8.6二元函数的极值ppt课件

2020/6/12,1,一、二元函数的极值,二、条件极值与拉格朗日乘数法,第六节二元函数的极值,2020/6/12,2,实例：某工厂生产两种产品1与2，出售单位分别为10元与9元，生产x单位的产品1与生产y单位的产品2的总费用是,求两种产品各生产多少，工厂可以取得最大利润,求最大利润即为求二元函数的最大值.,I、问题的提出,2020/6/12,3,一.二元函数的极值,定义1,设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义，,如果对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)都有,(或)，,极大值和极小值统称为极值.,则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极大值(或极小值).,2020/6/12,4,设函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)的偏导数,极大值点和极小值点统称为极值点.,称为极大值点(或极小值点)，,使函数取得极大值的点(或极小值的点)(x0,y0)，,定理1(极值存在的必要条件),且在点P0处有极值，,则在该点的偏导数必为零，,即,存在，,2020/6/12,5,仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.,驻点,极值点,Problem：如何判定一个驻点是否为极值点？,注意,在点(0,0)有极大值,(0,0)不是驻点,2020/6/12,6,设P0(x0,y0)是函数z=f(x,y)的驻点，,且函数在点P0的某个邻域内二阶偏导数连续，,定理2(极值存在的充分条件),令,则，(1)当P0且A0时，,不是极值；,2020/6/12,8,(1)先求偏导数,(2)解方程组,求出驻点；,(3)确定驻点处,据此判断出极值点，,并求出极值.,若函数z=f(x,y)的二阶偏导数连续，,就可以按照下列步骤求该函数的极值：,2020/6/12,9,例1,求函数的极值.,解,(1)求偏导数,(2)解方程组,得驻点(0,0)及(2,2).,2020/6/12,10,(3)列表判断极值点.,驻点(x0,y0),(0,0),(2,2),结论,极大值f(0,0)=1,f(2,2)不是极值,A,4,B,2,2,C,+,2020/6/12,11,例2.,求函数,解:第一步求驻点.,得驻点:(1,0),(1,2),(3,0),(3,2).,第二步判别.,(1)在点(1,0)处,为极小值;,解方程组,的极值.,求二阶偏导数,机动目录上页下页返回结束,2020/6/12,12,(3)在点(3,0)处,不是极值;,(4)在点(3,2)处,为极大值.,(2)在点(1,2)处,不是极值;,机动目录上页下页返回结束,2020/6/12,13,二、最大、最小值应用问题(Applications),最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且只有一个极值点P时,为极小值,为最小值,(大),(大),机动目录上页下页返回结束,2020/6/12,14,例3：某工厂生产两种产品1与2，出售单位分别为10元与9元，生产x单位的产品1与生产y单位的产品2的总费用是,求两种产品各生产多少，工厂可以取得最大利润,2020/6/12,15,2020/6/12,16,例4.,解:设水箱长,宽分别为x,ym,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省.,机动目录上页下页返回结束,2020/6/12,17,实例：小王有200元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买张磁盘，盒录音磁带达到最佳效果，效果函数为设每张磁盘8元，每盒磁带10元，问他如何分配这200元以达到最佳效果,问题的实质：求在条件下的极值点,三、条件极值拉格朗日乘数法,2020/6/12,18,条件极值(ConditionalMaximumandMinimumValues),极值问题,无条件极值:,条件极值:,条件极值的求法:,方法1代入法.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,机动目录上页下页返回结束,2020/6/12,19,第一步：引入辅助函数,如求二元函数,下的极值,第二步：解方程组,在条件,得驻点.,机动目录上页下页返回结束,第三步：判别是否为极值,方法2拉格朗日乘数法(LagrangeMultipliers).,2020/6/12,20,Extension,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点.,例如,求函数,下的极值.,在条件,机动目录上页下页返回结束,2020/6/12,21,例6.,要设计一个容量为2单位,则问题为求x,y,令,解方程组,解:设x,y,z分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小.,z使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,机动目录上页下页返回结束,2020/6/12,22,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为相等时，所用材料最省.,因此,当高,机动目录上页下页返回结束,2020/6/12,23,2020/6/12,24,2020/6/12,25,Conclusions,1.函数的极值问题,第一步利用必要条件在定义域内找驻点.,即解方程组,第二步利用充分条件判别驻点是否为极值点.,2.函数的条件极值问题,(1)简单问题用代入法,如对二元函数,(2)一般问题用拉格朗日乘数法,机动目录上页下页返回结束,2020/