勾股定理ppt课件.ppt

勾股定理,印度的“荷花问题”,平平湖水清可鉴，荷花半尺出水面。忽来一阵狂风急，吹倒荷花水中偃。湖面之上不复见，入秋渔翁始发现。残花离根二尺远，试问水深尺若干。,一、定理的探索,试一试,正方形P的面积=平方厘米正方形Q的面积=平方厘米正方形的面积=平方厘米,每一格表示1平方厘米,科技馆录像,面积演示.gsp,我国古代把直角三角形较短的直角边称为“勾”，较长的直角边称为“股”，斜边称为“弦”，于是勾股定理可叙述为：勾方加股方等于弦方。这是勾股定理名称的由来。,勾,股,弦,勾2股2弦2,a,b,c,a2b2c2,直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方.,勾股定理,二、定理的证明,勾股定理不仅是最古老的数学定理之一，也是数学中证法最多的一个定理。几千年来，人们已经发现了400多种不同的证明方法，足以编成厚厚的一本书。,证明,利用图一的边长为a，b，c的全等的四个直角三角形拼成一个以c为边的正方形如图二，则图中的小正方形边长为(a-b),它的面积为(a-b)2，四个直角三角形的面积和为(4ab/2)由此可得：c2=(a-b)2+2ab=a2-2ab+b2+2ab=a2+b2,a,a,a,a,b,b,b,b,c,c,c,c,思考你能否利用此图得到勾股定理的结论？,证明：大正方形面积可表示为,(a+b)2,又可表示为,(a+b)2=,即,这个证明方法出自美国第20任总统枷菲尔德(J.A.Garfield)，他在1876,利用了梯形面积公式。,定理的应用,例1，在ABC中，C=90，（1）若a=12,b=5,则c=_。（2）若a=6，c=10，则b=_。（3）若b=7，c=9，则a=_。（4）若c=10，a:b=3:4，则a=_,b=_。（5）若a=23，b=45,则c=_。,bc,13,8,6,8,例2、如图，一架长2.5m的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯脚B到墙底端C的距离0.7m。（1）求AC长。（2）如果梯子顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚将向外移多少米？,A,A1,B,B1,A,A1,B,B1,c,c,0.7,2.5,0.4,解:（1）在RtABC中，ACB=90，根据勾股定理得：AC=AB2-BC2=2.52-0.72=5.76=2.4m(2)A1C=2.4-0.4=2mB1C=A1B12-A1C2=2.52-22=2.25=1.5mBB1=B1C-BC=1.5-0.7=0.8m,A,A1,B,B1,c,例ABC中，ABAC20cm，BC32cm。求：ABC的面积。,证明：作于，ABAC，BC32cm.在中，由勾股定理得,合作探究,13,14,15,思考:根据“边边边”公理可知,三角形三边确定了,三角形也就确定了.那么已知三角形三边,你可以根据学过的知识求出它的面积吗?,合作探究,证明：作于，设cm，则（）cm，在和中，由勾股定理得,勾股趣话,会标,我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的称为股，斜边称为弦，称为“弦图”，最早是由三国暑期的数学家赵爽在为周髀算经作注时给出的，右图是在北京召开的2002年国际数学家大会（ICM-2002）的会标，其图案正是“弦图”，它标志着中国古代的数学成就。,宇宙探索,几十年前，有些科学家从天文望远镜中看到火星上有些地区的颜色有些季节性的变化，又看到火星上有运河模样的线条，于是就猜想火星上有高度智慧的生物存在当时还没有宇宙飞船，怎样和这些智慧生物取得联系呢？有人就想到，中国、希腊、埃及处在地球的不同地区，但是他们都很早并且独立的发现了勾股定理科学家们由此推想，如果火星上有具有智慧的生物的话，他们也许最早知道勾股定理火星是否有高度智慧生物？现在已被基本否定，可是人类并没有打消与地球以外生物取得联系的努力怎样跟他们联系呢？用文字和语言他们都不一定能懂因此，我国已故著名数学家华罗庚曾建议：让宇宙飞船带着几个数学图形飞到宇宙空间，其中一个就是边长为3：4：5的直角三角形同学们没想到吧，两千年前发现的勾股定理，现在在探索宇宙奥秘的过程中仍然可以发挥作用呢！,1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择。但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作周髀算经中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。周髀算经里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。,中国古代对这一数学定理的发现和应用，远比毕达哥拉斯早得多。中国最早的一部数学著作周髀算经的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：周公问：我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？商高回答说：数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形矩得到的一条直角边勾等于3，另一条直角边股等于4的时候，那么它的斜边弦就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。如果说大禹治水因年代久远而无法确切考证的话，那么周公与商高的对话则可以确定在公元前1100年左右的西周时期，比毕达哥拉斯要早了五百多年。其中所说的勾3股4弦5，正是勾股定理的一个应用特例。所以现在数学界把它称为勾股定理是非常恰当的。在稍后一点的九章算术一书中（约在公元50至100年间）（右图），勾股定理得到了更加规范的一般性表达。书中的勾股章说；“把勾和股分别自乘，然后把它们的积加起来，再进行开方，便可以得到弦。”。九章算术系统地总结了战国、秦、汉以来的数学成就，共收集了246个数学的应用问题和各个问题的解法，列为九章，可能是所有中国数学著作中影响最大的一部。中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明（右图）。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。,中国数学史,在国外尤其在西方，勾股定理通常被称为毕达哥拉斯定理，这是由于，他们认为最早发现直角三角形具有“勾2+股2=弦2”这一性质并且最先给出严格证明的是古希腊的数学家毕达哥拉斯（Pythagoras，约公元前580前500年）。,西方数学史,铤而走“弦”,穿越草坪走“近道”的现象。每个人每次节约了20秒不到的时间，却踏秃了草坪，丑化了生活环境、解除了草坪的空气净化功能。所以，请走勾股正道，不斜穿“草坪”铤而走“弦”（君子，道有所不取），为社会培养遵守规则的习惯，创造优秀的社会环境。,学以致用,1、在ABC中，C=90，（1）若a=b=3，则c=。（2）若a=1,c=2,则b=。2、如果一个等腰直角的面积是2，则斜边长为。3、一个直角三角形的三边长是3、4、x，则x=4、求边长为1的等边三角形的面积。,5或,5、你能求出下列最大正方形的面积吗？,5,3,1,3,2,2,8,5,3,8,1,3,3,5,2,4,4,4,36,根据勾股定理得：BC2+AC2=AB2