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文档简介

1,导数的概念,函数的求导法则与高阶导数,复合函数的求导法则隐函数求导函数的微分,第三章 导数与微分,高等数学,书名：高等数学书号：978-7-111-57474-3作者：邓云辉机械工业出版社,2,书名：高等数学书号：978-7-111-57474-3作者：邓云辉机械工业出版社,3.1.导数的概念,一、问题的提出,1.自由落体运动的瞬时速度问题,如图,取极限得,如图,如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线.,极限位置即,二、导数的定义,定义,其它形式,即,关于导数的说明：,注意:,2.右导数:,单侧导数,1.左导数:,三、由定义求导数,步骤:,例1,解,例2,解,例3,解,更一般地,例如,例4,解,例5,解,例6,解,四、导数的几何意义,1.几何意义,切线方程为,法线方程为,例7,解,由导数的几何意义, 得切线斜率为,所求切线方程为,法线方程为,五、可导与连续的关系,定理 凡可导函数都是连续函数.,证,注意: 该定理的逆定理不成立.,例8,解,六、小结,1. 导数的实质: 增量比的极限;,3. 导数的几何意义: 切线的斜率;,4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导;,5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数.,6. 判断可导性,不连续,一定不可导.,连续,直接用定义;,看左右导数是否存在且相等.,思考题,思考题解答,3.2函数的求导法则与高阶导数,1.和、差、积、商的求导法则,定理,设f(x),g(x)在x点可导,则,推论,解,同理可得,例 求下列函数的导数,解,同理可得,2、高阶导数,定义,如果函数,的导函数,在点x,处可导,则称导函数,在点x处的,导数为函数,的二阶导数.,二阶导数的导数称为,的三阶导数.,三阶导数的导数称为,的四阶导数.,阶导数的导数称为,的n阶导数.,(1)二阶以及二阶以上的导数称为高阶导数.,(2)记号,(3) x0,处的n阶导数记号,(4)求法,2至5阶,反复求导.,n阶导数,先求几阶再总结规律.,例1,求,(n为正整数)的n阶导数.,解,3.反函数的求导法则,即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.,例1,解,同理可得,3.3复合函数的求导法则,定理 1,（链式法则）,复合函数的求导法则,即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则),证:,在点 u 可导,故,（当 时 ),例如,关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.,推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.,例2,解,解,例4,例3. 设,求,解:,例5,解,2、基本导数公式,例6,解,例7,解,为求导方便起见，对于函数积或
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