1986年全国统一高考数学试卷(理科)

.1986年全国统一高考数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）ABCD2（3分）函数y=（0.2）x+1的反函数是（）Ay=log5x+1By=logx5+1Cy=log5（x1）Dy=log5x13（3分）极坐标方程表示（）A一条平行于x轴的直线B一条垂直于x轴的直线C一个圆D一条抛物线4（3分）函数是（）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数5（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A1789B1799C1879D18996（3分）（2004重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件7（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E24F0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）AD=EBD=FCE=FDD=E=F8（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体SEFG中必有（）ASGEFG所在平面BSDEFG所在平面CGFSEF所在平面DGDSEF所在平面9（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab0）的图象只可能是（）ABCD10（3分）当x1，0时，在下面关系式中正确的是（）ABCD二、解答题（共13小题，满分90分）11（4分）求方程的解12（4分）已知的值13（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积14（4分）求15（4分）求展开式中的常数项16（4分）已知的值17（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC18（12分）当sin2x0，求不等式log0.5（x22x15）log0.5（x+13）的解集19（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使ACB取得最大值20（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，AB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）CAB且C中含有3个元素，（2）CA（表示空集）21（12分）过点M（1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数22（12分）已知x10，x11，且，（n=1，2，）试证：数列xn或者对任意自然数n都满足xnxn+1，或者对任意自然数n都满足xnxn+123附加题：（1）求y=xarctgx2的导数；（2）求过点（1，0）并与曲线相切的直线方程1986年全国统一高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）1（3分）在下列各数中，已表示成三角形式的复数是（）ABCD考点：复数的基本概念 分析：复数的三角形式是r（cos+isin），观察所给的四种形式，只有一种形式符合要求，注意式子中各个位置的符号，可得结果解答：解：Z=r（cos+isin），Z=2（cos+isin），故选B点评：复数的代数形式和三角形式是复数运算中常用的两种形式，注意两种形式的标准形式，不要在简单问题上犯错误2（3分）函数y=（0.2）x+1的反函数是（）Ay=log5x+1By=logx5+1Cy=log5（x1）Dy=log5x1考点：反函数 专题：计算题分析：本题考查的是指数式与对数式的互化及反函数的求法，利用指对互化得到反函数的解析式y=log5（x1）即可选择答案解答：解：根据指数式与对数式的互化，由y=（0.2）x+1解得x=log5（y1）x，y互换得：y=log5（x1）故选C点评：本题小巧灵活，很好的体现了指数是与对数式的互化，抓住选项特点，求出反函数的解析式就可以判断出正确答案，不必求出反函数的定义域等3（3分）极坐标方程表示（）A一条平行于x轴的直线B一条垂直于x轴的直线C一个圆D一条抛物线考点：点的极坐标和直角坐标的互化 专题：选作题；转化思想分析：首先由极坐标与直角坐标系的转换公式，把极坐标转化为直角坐标系下的方程，然后再判断曲线所表示的图形解答：解：由极坐标与直角坐标系的转换公式，可得到X=即是一条垂直于x轴的直线所以答案选择B点评：此题主要考查极坐标系与直角坐标系的转化，以及公式的应用计算量小题目较容易4（3分）函数是（）A周期为的奇函数B周期为的偶函数C周期为的奇函数D周期为的偶函数考点：二倍角的正弦 分析：逆用二倍角的正弦公式，整理三角函数式，应用周期的公式求出周期，再判断奇偶性，这是性质应用中的简单问题解答：解：y=sin2xcos2x=sin4xT=24=，原函数为奇函数，故选A点评：利用同角三角函数间的关系式可以化简三角函数式化简的标准：第一，尽量使函数种类最少，次数最低，而且尽量化成积的形式；第二，能求出值的要求出值；第三，根号内的三角函数式尽量开出；第四，尽量使分母不含三角函数把函数化为y=Asin（x+）的形式再解决三角函数性质有关问题5（3分）给出20个数：87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90，92，88，90，91，86，89，92，95，88它们的和是（）A1789B1799C1879D1899考点：收集数据的方法 专题：计算题分析：本题要求求20个数字的和，数字个数较多，解题时要细心，不要漏掉数字或重复使用数字解答：解：由题意知本题是一个求和问题，87+91+94+88+93+91+89+87+92+86+90+92+88+90+91+86+89+92+95+88=1799，故选B点评：本题是一个最基本的问题，考查的是数字的加法运算，这样的题目若出上，则是一个送分的题目6（3分）（2004重庆）已知p是r的充分不必要条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，那么p是q成立的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：压轴题分析：由题设条件知prsq但由于r推不出p，所以q推不出p解答：解：依题意有pr，rs，sq，prsq但由于r推不出p，q推不出p故选A点评：本题考查充分条件，必要条件，充要条件的判断，解题时要认真审题，注意公式的合理运用7（3分）如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E24F0）所表示的曲线关于直线y=x对称，那么必有（）AD=EBD=FCE=FDD=E=F考点：圆的一般方程 分析：圆关于直线y=x对称，只需圆心坐标满足方程y=x即可解答：解：曲线关于直线y=x对称，就是圆心坐标在直线y=x上，圆的方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+E24F0）中，D=E故选A点评：本题考查圆的一般方程，对称问题，是基础题8（3分）在正方形SG1G2G3中，E、F分别是G1G2及G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点记为G，那么，在四面体SEFG中必有（）ASGEFG所在平面BSDEFG所在平面CGFSEF所在平面DGDSEF所在平面考点：空间中直线与平面之间的位置关系 分析：根据题意，在折叠过程中，始终有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，由线面垂直的判定定理，易得SG平面EFG，分析四个答案，即可给出正确的选择解答：解：在折叠过程中，始终有SG1G1E，SG3G3F，即SGGE，SGGF，所以SG平面EFG故选A点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来9（3分）在下列各图中，y=ax2+bx与y=ax+b（ab0）的图象只可能是（）ABCD考点：函数的图象与图象变化 专题：压轴题；数形结合分析：要分析满足条件的y=ax2+bx与y=ax+b（ab0）的图象情况，我们可以使用排除法，由二次项系数a与二次函数图象开口方向及一次函数单调性的关系，可排除A，C；由二次函数常数项c为0，函数图象过原点，可排除B解答：解：在A中，由二次函数开口向上，故a0故此时一次函数应为单调递增，故A不正确；在B中，由y=ax2+bx，则二次函数图象必过原点故B也不正确；在C中，由二次函数开口向下，故a0故此时一次函数应为单调递减，故C不正确；故选D点评：根据特殊值是特殊点代入排除错误答案是选择题常用的技巧，希望大家熟练掌握10（3分）当x1，0时，在下面关系式中正确的是（）ABCD考点：反三角函数的运用 专题：压轴题；阅读型分析：利用三角函数的运算法则，以及几何意义对选项一一验证，可求正确选项解答：解：当x在（1，0）x1，0内变化时：由于01x21，每一个关系式的右端均为锐角每一个关系式的左端均为两项，第一项均为；考查第二项，由于arccos（x）和arcsin（x）均为锐角，所以arccos（x）=钝角，（A）不正确arcsin（x）=钝角，（B）不正确由于arcsinx为负锐角，所以arcsinx，（D）不正确故选C点评：本题考查反函数的运算，考查发现问题解决问题的能力，是中档题二、解答题（共13小题，满分90分）11（4分）求方程的解考点：指数函数综合题 分析：将方程两侧化成以5为底数的指数式，由同底数的指数式相等必有指数相等即可解解答：解：=点评：本题主要考查解指数方程的问题注意方程两侧可都化成同底数后再求解12（4分）已知的值考点：复数代数形式的混合运算 分析：的值是1的一个立方虚根，2+1=0是它的性质解答：解：由=0点评：本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题13（4分）在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3）求这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积 专题：计算题分析：画出图形，旋转后的几何体是一个圆台，去掉一个倒放的圆锥，求出圆台的体积，减去圆锥的体积即可解答：解：在xoy平面上，四边形ABCD的四个顶点坐标依次为（0，0）、（1，0）、（2，1）及（0，3），这个四边形绕x轴旋转一周所得到的几何体是：底面半径为3，高为2，上底面半径为1的圆台，去掉一个底面半径为1，高为1的圆锥，所以几何体的体积是：=故答案为：点评：本题是基础题，考查旋转体的体积，旋转体的图形特征，棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，是常考题型14（4分）求考点：极限及其运算 专题：计算题分析：当x时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则本题中，可将分子、分母都除以3n，再利用商的极限运算法则进行计算解答：解：原式=，又则原式=故答案是点评：在求此类分式极限式时，注意到常用的技巧，分子分母同时除以3n即可完成极限计算15（4分）求展开式中的常数项考点：二项式定理 专题：计算题分析：利用二项展开式的通项公式求出二项展开式的第r+1项，令x的指数为0求出常数项解答：解：展开式的通项Tr+1=（1）r25rC5rx155r令155r=0得r=3所以展开式的常数项为22C53=40点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题16（4分）已知的值考点：同角三角函数基本关系的运用 分析：先对sincos=两边平方得到sincos=，再由sin3cos3=（sincos）（sin2+sincos+cos2）可得答案解答：解：sincos=，sincos=sin3cos3=（sincos）（sin2+sincos+cos2）=（1+）=点评：本题主要考查已知关于三角函数的等式求3次三角函数值的问题这里要注意三角函数的变形应用17（10分）如图，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任一点，求证：平面PAC垂直于平面PBC考点：平面与平面垂直的判定 专题：证明题；综合题分析：要证明平面PAC垂直于平面PBC，直线证明平面PBC内的直线BC，垂直平面PAC内的两条相交直线PA、AC即可解答：证明：连接AC AB是圆O的直径ACB=90即BCAC 又PA圆O所在平面，且BC在这个平面内PABC 因此BC垂直于平面PAC中两条相交直线BC平面PACPBC所在平面与PAC所在平面垂直点评：本题考查直线与平面平行与垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题18（12分）当sin2x0，求不等式log0.5（x22x15）log0.5（x+13）的解集考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域；一元二次不等式的解法 专题：计算题分析：由sin2x0得到x取值范围；再接对数不等式，又得到x取值范围，最后将得到的这2个范围取交集即得原不等式的解集解答：解：满足sin2x0 的x取值范围是 ，（1）而由log0.5（x22x15）log0.5（x+13），得解得：4x3，5x7，（5）由（1）、（5）可知所求解集为（，3）（2，7）点评：本题考查对数函数的定义域，对数函数的单调性与特殊点，及一元二次不等式的解法19（10分）如图，在平面直角坐标系中，在y轴的正半轴（坐标原点除外）上给定两点A、B试在x轴的正半轴（坐标原点除外）上求点C，使ACB取得最大值考点：基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切函数 专题：计算题；函数思想分析：首先题目给定y轴的正半轴上的两点A、B，求x轴的正半轴上点C，使ACB取得最大值故可以设A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），C的坐标为（x，0）记BCA=，OCB=，然后根据三角形角的关系，求出tan的值再根据基本不等式求出其最大值，因为在内tan是增函数，即所得的角为最大角解答：解：设点A的坐标为（0，a）、点B的坐标为（0，b），0ba，又设所求点C的坐标为（x，0）记BCA=，OCB=，则OCA=+显然，现在有tan=tg（+）=记，那么，当时，y取得最小值2因此，当时，tan取得最大值因为在内tan是增函数，所以当时，ACB取最大值故所求点C的坐标为（，0）故答案为（，0）点评：此题主要考查基本不等式在求最值问题中的应用，题中涉及到两角和与差的正切函数，有一定的技巧性，属于中档题目20（10分）已知集合A和集合B各含有12个元素，AB含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C的个数：（1）CAB且C中含有3个元素，（2）CA（表示空集）考点：子集与交集、并集运算的转换 分析：集合韦恩图求出AB中元素的个数，再利用排列组合知识求解即可解答：解：因为A、B各含12个元素，AB含有4个元素，因此AB元素的个数是12+124=20故满足题目条件（1）的集合的个数是C203，在上面集合中，还满足AC=的集合C的个数是C83因此，所求集合C的个数是C203C83=1084点评：本题考查集合中元素的个数、子集个数以及排列组合知识，难度不大21（12分）过点M（1，0）的直线L1与抛物线y2=4x交于P1、P2两点记：线段P1P2的中点为P；过点P和这个抛物线的焦点F的直线为L2；L1的斜率为k试把直线L2的斜率与直线L1的斜率之比表示为k的函数，并指出这个函数的定义域、单调区间，同时说明在每一单调区间上它是增函数还是减函数考点：抛物线的简单性质 专题：综合题分析：先设直线L1的方程是y=k（x+1），然后与抛物线方程联立消去y，得到两根之和、两根之积，将直线L1与该抛物线有两个交点转化为=（2k24）24k2k20且k0，进而可得到k的范围，设点P的坐标为，可以得到直线L1、直线L2的斜率，记，则可以得到，再由，可以得到，再分析单调性即可解答：解：由已知条件可知，直线L1的方程是y=k（x+1）把代入抛物线方程y2=4x，整理后得到k2x2+（2k24）x+k2=0因此，直线L1与该抛物线有两个交点的充要条件是：（2k24）24k2k20及k0解出与得到k（1，0）（0，1）现设点P的坐标为，则直线L1的斜率，而直线L2的斜率，记，则今记L1与抛物线的两个交点P1与P2的横坐标分别为x1和x2，由韦达定理及得，由此得到，定义域是（1，0）（0，1）显然，1k2在（1，0）内递增，在（0，1）内递减所以，在（0，1）内为增函数，在（1，0）内为减函数点评：本题主