其它三式中都含有二次因式。2. A. x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+z2y-2xyz=(y-z) x2+( y2-2yz+z2)x-yz(y- z)=(y-z)x2+(y-z)x-yz= (y-z)(x+y)(x-z)3. D. a4+4= (a4+4a2+4)-4a2=( a2+2)2-(2a)2=（a2+2a+2）(a2-2a+2)4. D. x2-y2-2x-4y-3= (x2-2x+1) (y2+4y+4) =(x-1)2-(y+2)2=(x+y+1)(x-y-3)5D. 设x2+x-n=(x-a)(x+b)= x2-(a-b)x-ab, 故a-b=-1,ab=n.于是n为两个连续整数之积，在1到100之间，有2，6，12，20，30，42，56，72，90共9个。二填空题13(x-2)(y-2)(x-y). 仿例2的方法解.2(x2+x+1)2 . 仿例4的方法解.3(x-1)2(y-1)2. 仿例3的方法解.4(x2+1)2(x2+x+1) (x2-x+1). 设x4-4x2+1=t, （x4-4x2+1）(x4+3x2+1)+10x4=t(t+7x2)+ 10x4=(t+2x2) (t+5x2)= (x4+2x2+1) (x4+x2+1)= (x2+1)2(x2+x+1) (x2-x+1)5-3. 因x2+3x+2 =(x+1)(x+2),故可设x2-2xy+ky2+3x-5y+2=(x+my+1)(x+ny+2),即x2-2xy+ky2+3x-5y+2= x2+(m+n)xy+mny2+3x+(2m+n)y+2.比较对应项系数得：m+n=-2, 2m+n=-5,mn=k.解得k=-3。三解答题1原式= (x2+5x+6)(x2+7x+6)+x2, 设x2+5x+6=y, 原式=y(y+2x) +x2=(x+y)2=(x2+6x+6)22原式= (x4-2x2y2+y4) -2z2(x2- y2)+z4-4y2z2=(x2-y2-z2)2-(2yz)2=( x2-y2-z2+2xy)( x2-y2-z2-2xy)=x2-(y-z)2 x2-(y+z)2=(x+y-z)(x-y+z)(x+y+z)(x-y-z)3设1