克莱姆法则课后习题.ppt

1,引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除外都为零，那末这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即,定理(Laplace展开定理)行列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和.,D=,D=,2,关于代数余子式,还有下列定理,行列式的任一行(列)的所有元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之各等于零.,或,即,(ij),3,机动目录上页下页返回结束,关于代数余子式的重要性质,4,4克莱姆法则,二、重要定理,三、小结思考题,一、克莱姆法则,5,机动目录上页下页返回结束,设线性方程组,则称此方程组为,非齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,非齐次与齐次线性方程组的概念,6,(克莱姆法则)设n个变量n个方程的线性方程组为,定理1,如果系数行列式,则方程组(4.1)有唯一解,且解可表示为,7,其中Di(i=1,2,n)是用常数项b1,b2,bn代替D中第i列各元素而得到的n阶行列式,即,i=(1,2,n),8,机动目录上页下页返回结束,证明,在把个方程依次相加，得,9,机动目录上页下页返回结束,由代数余子式的性质可知,于是,当时,方程组有唯一的一个解,10,克莱姆法则可叙述为：,11,在方程组(4.1)中,若b1=b2=bn=0,即,为齐次线性方程组，而(4.1)称为非齐次的线性方程组.显然x1=x2=xn=0是(4.2)的解(零解).,(4.2),12,关于齐次方程组(4.2)还有下列结论：,13,故,14,机动目录上页下页返回结束,例2.用克莱姆法则解方程组,解,15,机动目录上页下页返回结束,16,机动目录上页下页返回结束,17,例3问为何值时，齐次线性方程组,有非零解?,分析,如果齐次线性方程组有非零解，则系数行列式D=0。,由D=0,不难验证：将2，5，8代入齐次线性方程组确有非零解,18,19,20,.,解一：,利用行列式的性质使得行列式中零尽量的多,21,解二：,行（列）和相等,22,23,24,5（4）,25,按某行（列）展开后，行列式的结构不发生变化（递推）,26,5计算n(n2)阶行列式,解：设行列式为D，则,27,解:将其直接按第一列展开,得,计算n阶行列式,6.,28,解:,(i2),计算n阶行列式,7.,29,第一章行列式习题课,30,机动目录上页下页返回结束,31,机动目录上页下页返回结束,把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）,个不同的元素的所有排列的种数用表示，且,一、全排列,32,机动目录上页下页返回结束,逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列,在一个排列中，若数，则称这两个数组成一个逆序,一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数,二、逆序数,33,机动目录上页下页返回结束,定义,在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，称为一次对换将相邻两个元素对调，叫做相邻对换,定理,一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性,推论,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,三、对换,34,机动目录上页下页返回结束,四、n阶行列式的定义,35,机动目录上页下页返回结束,行列式的三种表示方法,注,36,机动目录上页下页返回结束,五、n阶行列式的性质,37,机动目录上页下页返回结束,38,机动目录上页下页返回结束,1)余子式与代数余子式,六、行列式按行（列）展开,39,机动目录上页下页返回结束,2)关于代数余子式的重要性质,40,机动目录上页下页返回结束,七、克莱姆法则,41,机动目录上页下页返回结束,克莱姆法则的理论价值,定理,定理,42,机动目录上页下页返回结束,定理