混沌理论浅说

混沌理论浅说,-非线性科学泉州一中物理组李春阳,一、混沌理论的提出,-由线性科学到非线性科学,线性科学：,线性是指量与量之间的正比关系；在直角坐标系里，这是用一根直线表征的关系。例如：,t,1、线性科学的成就,由于人的认识的发展总是从简单事物开始的，所以在科学发展的早期，首先从线性关系来认识自然事物，较多地研究了事物间的线性相互作用，这是很自然的。例如：经典物理学中，首先考察的是没有摩擦的理想摆，没有粘滞性的理想流体，温度梯度很小的热流等；数学家们首先研究的是线性函数、线性方程等。理论家们在对大自然中的许多现象进行探索时，总是力求在忽略非线性因素的前提下建立起线性模型，至少是力求对非线性模型做线性化处理，用线性模型近似或局部地代替非线性原型，或者借助于对线性过程的微小扰动来讨论非线性效应。经过长期的发展，在经典科学中就铸造出一套处理线性问题的行之有效的方法，例如傅立叶变换、拉普拉斯变换、传递函数、回归技术等；就是设计物理实验，也主要是做那些可以做线性分析的实验。从这个特点看来，经典科学实质上是线性科学。线性科学在理论研究和实际应用上都有十分光辉的进展，在自然科学和工程技术领域，对线性系统的研究都取得了很大的成绩。,2、线性科学的局限,线性科学的长期发展，也形成了一种扭曲的认识或“科学思想”，认为线性系统才是客观世界中的常规现象和本质特征，才有普遍规律，才能建立一般原理和普适方法；而非线性系统只是例外的病态现象和非本质特征，没有普遍的规律，只能作为对线性系统的扰动或采取特殊的方法做个别处理。由此得出结论说，线性系统才是科学探索的基本对象，线性问题才存在理论体系；所以经典科学的长期发展，都是封闭在线性现象的圈子里进行的。,3、线性科学和非线性科学的差异,线性与非线性物理现象有着质的差异和不同的特征。1、从结构上看，线性系统的基本特征是可叠加性或可还原性，部分之和等于整体，几个因素对系统联合作用的总效应，等于各个因素单独作用效应的加和；因而描述线性系统的方程遵从叠加原理，即方程的不同解加起来仍然是方程的解；分割、求和、取极限等数学操作，都是处理线性问题的有效方法；非线性则指整体不等于部分之和，叠加原理失效。从运动形式上看，线性现象一般表现为时空中的平滑运动，可以用性能良好的函数表示，是连续的，可微的。而非线性现象则表现为从规则运动向不规则运动的转化和跃变，带有明显的间断性、突变性。2、从系统对扰动和参量变化的响应来看，线性系统的响应是平缓光滑的，成比例变化；而非线性系统在一些关节点上，参量的微小变化往往导致运动形式质的变化，出现与外界激励有本质区别的行为，发生空间规整性有序结构的形成和维持。正是非线性作用，才形成了物质世界的无限多样性、丰富性、曲折性、奇异性、复杂性、多变性和演化性。,二、混沌理论浅说,-无序中的有序,1、蝴蝶效应,内容：,1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀，有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬了。“蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的敏感依赖性。,横过深谷的吊桥，常从一根细线拴个小石头开始！,经典动力学的传统观点认为：系统的长期行为对初始条件是不敏感的，即初始条件的微小变化对未来状态所造成的差别也是很微小的。可混沌理论向传统观点提出了挑战。混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大，对其未来状态会造成极其巨大的差别。,一则西方寓言：,丢失一个钉子，坏了一只蹄铁；,坏了一只蹄铁，折了一匹战马；,马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化，但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领域中的所谓“蝴蝶效应”。,折了一匹战马，伤了一位骑士；,输了一场战斗，亡了一个帝国。,伤了一位骑士，输了一场战斗；,2、蝴蝶效应与混沌学,1960年，美国麻省理工学院教授洛伦兹研究“长期天气预报”问题时，在计算机上用一组简化模型模拟天气的演变。他原本的意图是利用计算机的高速运算来提高技期天气预报的准确性。但是，事与愿违，多次计算表明，初始条件的极微小差异，均会导致计算结果的很大不同。由于气候变化是十分复杂的，所以在预测天气时，输入的初始条件不可能包含所有的影响因素（通常的简化方法是忽略次要因素，保留主要因素），而那些被忽略的次要因素却可能对预报结果产生重大影响，导致错误的结论。由此，洛伦兹认定，尽管拥有高速计算机和精确的测量数据（温度、风速、气压等），也难以获得准确的长期天气预报。,3、什么是混沌呢？,它的原意是指无序和混乱的状态（混沌译自英文Chaos）。这些表面上看起来无规律、不可预测的现象，实际上有它自己的规律。混沌学的任务：就是寻求混沌现象的规律，加以处理和应用。60年代混沌学的研究热悄然兴起，渗透到物理学、化学、生物学、生态学、力学、气象学、经济学、社会学等诸多领域，成为一门新兴学科。科学家给混沌下的定义是：混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象。牛顿确定性理论能够充美处理的多为线性系统，而线性系统大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程技术问题中，混沌是无处不在的！,4、混沌的特征,1、对初始条件的敏感依赖性。,3、混沌的内部存在着超载的有序。,2、极为有限的可预测性。,1）、对初始条件的敏感依赖性,这是混沌系统的典型特征。意思是说，初始条件的微小差别在最后的现象中产生极大的差别，或者说，起初小的误差引起灾难性后果。洛伦兹在他的玩具天气模型中发现了这一特性。在生活中，人们知道一串事件往往具有一个临界点，那里小小的变化会放大，例如，人行道上摆满自行车，导致行人走上车行道，又导致一次车祸，又导致交通中断几小时，又导致一连串的误事。然而混沌意味着这种临界点比比皆是。它们无孔不入，无时不在。在天气这样的系统中，对初始条件的敏感依赖性乃是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的后果，因此，洛伦兹断言：长期预报注定要失败。信息从小尺度传向大尺度，把初始的随机性放大。在社会经济活动中，某些因素可促使成千上万个业主一夜之间改变策略，从而导致经济形势的巨变，我们至少从1997年东南亚金融危机中感到了这一点。,2）、极为有限的可预测性,当系统进入混沌过程后，系统或表现为整体的不可预言，或表现为局部的不可预言。混沌研究者们在自然界和社会中发现了大量混沌现象，如湍流中的旋涡，闪电的分支路径，流行病的消胀、股市的升降、心脏的纤颤、精神病行为、城镇空间分布及规模与数量等级等等。信息论认为，信息是对事物不确定性的一种量度。信息量大，消除不确定性的程度就大。我们拥有的关于某物的信息越多，对该事物的预测就会更准确。但是，当系统变得混沌以后，它成了一架产生信息的机器，成了连续的信息源，收集更多的信息变得毫无意义。那么信息是从哪里来的呢？以湍流为例，物理学家认为，来自微观尺度的热库，来自几十亿在随机热力学舞动中的分子。再以城市经济运动为例，信息来自成千上万个有决策权的业主的生产行为，来自千百万个消费者的消费行为，来自系统之外的环境的变化。,3）、混沌的内部存在着超载的有序,混沌内部的有序是指混沌内部有结构，而且在不同层次上其结构具有相似性，即所谓的自相似性。混沌内部的有序还表现为不同系统之间跨尺度的相似性，即所谓普适性。费根鲍姆通过两种完全不同的反馈函数Xt+1=rXt(1-Xt)和Xt+1=rsinXt的迭代计算，即取一个数作输入，产生另一个数作输出，再将前次的输出作输入，如此反复迭代计算。当r值较小时，结果趋向一个定数，当r超过某值时，其轨迹出现分岔。值得注意的是前一个函数是生物种群变化的逻辑斯蒂方程，r值加大表示非线性程度加大，当非线性加大到一定程度后，来年的种群数变得无法预测。,5、混沌学的意义,混沌的发现和混沌学的建立，同相对论和量子论一样，是对牛顿确定性经典理论的重大突破，为人类观察物质世界打开了一个新的窗口。所以，许多科学家认为，20世纪物理学永放光芒的三件事是：相对论、量子论和混沌学的创立。,6、身边的混沌现象（1）,1.当您的妈妈对这您大叫：“你的房间简直一片混沌（混乱）！”她的话可能正确，但是她一定不会知道：混沌里蕴含着秩序。那些乱七八糟的书籍、五颜六色的果皮糖纸、臭气熏天的袜子里都隐藏着一种秩序，只是等待您的发现。2.美国有句言语“一根稻草能压死一头骆驼”，这是蝴蝶效应的最好体现。小的事情往往能产生让人难以预料的结果。但是，永远是这样的吗？不是！如果放在骆驼脊背的那根稻草是第一根稻草，不但不会压死骆驼的脊背，可能还会为骆驼送上一份美餐。同样的道理，并不是只要北京蝴蝶拍动一下翅膀，就真的能够引起纽约的一场风暴。,身边的混沌现象（2）,3.当您去海边游玩的时候，您可曾想到过您是否能测出海岸线的长度？其实，您永远也测不出它的长度，因为它是分形的。您使用的度量尺寸却精确，那么得出的结果就越长。4.一个正常人的心跳是呈混沌的，越混沌的话，您的心脏越健康。5.混沌理论已经被用来决定为孩子种植麻疹疫苗的最佳时间。,身边的混沌现象（3）,6.人口动力学中指出：在动物种群，如果数量上不存在混沌或者变异，那么，这个种群必将灭亡。7.冥王星的运行轨道不规则，因为太阳系中存在着的混沌。8.一大群人的行为是可以预测的，因为最前面的领路人影响极为重要。这就象群飞的大雁。,身边的混沌现象（4）,9.学习音乐演奏是一件非常艰辛的事情，需要反复地练习。开始演奏一首曲子时可能一塌糊涂，但是，不断练习就能产生美好的结果，这是一个较好的反馈循环，最终，有序从混沌中产生，优美的音乐从您的手指间流出。10.流行是观察自相似特性的一个很好的例子，身边的朋友们穿着相同的衣服，留着相同的发型，甚至使用相同颜色的指甲油。如果流行是一种分形的话，那么，是什么样的混沌过程产生了这样的分形呢？,图1耗散系统（能量不守恒的有摩擦的系统）中的混沌,1963年美国气象学家洛仑兹在大气科学杂志上发表确定性非周期流“一文，给出第一个耗散混沌的实例。左为洛仑兹方程组数值解在XOZ平面上的投影，右为数值解在YOZ平面上的投影。在计算机屏幕上演示数值解，只要不人为干预，轨道会永远运动下去。,图2保守系统（能量守恒的无摩擦系统）中的混沌,相空间中有多级椭圆点和双曲点，在椭圆点附近有周期小岛，小岛中又有复杂结构，层层嵌套。左上图为参数取0.8时,右上图为参数取1.5时,下图为参数取1.0时的情况。随着参数的增加（相当对非线性增强），混沌区越来越大。在这里，混沌区与规则区交织在一起，相互渗透，本图为PC机绘制。,几种混沌图片（1）,几种混沌图片（2）,几种混沌图片（3）,几种混沌图片（4）,混沌的应用,1、混沌与经济学2、混沌与艺术3、混沌与学习,1、混沌与经济学-温州炒楼风,温州炒楼风的肆意蔓延，少不掉一个炒楼故事的推波助澜：“1999年，温州人余先生以每平方米2700元的价格在杭州城西买下28套商品房，当该楼盘全部售完时，房价已升到每平方米近5000元，余先生将手上的房子卖出，平均每套房子净赚了20多万元”。此故事曾经无数次出现在报纸、网络、电视、书籍上，甚至是导游小姐的口中，最终演变成了一个炒楼神话。,【温州炒楼风的扇动条件】,第一，该区域的人均GDP已经接近或突破了四千美元，已经悄悄进入了城市房地产市场发展的高速增长期。第二，该区域的房价在当时多数仍徘徊在每平方米两千元左右（上海、杭州稍高），有较大的上浮空间。其中杭州市中心房价从四五千元，炒至上万元，而上海市中心从七八千元炒至一万五六以上，平均房价升幅每年达25%以上。第三，温州是中国最著名的民营经济区，造就了成千上万的百万富翁乃至亿万富翁，据专业人士估计，按人均三万元闲钱，就达2000亿以上；而劳动密集型的产业经济存在发展瓶颈，因此大量民间游资急需寻找出路。第四，苏杭两市为历史闻名的人间天堂，而上海蓬勃发展的经济正在成为亚洲新的龙头，因此，都具有极大的区域竞争优势，有条件吸引大量国内和海外的购房者，可以说是中国最广泛的一个消费者来源区。外来购房者巨大的购买力，在一定程度上成为了“炒楼风”的帮凶。第五，制度上的漏洞。炒楼花在深圳早已被限制，但在沪、苏、杭一带，早期交几千元定金就可以订个房号（后期最多就是二、三成首期），然后价格上涨时抛出套利。后期上海、杭州、南京等地虽然出台各种“禁炒令”，但已经属亡羊补牢。然而，在不具备潜在力量的“风暴区域”，温州人的翅膀就无法“兴风作浪”，比如深圳：供求基本平衡、十年来房价基本维持在每平方米五千多元，相邻年份的涨跌幅度从未超过每平方米300元、市民的房价收入比基本控制在六比一左右、超过九成的自住需求等。一年来，转战其他不具备“潜在风暴力量”的城市，温州购房团总是雷声大雨点小，从未掀起大的风暴。,【温州炒楼风的警示】,第一、炒楼风是一种蝴蝶效应（混沌现象），是一种改变房地产市场初始条件的行为，而房地产市场秩序和价格的稳定性对这种行为极为敏感，所以，严密控制房地产炒家的投机行为，把炒家的投机行为消灭在萌芽状态，是防止出现价格泡沫最重要的手段。第二、要分清“投机”和“投资”的不同，能够引发蝴蝶效应的，一般只是投机行为，但广泛地说，投机只是投资中的一种“短、平、快”方式（多数时间只有几个月至两年），各地政府要严格控制的，也正是这种“短、平、快”的投机行为，而对中长期的投资方式，应该是非常欢迎的，因此，不能对温州购房团一概而论，关键是要完善“游戏规则”。第三、房地产市场和股票市场一样容易产生价格操纵行为（极易产生蝴蝶效应），“炒房团”所带来的虚假繁荣对地产业相当危险，因此，那种期望“炒房者”刺激本地经济增长，无异于饮鸩止渴。,2、混沌与艺术,一位画家帕洛克的创作,是艺术，还是混沌？,混沌与碎形,曼德布洛在196070年代研究复杂性时，发展出碎形几何学。他称之为碎形乃源自拉丁字“fractus”，意在彰显这些形状的破碎与不规则。碎形会展现自相似性。这也就是说，无论如何放大它们，都长得很相似；一个结构的一小部份，看起来就像整体一样。自相似性有两种形式：精确的与统计的。假树显示的图案，在不同放大尺度下都精确重复（下图左栏）。真树的图案则不会精确重复，只有统计上的重复（下图右栏）。几乎所有自然界的图案都遵守统计上的自相似性，帕洛克的绘画亦然。,暴风夜的启示,在一个3月份的暴风夜里，处于醉醺醺、有自杀倾向状态下的帕洛克（JacksonPollock），为他的艺术杰作蓝杆：1952年11号作品（下图）打下了重要的基础。暴风中的谷仓里，他把一块大画布横展在地板上，然后用旧罐子中的油漆沿着一根木棍滴洒在画布（210CM*486.8CM）上。,我关注的是大自然的韵律-正是帕洛克说过的名言,这种原始画风，究竟是艺术天赋的表现，还是只不过是一位醉汉在嘲弄艺术传统？,疑问：,碎形图案的一个重要特征是碎形维度（以下简称D），它可用来量化图案在不同放大尺度之下，所显示出来的比例关系。对于欧氏空间中的形体，维度是简单的概念，由我们熟悉的整数所描述。对于一条平滑的线条（不含碎形结构），其D值是1，而一个填满的区域，其D值则是2。不过对于一个碎形图案，重复的结构会使得曲线也可以占据一个面积，此时它的D值就会落在1和2之间，而当这个重复结构的复杂度与丰富度增加时，它的数值就会往2趋近。这些要怎么应用到帕洛克的绘画上？为了找出答案，人们利用计算机对他画布上的图案做定量分析。,结果：,把帕洛克的绘画扫描进计算机里（详见下节），这是研究的第一步，接着利用计算机产生的方形网格盖在画上。借着分析哪些方格里有油彩，哪些没有，我们可以算出这些图案的统计性质。接着把方格的尺寸变小，就相当于在更小的尺度观看这些图案。我们分析中所检视的图案，尺寸由小至一个油彩的小斑点，大到约一公尺都有。令人惊讶的是，这些图案是碎形，而且不管在任何尺度范围内，它们全都是碎形，其中最大的图案比最小的大1000倍以上。原来早在人们发现自然界碎形的25年前，帕洛克就已经画着碎形了。,分析帕洛克的技巧,计算机辅助分析显示，帕洛克用一种小心发展出来的技巧，将油彩一层一层涂上去，从而形成一个绵密网状的碎形。帕洛克在作画时偶尔会接受拍照（黑白照片。图中为帕洛克与他的妻子克莱斯娜，这是一：1950年第31号作品作画时的情景。）,对秋韵的分析（1950年第30号作品，油画，266.7x525.8公分。）,秋韵中黑色色层的细部结构,分析哪些方格里有油彩（蓝色），哪些没有（白色），我们可以算出这些图案的统计性质。接着把方格的尺寸变小（下图），就相当于在更小的尺度观看这些图案。我们发现这些图案在所有尺度内，都是碎形。,以编年的方式研究帕洛克画作，我们发现碎形图案的维度D，也随着他的技巧精进而增加。其中一个D值显然是个特例，1950年的秋韵D值高达1.9。,D值的变化对于绘画的外观有极深的影响。D值低的碎形，重复的图案会造成一个平滑、稀疏的图像。但如果D值接近2，则重复的图案会造出错综复杂而充满细致结构的东西。（见连续图）,伟大的作品,3、混沌与学习-学习的混沌法则,“初始的微小差异可能引起巨大的结果变化”-混沌动力学,混沌与学习的关系,说起学习与混沌学有密切关系，很多人可能觉得摸不着头脑。实际上，学习活动无论从微观尺度(例如，一次思考)到宏观尺度（例如，学校教育）都有混沌的潜规则在发挥作用，这些作用甚至可能完全改变一个人的终身轨迹，可能会有巨大的成功，也可能会陷入不可避免的怪圈中。“不积跬步，无以至千里”“勿以善小而不为，勿以恶小而为之”,微小变化引起巨大的结果差异,实验：当我们在2岁的时候，可能在不同的氛围中造成了一些词汇量的差异，这种差异也许很小，只有150个。但是这种小差异会在15岁的时候放大为10年的差距。最高的程度可以达到大学二年级的认知能力，而最低可能只有5-6年级的水平，中间水平可能分别于两个极端相差4-6年的程度。实验说明，本来微小的差别可能在随着时间不断放大，而且并非以固定的线性方式增加，最终会不断放大到显著的差距程度。也就是说，这些微小的差异可能完全导致两个人的人生轨迹产生巨大的反差。,图示：,哥伦布的船队,人生发展轨迹如同航海旅行一样，当年哥伦布船队中有三艘船分别从西班牙出发，如果一开始出发时他们之间只有三度差别，结果会怎么样呢？其中一艘可能会到达格陵兰岛，另一艘可能会到达海地，而第三艘会远到阿根廷。这正是微小初始差异在轨迹上造成的不同。,初始值的重要性：,在混沌学的理论中，我们知道“初始条件”是非常重要的。上面的实验已经显示了这一点。在2岁时只有150个词汇的差别会在后来产生巨大的不同。改变这些轨迹的努力需要有一个持续的累积过程。或许在以前的学习中我们忽视了许多，那么现在我们应当怎么做呢？,大脑的混沌规律,人类的大脑是最复杂的物体，近十年来的神经生理学的研究已经让人们更多地认识了大脑。虽然在细节的工作机制上仍然需要不断探索，但是我们毕竟已经可以将很多成果应用到学习理论的分析中。除了我们从前所提到的可塑性和阶段性，大脑中神经元的工作机理也逐步清晰：一些比较底层的神经元（是指执行最基本任务的神经元）从它的数千个树突上获得外界的信号，然后这些神经元的任务就是做出评判。,这个过程为什么说是混沌的呢？,因为头脑中的大量信息处理过程本身是不确定的一个过程，每一个选择都几乎是大量神经元独立判断选择后的一个汇总结果。即使在完全没有干扰的情况下，任何人也很难在两次表达一个类似的意思时，应用完全相同的句子。这也正说明了大脑中的每次思考和决策都是不确定的。同样的道理，很多创新的过程也与头脑中的混沌过程密不可分。当人们苦思冥想的时候并不一定产生创造，但是却往往在某些信息无意识地进入头脑的时候出发灵感，产生令人兴奋的发明。当我们学习的时候，实际上是重新让这些神经元建立对知识的新结构模型，而如果很快地让这些模型重新应用起来，则必然有助于达到学习效果。大脑的活动在某些层面看是无序的，但是却很明显，一个高级生命体的生存离不开这样的无序。只有在微观层次的无序，才会获得有序的智能学习、判断和决策。,学习的混沌法则,社会越来越复杂，多样性越来越明显，个性化越来越突出，国际化越来越普及，而同时