余弦定理教学设计

1.1.2余弦定理教学设计I .教学目标认知目标：在创设的问题情境中，引导学生发现余弦定理的内容，推导余弦定理，并简单地用余弦定理求解三角形；能力目标：通过观察、推导和比较，引导学生从特殊到一般地归纳余弦定理，培养学生的创新意识和观察能力及逻辑思维能力，并利用向量作为数形结合的工具，实现几何问题向代数问题的转化；情感目标：为所有学生创造平等的教学氛围，通过学生与教师和学生之间的交流、合作和评价，调动学生的主动性和积极性，给学生一个成功的体验，培养学生学习数学的兴趣和热爱科学与创新的精神。二，教学难点要点：探索和证明余弦定理的过程；理解和掌握余弦定理的内容；余弦定理的初步应用。难点：用矢量方法证明余弦定理的想法；余弦定理的熟练应用。三、学习情况和教学内容分析在学习本课之前，学生已经学习了正弦定理的内容，掌握了正弦定理的证明和应用，并明确了哪些类型的三角形可以用正弦定理求解。在此基础上，教师可以创建一个“已知三角形的边和角”来解决三角形的实际例子，学生发现前一节所学的知识不能用来解决这个问题，从而引发学生的学习兴趣，引出本节的内容。在讲授余弦定理时，考虑到余弦定理在形式上比正弦定理更复杂，教师可以有目的地提供一些研究材料，并给予必要的启发和指导，使学生通过类比、联想、提问、探究等步骤，辅以小组合作学习，进行思考，建立猜想，获得命题，然后想方设法加以证明。当用两种不同的方法证明余弦定理时，学生在证明思想时可能会遇到困难，教师可以给予适当的指导。第四，教学过程链接1创造情境1、复习引言让学生回答正弦定理的内容和该定理可以解决的问题类型。ABC图12.场景介绍如图1所示，为了挖掘山岭隧道，隧道施工团队需要测量隧道穿过山岭的长度。工程技术人员首先在地面上选择一个合适的位置A，测量从甲到乙、丙脚的距离，然后用经纬仪测量甲到乙脚的开角(即线段BC)，最后计算出乙脚的长度BC。对学生来说，把这个实际问题转化成数学问题并不难：知道三角形的两条边和一个夹角，找到三角形的另一边。这个问题不能用正弦定理来解决。学生们渴望应用新知识来解决这个问题。链接2导入新课问题：在ABC中，当C=90时，有c2=a2 b2.如果a和b边的长度是常数，当C的大小改变时，c2和a2 b2之间的大小关系是什么？请考虑一下。教师鼓励学生积极思考，大胆发言，启发学生解决问题，学生借助多媒体动画演示结果进行回答。如图2所示，如果c 90，由于AC和BC的长度相同，AB的长度变短，即C2 a2b2。CBA b 图2AC b B图3如图3所示，如果 90，由于AC和BC的长度不变，AB的长度变长，即C2 a2b2。经过讨论，学生们得出当C90，c2a2 b2。链接3新课探究询问1。在前面的问题中，我们已经知道当 C 90，c2a2 b2。c2和a2 b2之间的等价关系是什么？请继续探索。教师引导学生分组合作学习，这样几组学生可以在c为锐角时学习结论，而其他组可以在c为钝角时学习结论。最后，交流探索，展示成果。如图4所示，当C为锐角时，使BDAC在d处，BD将ABC分成两个直角三角形：ACBD图4在RtABD中，AB2=AD2 BD2；在RtBDC中，BD=BCsinC=asinC，dc=bccosc=acosc。因此，AB2=AD2 BD2转换为c2=(b-acosC)2 (asinC)2，c2=b2-2可以看出，当C为锐角时，ABC的三条边a、b、C具有C2=a2 B2-2 bcosc的关系。如图5所示，当c是钝角时，使用BDAC，AC的延长线在d处BADC图5ACB是两个直角三角形的差。在RtABD中，AB2=AD2 BD2.在RtBCD中，bcd=-c。BD=BCsin(-C)，CD=BC cos(-C)。所以AB2=AD2 BD2被转换成c2=(空调CD)2 BD2=b acos(-C)2 asin(-C)2=B2 2 bcos(-C)a2 cos 2(-C)a2 sin 2(-C)=B2 2 bcos(-C)a2。因为cos (-c)=-cosc，C2=B2 a2-2 bcosc也可以得到。老师的建议：在上述两种情况下，我们可以检查矢量方向上的正投影的数量：何时当C分别是锐角和钝角时，得到两个符号相反的数。当C是直角时，其矢量在直角边上的正投影数为零。因此，无论C是锐的、右的还是钝的，都有,在RtADB中，C2=a2 B2-2 bcosc是利用勾股定理得到的。通过旋转它们，我们可以得到A，B和C的位置a2=b2 c2-2bccosA。B2=C2 a2-2 ccob。因此，我们得到了三角形中角关系的另一个重要定理：(多媒体投影余弦定理的内容)余弦定理三角形任一边的平方等于另外两条边的平方减去两条边和它们之间夹角的余弦的两倍，也就是说C2=a2 B2-2 bcosca2=b2 c2-2bccosAB2=C2 a2-2 ccob从上面的公式，可以得到余弦定理的另一种形式：从上面的分析过程中，我们对C不是直角的情况有了一个清晰的认识。我们不仅要认识到当c为锐角和钝角时，C2=a2 B2-2 bcosc存在，而且要认识到如何将一个斜三角形转化为两个直角三角形。这种从未知到已知的转化思想经常被用在数学中。询问2。你能用矢量方法证明余弦定理吗？参见教科书示例1左上角的思想提示。教师可以指导学生分组讨论和探究，最后教师可以用多媒体演示证明的思路和过程。图6如图6所示，在ABC中，设置，教师点评：对于问题1，我们证明了C是锐角和钝角的情况下余弦定理的形式，过程相当复杂。对于问题2，我们可以简单地用向量个数的乘积来证明余弦定理，这说明了向量作为证明某些数学问题的工具的作用。在今后的学习中，我们应该加强所学知识的应用。询问3。余弦定理在求解三角形中的应用教师启发学生：根据余弦定理的两种形式，它能解决哪种类型的三角形？(对于学生来说，发现余弦定理可以用来求解两种类型的三角形解并不困难：(1)知道三角形的两条边及其夹角，并找到第三条边；给定三角形的三条边，找出三个内角。)接下来，请根据余弦定理的两个应用解决下面三个例子。(用多媒体展示示例)例1。在ABC中，已知a=5，b=4，c=120o，求c。例2，在ABC中，给定a=3，b=2，c=，求这个三角形的三个内角的大小和面积(最接近0.1)。例3、ABC的不动点是A(6，5)、B(-2，8)、C(4，1)和A(精确到0.1)。双边活动：教师和学生可以一起完成例子，进一步加深学生对余弦定理的应用。链接4练习和巩固1.在ABC中，a=1，b=1，且c=120o，则c=1。2.在a，b，c中，如果A，b，c三边相交，则A=0。3.在ABC中，已知这个三角形是(锐角、直角、钝角)。4.在ABC中，BC=3，AC=2，AB中线的长度为2，因此AB被计算。双边活动：学生在有限的时间内进行训练，让学生回答结果，解释错误的问题，并用多媒体展示问题4的解题过程。链接5课堂反思总结通过上述研究过程，学生学到了哪些知识和方法？你对此有何看法？(学生将首先回答和总结，教师将适时补充和改进)1.余弦定理的发现从直角开始，分别讨论了锐角和钝角的情况，体现了从特殊到一般的认知过程，运用了分类讨论的数学思想。2.余弦定理用向量证明，体现了数学知识的应用和数形结合。3.余弦定理表示三角形的边和对角线之间的关系。毕达哥拉斯定理是一个特例。这个定理可以用来解决两类问题，即求已知三角形三条边的第三条边和内角。(从实际问题出发，通过猜想、实验、归纳等思维方法，最终推导出正弦定理。我们研究问题的突出特点是从特殊到一般。在整个探索过程中，我们不仅获得了结论，而且掌握了研究问题的一般方法。在强调研究性学习方法的同时，注重学生的主体地位，调动学生的积极性，使数学教学成为数学活动教学。)链接6家庭作业1.如果三角形的三条边分别是，然后。2.在ABC中，如果A=7，B=8，最大内角的余弦为_。3、已知ABC，acosB=bcos A，请判断三角形的形状(用两种不同的方法)。五、教学反思1.余弦定理是求解三角形的重要基础，应该引起足够的重视。在这一部分安排两节课是合适的。第一节，余弦定理的推导、证明和简单应用；第二部分回顾了定理的内容并加强了它的应用。2.当已知两边都需要第三条边和一边的对角时，可以利用方程的思想推导出含有未知量的第三条边的方程，并间接利用余弦定理来解决问题。此时，应注意解决方案的非唯一性。然而，这个问题是针对这个班的学生的，学生很难理解，可以在第二节课上解决。3.本课的重点首先是定理的证明，其次是定理的应用。我们传统的定理概念教学往往采用“切头切尾”的方法来烧断中断。它忽略了定理和概念的形成过程，只盲目地教学生定理概念的结论或公式。它允许学生通过大量的话题应用这些结论或形式，并且大量使用问题解决策略，这增加了学生的负担并且效果不佳。学生们根本没有掌握这些定理和概念的形成过程。他们无法理解知识的起源和发展。他们如何灵活运用它们？事实证明，这种以死记硬背和死记硬背为基础的教学方法和学习方法已经不能适应新课程标准教育的教学理念。新课程标准倡导：强调过程，关注学生探索新知识、获取新知识的体验。教学不应再脱离学生的内心感受，应该把“发现和探索知识”的权利还给学生。4.这节课的教学过程非常重视学生探索知识的过程，突出了以教师为主导、学生为主体的教学理念。教师通过为学生提供一些学习材料来指导学生研究问题和探索问题的结论。在这一过程中，教师应该“灵活”，即不要太紧，剥夺学生独立思考和合作学习的意识，更不要说“放羊”教学，忽视学生探索问题的困惑。5.多媒体教学的合理应用可以起到画龙点睛的作用，提高效率，增强学生的问题意识。教师不能成为多媒体的奴隶。滥用多媒体教学的后果是将学生的眼睛、手和嘴变成机械的眼睛。看完班级电影后，学生没有足够的时间思考、练习和巩固。课后，他们很快就会忘记他们所学的所有知识。6.在实际教学中，发现学生不能很好地运用所学知识(如向量)，学生的数学思想(如分类讨论、数形结合)不能灵活运用，应在今后的教学中予以加强。从教学的实际效果来看，我们可以完成这节课的教学任务。教学后期应主要加强师生之间的双边课堂活动学习目标1.用矢量数的乘积证明余弦定理的方法。2.记忆和掌握余弦定理3.可以用余弦定理及其推论来求解三角形学习要点余弦定理的理解和应用学习困难余弦定理的定量乘积证明及其应用学习过程我上课前准备知识列表(预览教科书P5-8以发现疑问)1.余弦定理：2.余弦定理的推论：3.余弦定理可以用来解决两类关于解三角形的问题三面是已知的如果我们知道它们的和，我们就能找到第三条边和另外两个角。牛道小石1.已知，寻求；2.已知，因为二。新课程指南1.审阅和导入1.三角形内容的正弦定理：给定A=，C=，你能解出这个三角形吗？【探究】探究一道题中的余弦定理如果条件C=，也就是2，变成了，怎么解三角形？(即已知的三角形