华中师范大学量子力学

一、 填空题（共10题，每题2分，共20分）1. 若某种光的波长为，则其光子的能量为 ，动量大小为 。2. 戴维逊革末实验主要表现出电子具有 。3. 若是归一化的波函数，则表示 4. 设力学量算符与不对易，且其对易子为，则它们的不确定性关系为 。5. 厄米算符在自身表象是 矩阵。6. 从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云的图像，电子云是 ；7. 设氢原子处于态，求氢原子的角动量分量的平均值 8. 证明电子具有自旋的实验是 。9. 两个角动量耦合的总角动量 10. 共振跃迁意思是 。 共振跃迁意思是 当周期性微扰的频率不等于两能级间的玻尔频率时，即时，跃迁概率不大；当时，即吸收过程和辐射过程，其跃迁概率随时间而增大，称为共振跃迁。二、 判断题（共10题，每题1分，共10分）1. 光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。2. 若是体系的一系列可能的状态，则这些态的线性叠加（其中为复常数）也是体系的一个可能状态。3. 不同定态的线性叠加还是定态。4. 因为坐标与动量算符均是厄米算符，所以它们的乘积一定是厄米算符。5. 若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。6. 粒子在中心力场中运动，若角动量Lz是守恒量，那么Lx就不是守恒量。7. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：，则粒子的波函数一定具有确定的宇称。8. 费米子体系的哈密顿算符必须是交换反对称的，波色子体系的哈密顿算符必须是交换对称的。9. 全同粒子体系的波函数具有一定的对称性，是来自于全同粒子的不可区分性。10. 自由粒子所处的状态只能是平面波。三、 简答题（共5题，每题4分，共20分）1. 简述玻尔的量子论，并对它进行简单的评价。2. 处于定态的体系具有哪些性质。3. 隧道效应。4. 跃迁的选择定则及其理论依据。5. 分波法的基本思想。四、 证明题（共2题，每题8分，共16分）1. 用狄拉克符号证明：（1） 厄米算符的本征值是实数；（2） 厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非简并情形）。（8分）2.证明，处于1s，2p和3d态的氢原子，分别在，和的球壳内发现电子的概率最大。（提示：氢原子波函数，其中，。（8分）五、 计算题（共3题，共34分）1. 质量为的一维谐振子的基态波函数为，其中，求粒子出现在经典禁区的概率。（10分）（积分公式：）2. 已知在和的共同表象中，算符和的矩阵表示分别为，求它们的本征值和归一化的本征函数，并将矩阵和对角化。（12分）3. 已知某表象中哈密顿算符的矩阵形式。（1） 设，应用微扰论求哈密顿算符的本征值到二级近似；（2） 求精确解，并与上面的微扰论结果比较。（12分）备用：B卷一、 简答题（每小题4分，共36分）1. 态叠加原理2. 波函数的统计解释及波函数的标准条件3. 全同性原理和泡利不相容原理4. 量子力学基本假设是什么5. 隧道效应6. 哪些实验表明电子具有自旋现象？电子自旋角动量是电子自转产生的吗？7. 共振跃迁8. 分波法的基本思想9. 电子云二、 计算题（共64分）1. 证明对易关系。（8分）2. 设氢原子处于归一化状态，求其能量、角动量平方及角动量z分量的可能值，这些可能值出现的几率和这些力学量的平均值。（12分）3. 二维矩阵A, B满足（1） 证明；（2） 在B表象中求出A的矩阵。（共12分） 4. 在某一选定的一组正交基矢下哈密顿算符由下列矩阵给出（1）设，应用微扰论求哈密顿算符的本征值到二级近似；（2）求哈密顿算符的本征值的精确解；（3）在怎样条件下，上面二结果一致。（15分）5. 求和的本征值和本征矢。（8分）6. 证明：厄米算符的本征值必为实数。（5分）7. 设电子1、2的自旋分别为：，体系处于对称波函数的状态，证明：总自旋角动量z分量的本征值为。（6分）8. 设算符在A表象的矩阵表示为，为实常数，求（1）的本征值及正交归一的本征矢在A表象的矩阵表示；（2）使矩阵F对角化的么正变换矩阵U。（12