第5讲曲线曲面造型基础1

5.1 .曲线曲面建模概述5.1.1曲线曲面建模研究内容5.1.2曲线曲面建模开发历史5.2。曲线曲面的显示方法5.2.1曲线曲面的基本概念5.2.2曲线曲面的分析表示5.2.3曲线曲面的参数表示5.3。bezier曲线5 . 3 . 1 bezier曲线表示方法5.3.2计算和绘制三维曲线5 . 3 . 3 bezier曲线基本属性5 . 3 . 4 bezier曲线连接5.3.5随机阶bezier曲线了解曲线曲面基本概念2。熟练使用CAD系统中的bezier曲线表示方法，本章的目的，5.1.1。曲线曲面研究内容，工业产品的曲面造型可分为两大类。第一个品类仅由基本分析曲面(例如平面、圆柱、圆锥、圆球、回路等)组成，大多数机械零件均属于这些品类，可使用机械制图方法完整地表示和传达包含的所有造型资讯。5.1。曲线曲面建模概述，第二类别：不能由基本分析曲面组成、以复杂方式自由变化的曲线曲面称为自由曲线曲面，例如飞机、汽车和船只的形状零件。这种形式单靠画法和机械化不能明确表达，成为工程师们优先解决的问题。人们一直试图在数学上唯一地定义自由形式曲线和曲面的形状。“曲面建模”(SurfaceModeling)是“计算机辅助几何设计”(computeraidedge omaetricdesign，CAGD)和计算机图形的重要内容，主要研究：曲线曲面的数学表示工程中曲线曲面的设计方法曲线曲面的显示技术曲线曲面的质量分析，代数分析曲面不同类型的表面接合柔软连续，难以保证。不同的曲面相交公式不同，程序实现大。工程设计的交互性不好，不能满足复杂曲面工程设计的要求。CAD系统必须具有强大的自由曲线和曲面建模功能，但简单代数曲面除外。自由曲线和曲面不能用画法几何或机械制图的方式清晰地表达，成为工程师们首先要解决的问题。人们想在数学上唯一地定义自由曲线和曲面的形状。5.1.2曲线曲面建模开发过程，曲面建模源于汽车、飞机、船舶、叶轮和其他几何放样过程，Coons、Bezier和其他大师在20世纪60年代奠定了理论基础。四十多年后，曲面建模现在基于RationalB-splineSurface进行参数化特征设计，隐式代数曲面(ImplicitAlgebraicSurface)将这两种方法作为插值、逼近，初始数学曲线通常基于多项式系数没有明确几何意义的代数多项式表示。因此，传统的数学表达方法在控制几何图形外观方面不直观，在工程设计中不容易使用。1963年，美国波音公司的弗格森构建了福格森双立方面片，它将弯曲曲面表示为参数向量函数，定义为组合曲线和正方形点的位置向量，两个方向的切向量。1964年，“MIT孔”(Coons)将一个曲面定义为闭合曲线的四个边界。同年，Schoenberg提出了参数样条、曲面形状。1971年，法国雷诺汽车公司的贝塞尔宣布了如何使用控制多边形定义曲线和曲面。1974年，美国通用汽车公司的戈登和里森菲尔德在形状描述中使用b样条理论提出了b样条曲线和曲面。1975年，美国锡拉丘兹大学的Versprill提出了玻璃b样条方法。80年代后期，Piegl和Tiller将玻璃b样条发展为非均匀有理b样条方法，成为当前曲线和曲面建模的主要技术。，非均匀有理b样条(NURBS)成为当前大多数商用CAD软件系统的内部表示技术。内插：I=0，1，给出了n的一组有序数据点Pi，并构造了通过这些数据点的曲线序列。这称为插值，构造的曲线称为插值曲线。典型的插值方法包括线性插值、抛物线插值等(Interpolation)。近似：构成在某种意义上最接近给定数据点的曲线。这称为近似曲线(Approximation)。拟合：插值和近似值都称为“管接头”(fitting)。Interpolation、Approximation、插值、逼近、5.2.1、曲线曲面基本概念、5.2曲线曲面表示方法、曲线，曲面：法向、相切平面、法向曲率高斯曲率、主曲率平均曲率等。5.2.2。曲线曲面的解析表示法，在高级数学中，解析曲面表示显式和隐式区分。明确表现法：表示式中的每个z值对应唯一的x，y值，如表面方程式z=f(x，y)所示。此表示计算非常方便，但无法描述封闭面(例如多值或椭球体)。隐式表示：在已知参数x，y中计算z值不方便，如曲面f(x，y，z)=0，但可以在封闭曲面中表示多个值。如图所示。曲线参数表达：空间曲线上点p的坐标由参数u的函数表示。x=x(u)、y=y(u)、z=z(u)和曲线由参数u的矢量函数表示。P(u)=xyz=x(u)y(u)z(u)，例如，端点为P1，P2的线段参数方程式可以表示为：p(t)=P1(p2-P1)uu-0，1，5.2.3。曲线曲面的参数表达；三维空间曲面通常用2-参数u和v表示的矢量函数：p (u，v)=XYZ=x (u，v) y (u，v) z (u，v) 参数表示的优点：易于满足几何不变性、参数方程的直接几何转换、高效计算、几何不变性：曲线曲面表示的几何不变性表示不依赖于坐标系的选取，或在图形转换(如旋转和移动)中不发生变化的属性。 控制曲线、曲面形状的自由度更大。一条二维三次曲线可以明确表示为(通过四个系数控制曲线造型)，二次三次曲线的参数表达式可以轻松地确定曲线、曲面的范围(通过八个系数控制曲线造型)。易于处理多值问题和无限斜率情况。曲线、曲面上的点很容易计算。隐式方程要求求解非线性或超越方程，同时也简化了推导、等距计算。在参数方程中，代数、几何相关性和独立变量完全分离，变量的数量不受限制，用户可以轻松地将曲线、曲面从低维空间扩展到高维空间。这种变量分离的特点允许用数学公式操作几何元件。定义：给定空间的n 1点的位置矢量Pi(i=0，1，2，n)时，定义的n阶bezier参数曲线的点坐标的插值公式为：其中：1)参数值范围0，1或参数部分；2)Pi是构成bezier曲线的特征多边形(控制多边形)。3)Bi，n(u)是第n个Bernstein基本函数，也称为谐波函数。5.3.1。bezier曲线表示方法，5.3。bezier曲线、5.3.2、三次bezier曲线计算和绘制、由P0、P1、P2和P3的四个控制点定义的三次bezier曲线、基本函数：向上延伸：三次bezier曲线图标和定义的三次bezier曲线显示如下：bezier曲线参数空间到欧洲空间的映射关系、三次bezier曲线的计算和绘制方法、参数空间t-0，1中的均匀插值、相应坐标点的计算、通过直线连接，这些直线是折线近似的bezier曲线。想一想：根据讲座2，复杂的曲线是怎么画的？-嗯？三次贝塞尔曲线的计算和绘制方法，编程实现，也可以用矩阵表达式编写，更通用、更易于编程的表达。取得PX(t)的值时，会计算Pi的x座标，就像Py(t)、Pz(t)的值一样。px (t)=B0，3 (t) B1，3 (t) B2，3 (t) B3，3 (t) P0 XP 1 XP 2 XP 3x tpy()范例：使用上述计算方法，每个t=0.0，0.1，0.2，您可以在0.9，1.0的曲线上找到点，然后透过将两个相邻的点依次连接为直线段来绘制近似曲线图形。特征控制点对bezier曲线的影响，a)控制点的更改影响，b)多个控制点的影响，c)构建闭合曲线，d)构建平滑闭合曲线，三次bezier曲线演示软件：VCAD，1)几何体变换不变性在不更改曲线形状的情况下进行平移、旋转等。5.3.3，bezier曲线属性(如果是三次bezier曲线)，2)端点插值属性曲线通过控制顶点的第一个端点顶点。在表达式P(u)中分别替换u=0和1，例如P(0)=P0，P(1)=P3。3)端点切线特性曲线在前两点与多边形的起点和终点相切。关于三次贝塞尔曲线的一阶导数：5。凸形轮廓：曲线由特征多边形的顶点包围的凸形轮廓，4)对称：反向排列控制顶点可获得相同形状的曲线。6 .固定比例分割属性：稍后将详细介绍，6)bezier曲线的分割属性和几何体映射方法，bezier曲线具有可分割属性。例如，在三次bezier曲线(参数域t 0，1)中，给出了t=1/3的点，它的范围被分为两个段：1/:(1-1/3)。bezier曲线分割属性1)对原始控制多边形的每一侧执行相同的比例分割。生成的拆分点是第一个递归生成的中间顶点P01，P11，P21；2)第二个中间顶点P02，P12使用对由这些中间顶点组成的多边形执行相同的均匀比例分割。3)级别3递归重复操作，直到中间顶点P03成为所需曲线上的点p (t=1/3)。流程如下图所示。“bezier曲线分割属性”图标，上述分割属性的隐式说明：三次bezier曲线可以分割为两个三次bezier曲线。第一段由P0，P01，P02，P03确定，参数空间为0，1/3；第二条线段由P03，P12，P21，P3确定，参数空间为1/3，1，分割后曲线造型不会变更。以上bezier曲线分割属性可以使用bezier曲线的递归公式计算。bezier曲线的递归计算表明bezier曲线的计算可以通过线性递归计算来计算。也就是说，父计算将转换为线性计算，以帮助提高计算速度。三次bezier曲线分割属性的动画演示：5.3.4，bezier曲线连接，项目实际上不可能将复杂曲线拟合为一条bezier曲线，但是可以将复合曲线接合为线段bezier曲线。在工程应用中，希望每段曲线在接合点处平滑。函数连续性：利用函数的可微性构造组合参数曲线，从连接点到n阶连续导数。这种平滑度是Cn或n阶参数连续性(也称为函数连续性)。思考问题：1)参数化表达曲线，一阶函数连续曲线平滑吗？-嗯？2)参数表示曲线，平滑必须满足一阶函数连续吗？-嗯？几何连续性组合曲线满足Cn和其他约束集(称为连接中的n阶几何连续性)，并缩写为Gn。G1几何连续性与G0几何连续性、C0参数连续性相同、一阶导数与相邻点处G2几何连续性成正比、相邻曲线段与相邻点处的一阶导数成正比、曲率相同、曲线p(t)和q(t)端点相同、端点处矢量切向相同，但切线矢量的凹模长度不同。两条曲线p(t)和q(t)，参数t 0，1，如下图所示。如果接合必须到达G0连续(或C0连续)，则两条曲线在接合处连续。即p(1)=q(0)，参数曲线G0连续几何意义：理论上，G0连续和C0连续是相同的，可以在上图中明确说明。图(a)、图(b)、显示，为1时，G1连续与C1连续完全匹配。如果接合必须达到G1连续性，则两条曲线满足G0连续性，并具有共同的切向向量，如下图所示。参数曲线G1连续几何意义：可以使用G1连续条件的子表现法：插图(a)，插图(b)，如果接合需要达到G2连续性，则两条曲线满足G1连续性并需要共同曲率向量。公共曲率矢量q (0)、p (1)和P(1)必须共面。也就是说，q (0)是由p (1)和P(1)确定的平面中的任意常数。=1，=0，G2成为C2连续。以弧长为参数，C1连续保证G2连续性，但反之则不行。也就是说，Cn连续条件比Gn连续条件更苛刻。参数曲线G2连续几何意义(可选)，左侧，即两个三次bezier曲线主几何连续接合条件：下图显示了两个三次bezier曲线主几何连续接合：图中所示，Q1 的移动不满足p (1)=q (0)，二次曲线的相切平滑接合也就是说，一阶几何连续比一阶微分连续极限更宽松、更平滑、更连续的工程要求，这是参数表示的优点之一。回答第2个问题：参数化表示曲线，平滑至少要满足一阶函数的连续吗？-嗯？5.3.5任意一阶二次bezier曲线(可选)，定义：给定空间n 1点的位置矢量Pi(i=0，1，2，n)，定义的n阶bezier参数曲线的点坐标的插值公式为：t 0，1，n阶Bernstein基本函数图标，即(1-t) t)n的延伸曲线为：零次基本函数曲线、一次基本函数曲线、二次基本函数曲线、三次基本函数曲线、Bernstein基本函数的特性：1)正：2)结束特性：3)权重：本质上是第n次伯恩斯坦，4)对称，5)递归特性：即