高代这是真的这不是梦高代char4

,第4章矩阵的代数运算,机动目录上页下页返回结束,第4章,4.1矩阵运算的定义与运算律4.2矩阵乘法与线性变换4.3逆矩阵4.4初等方阵及应用4.5更多的例子,4.1矩阵运算的定义与运算律,机动目录上页下页返回结束,第4章,1.矩阵的线性运算-加法中矩阵和相加，得到的和是矩阵，它的第元等于的第元之和，即：,具有的性质：(1).交换律：(2).结合律：(3).零矩阵的性质：矩阵的所有元素都为0，记作,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,对任意一组,即集合中的元素线性无关.,可以唯一地写成的线性组合,机动目录上页下页返回结束,例1试用矩阵表示三维空间的内积.,解：在空间建立直角坐标系，空间中两个向量a1,a2的坐标分别为X1=(x1,y1,z1),X2(x2,y2,z2),则,例2.设AFmn,BFpq.给出发生下列情况的充分必要条件.矩阵A与B可以相乘，但B与A不能相乘.矩阵A与B可以相乘，B与A也能相乘，但乘积AB与BA不能相加.,解:,例3.设求,(3).在矩阵乘法下，消去律不成立：,注意:(所有元素是0的矩阵称为零矩阵，记为O),(1).矩阵乘法的交换律不成立：,(2).但是,但,矩阵的分块运算,特别的A与j的乘积就是AB的第j列，即,我们还有,一般地，在作矩阵的运算时，可以用一些横线和竖线将任一矩阵划分成一些矩形小块：分块的方法是：想象用横线把A的m行分成若干组，每组依次包含行，满足；用竖线将A的n列分成若,组，每组依次包含列，满足.则A被分成pq个小的矩阵这就称为对矩阵A进行了分块(partitioning),进行了分块的矩阵A被称为分块矩阵(partitioningmatrix).在进行矩阵运算时可以暂时将每一块作为一个整体，看作一个元，将A看作由这些元组成的矩阵来进行运算.,分块矩阵的加法和数乘,将两个矩阵A，B相加，可以将A，B进行同样方式的分块：使处于同一位置的块的行数相等列数也相等。将A，B中处于同一位置的块相加，得到的,就是A+B的分块形式.对任意的，还容易看出,分块矩阵的乘法,将矩阵相乘，可以将A，B进行分块,(4.2.3),其中,A，B可以看作以它们的块为元的矩阵来相乘得到分块矩阵,(4.2.4),其中我们来验证，这样得到的C就等于AB.,解:,例4.设求,矩阵乘法运算律,得到，,(2).若且或那么,(3).若则,定义方阵的第元称为方阵的对角元,个对角元所在位置组成的一条线称为方阵的主对角线.,(4.1.1),例5.设是阶方阵,求,解写则,即将的各行分别乘以就得到,写则,即将的各列分别乘以就得到,定义若称,对任意方阵有,为标量阵.,(4.1.2),定义,称为单位阵,有时写成,(4.1.3),对任意的矩阵有,矩阵乘法满足以下与数的乘法类似的性质：,(1).结合律,证明设,则其中,从而其中,(4.1.4),另外，其中,从而其中,(4.1.5),比较以上两式，即得结论.,利用矩阵乘法可将线性方程组,(4.1.6),写成矩阵方程的形式，记矩阵,称为方程组(4.1.6)的系数矩阵.,则按照矩阵乘法的法则，有,因此，方程组(4.1.6)可写成,(4.1.7),(2).与数乘的结合律,(3).乘法对于加法的分配律,例6求,解记则,于是,由,得,例7设方阵A的秩为1，对角元之和为,求证：An=n-1A.,证明：rankA=1则其行向量组的极大线性无关组由一个非零向量=(b1,bn)组成.A的每一行i都是的常数倍:i=ai.于是,注：方阵A对角元之和称为A的迹，记作trA。,方阵的多项式,由矩阵的乘法可以定义方阵的各次幂：,由矩阵乘法的结合律，对有,设关于的多项式,设是任一方阵，则,设,则,例8.已知,(1).求,(2).当时，求一个3阶方阵使,解(1).其中，,(4.1.10),经计算可知,代入(4.1.10)得,(2).当时由于,因此，,符合要求.,转置与共轭,定义将矩阵,的行列互换得到矩阵，称为的转置矩阵，记作即,的第元等于的第元.,矩阵的转置满足如下运算律：,(1),(2)对阶方阵,(3),(4)是任意数.,(5),证明(5)：设,则,另外,其中,设,则,于是即,(6)设分块矩阵,则A的转置,定义设是方阵，若则称为对称方阵.,若就称是反对称方阵，也称,斜对称方阵.,例9.设A是任意矩阵，求证:(1)AAT是对称方阵;(2)任意方阵A可以写成对称方阵S与反对称方阵K之和,即A=S+K.,例设是阶反对称矩阵，是维列向量.,求证：,证明由一个元组成，因此,即有,定义的共轭矩阵为记作,矩阵共轭的性质,(1),(2),(3),(4),定义设若则称为Hermite方阵.,若就称是反Hermite方阵.,复矩阵A的共轭转置记为A*则如下性质成立:,例是复数域上的非零矩阵.求证：,证明设则其中,于是其中,特别,由于必存在某个元对应的,因此，,4.2矩阵乘法与线性变换,机动目录上页下页返回结束,第4章,例1平面上建立了直角坐标系,将平面上每个点P绕原点O旋转角到P。试写出由点P的坐标(x,y)计算P的坐标(x,y)的函数关系式.,解：将OP旋转90得到OQ.则,只要求出OQ的坐标即可求出OP坐标。而OQ的坐标为(-y,x),于是,定义4.2.1设U，V是数域F上两个线性空间。如果存在映射:UV，满足条件(1)(+)=()+()，,U(2)()=()，U，F称是U到V的线性映射.当U=V称是U上的线性变换.,线性映射的简单性质,设A:UV是线性映射.则,(1)A将零向量0UU变到零向量0VV，将,a的负向量-a变到A(a)的负向量：,A(0U)=0VA(-a)=-A(a),(2)A保持线性组合关系式不变：,(3)如果a1,ak线性相关，则,A(a1),A(ak)线性相关.,(4)如果A(a1),A(ak)线性无关，则,a1,ak线性无关.,A(1a1+kak)=1A(a1)+kA(ak).,例2已知(1)求AB.(2)n是任意正整数，求An,解：,线性变换的矩阵,例3是否存在R21上的线性变换将e1=(1,0)T,e2=(0,1)T分别映到(2,3)T,(4,5)T?如果存在，是否唯一？,解：存在且唯一:XAX，其中,引理4.2.1从Fn1到Fm1的线性变换:XAX的矩阵A=(A1,An)的各列Aj=(ej),分别等于各个自然基向量ej(1jn)在映射下的像.,例4设直角坐标系中直线l由x轴绕原点O旋转角得到.将平面点P的坐标写成列向量X=(x,y)T,P关于l的对称点P的坐标Y=(x,y)T,记为(X).如果已知:XY是R21上的线性变换，求(x,y)与(x,y)的函数关系式.,l,E1,解：OE1,OE2为两列组成的矩阵A就是的矩阵,定理4.2.1略,3线性映射的矩阵,定义设U,V是数域F上有限维线性空间，分别取U的基M1=1,n和V的基M2=1,n.对每个1jn,设U的基向量j在下的像(j)在基M2下的坐标为,Aj=,A是依次以A1,A2,An为各列组成的矩阵,即(1,n)=(1,m)A,则A称为在基M1和M2下的矩阵.,当U=V时我们,取M1=M2=1,n,此时称满足条件,(1,n)=(1,n)A,的矩阵A为线性变换在基M1下的矩阵.,注：将U中的每个向量用它在M1下的坐标X代表,将V中每个向量由它在基M2下的坐标Y代表,这样就将U用Fn1代表、将V用Fm1代表，则被表示为:Fn1Fm1(XAX)的作用通过它的矩阵A的左乘来实现.我们将XAX称为在基M1,M2下的坐标表示.,定理4.2.1,设:UV是数域F上有限维线性,空间的映射.取U的基M1将U的向量用坐标表示,取V的基M2将V的向量用坐标表示.如果所引起的坐标之间的映射可以通过某个矩阵A的左乘来实现：,:XAX,则是线性映射，A是在基M1，M2下的矩阵.,例2设定义A在V,中的左乘变换AL：VV，XAX.取V的基,M=E11,E12,E21,E22,其中,求AL在基M下的矩阵.,解：,在M下的坐标为.类似地有：,坐标分别为,因此AL在基M下的矩阵为:,例5设直角坐标系中直线l由x轴绕原点O旋转角得到.试证：将平面点P的坐标X对应到它关于l的对称点P的坐标Y的变换:XY是R21上的线性变换.,例6在三维空间建立直角坐标系，变换将每个点P绕Oz轴旋转到点P.求P(x,y,z)与P(x,y,z)的函数关系式.,解：e3保持不变：(e3)=e3=(0,0,1)T.e1,e2在Oxy平面内旋转:(e1)=(cos,sin,0)T,(e2)=(-sin,cos,0)T.因此,4.3逆矩阵,机动目录上页下页返回结束,第3章,例求2阶方阵满足条件,解记,法一将写成将写成,则,即,解这两个方程组，得,法二将分别按行分块写成,则原方程成为,将看成普通数,用矩阵消元法：,于是,矩阵等式,将代入上式得到原方程的解,法三直接将的具体数值代入后进行消元：,可逆矩阵的定义,定义对于矩阵如果存在矩阵,满足条件且就称可逆，,并且称是的逆.,命题假如可逆，那么的逆是唯一的.,证明设都是的逆，则因而,引理可逆可逆,且,可逆时，记它的逆为由知,例1求方阵A的逆，,解：根据A的几何意义，可以得,例2求n阶方阵P的逆，,解：令A是任意mn矩阵，则,取,于是取A=I就有PQ=QP=I，即,矩阵可逆的条件,引理可逆的各列线性无关.,推论可逆是方阵，且行列式,证明设可逆.则的各列是个线性无,关的维向量，因此,又也可逆，则因而,再由推论3.4.2可知方阵的行列式,定义行列式等于0的方阵称为奇异方阵.,根据行列式的性质可知,令,其中的第元为中第元,的代数余子式.,称为的伴随矩阵.,例6,易验证,于是得到,因此有下面的定理.,引理4.3.3可逆是方阵且,当时，,此时，线性方程组有唯一解,逆矩阵的算法,由于的计算量比较大，尤其较大时，因此可用解矩阵求出则,具体做法如下：,对行列式不为0的方阵及任意求矩阵方程的解将此方程写成,(4.3.5),将行向量都看作“数”，把(4.3.5)当作元一次方程组来解，用“增广矩阵”,(4.3.6),来代表方程组(4.3.5).由于一定可将经过一系列初等行变换变成单位矩阵，变为,于是,算法4.3.1(求矩阵方程AX=B的解),(A|B)(I|X),有限次初等行变换,例3.求方阵A的逆:,解：,例4.求方阵的逆:,(1)其中,(2),(3)阶方阵,解(1),(2)解法1,解法2记,则,由,知,(3)解法1,按照(2)中解法1:第一步将其余各行加到第1,后第2至行乘便得,行；第二步第1行乘以第三步其余各行,减去第1行；第四步其余各行加到第1行，然,解法2令,则,对任意常数有,选取使则,因此，,例5(1)求使,解法1,解法2,因此,另外,方程两边转置,化为来解,同上得,解：,可逆矩阵的性质,性质1可逆的逆也逆，且,性质2阶方阵可逆它们的乘积可,逆，且,一般地，若可逆，则它们的成绩可逆，且,性质3设可逆，则,性质4设可逆，则它的转置可逆，且,性质5设阶方阵与阶方阵可逆，则准,对角线可逆,且,例7线性变换：XAX将1=(2,1),2=(5,3)分别映到1=(4,2),2=(-1,1).求A.,解：依题意有,由例5(1)得,A,例8设AX=b是n个方程组成的n元方程组，系数行列式=|A|0.试求唯一解X的公式.,解：=|A|0A可逆，X=A-1b.而,例设且可逆.,(1)求证：与可逆,并求它们的逆.,(2)求证：可逆并求它的逆.,证明(1)注意到,对任意成立.特别，取,可得,因此,类似地有,(2)我们有,从而,因此,4.4初等方阵及应用,机动目录上页下页返回结束,第4章,的每个元作为一块，进行分块运算得,这说明：,的每一行都是,的行的线性组合，,的相应的行提供。,组合系数由,机动目录上页下页返回结束,常用的矩阵的三类初等行变换：,1.将某两行互换位置。,2.用中某个非零的数乘以某行。,3.将某行的若干倍加到另一行。,经过初等行变换,后的矩阵的行都是,变换前的矩阵的行的线性组合，,由（4.4.1），,从到的变换可以通过在的左边乘,以适当的矩阵来实现：,机动目录上页下页返回结束,例1设计适当的A，分别满足下面的条件：,1.将B的前两行交换得到AB；,2.将B的第1行乘得到AB；,3.将B的第1行的倍加到第2行得到AB。,解法1,1）,机动目录上页下页返回结束,其余各行依次,符合要求。,机动目录上页下页返回结束,2）,符合要求。,3）,符合要求。,机动目录上页下页返回结束,解法2,（1）对所有B，将B的前两行交换都得到AB。特别地，取B=I为单位矩阵，将I的前两行互换得到AI=A,因此,机动目录上页下页返回结束,因此,（2）将的第1行乘得到,机动目录上页下页返回结束,（3）将I的第1行的倍加到第二行得到AI=A,因此,问：例1的方法和结果是否可以推广到一般的初等行变换？,机动目录上页下页返回结束,定义4.4.1如下方阵称为初等矩阵（elementarymatrix）：,（1）,机动目录上页下页返回结束,2）,机动目录上页下页返回结束,3）,机动目录上页下页返回结束,，和的运算性质：,机动目录上页下页返回结束,定理4.4.1对矩阵B做初等行变换，效果相当于对B左乘相应的初等方阵：,1.将的第行互换：。,2.将的第行乘0：。,3.将的第行的倍加到第行：。,由定义4.4.1或定理4.4.1可得：,机动目录上页下页返回结束,机动目录上页下页返回结束,下面考虑,的每个元作为一块，进行分块运算得,机动目录上页下页返回结束,定理4.4.1,（1）,（2）,（3）,机动目录上页下页返回结束,用矩阵消元法解线性方程组，对任一矩阵作初等行变换，可以将化为阶梯形。如果同时使用初等行变换和初等列变换，可以将任一矩阵化到更简单的形式。而对进行初等行变换和初等列变换，相当于对左乘和右乘一系列初等方阵。,定理4.4.3任意的都可以通过有限次初等行变换和初等列变换化为,其中。,机动目录上页下页返回结束,证明：,如果l1，再将第1列和第l列互换，将非零元换到第(1,1)位置。经过这样的初等行变换和初等列变换，一定可以将A=(aij)mn化为B=(bij)mn，使a110。,如果A=O，则A已经是所需的形状。,设A=(aij)mnO。其中必有元akl0。,如果a11=0，当k1时将A的第1行与第k行互换，可将非零元akl换到第1行；,机动目录上页下页返回结束,对，将的第1行的倍加到第行，第1列的倍加到第列，可以将中第2至第行的第1列元化为0，第2至第列的第1行化为0.,再将第1行乘可以将第（1，1）元化为1。这样就将化为了如下形式的矩阵,其中是矩阵。,如果，则已经是所需的形状。,机动目录上页下页返回结束,设，重复以上步骤，对作初等行变换和初等列变换可以将化为,其中是矩阵。,机动目录上页下页返回结束,重复这个过程，最后可以得到形如（4.4.2）的矩阵,这个矩阵的个非零行线性无关，组成行向量的极大线性无关组