届高考理科数学专题 坐标系与参数方程复习课程.ppt

选修4-4坐标系与参数方程,【理科数学】选修4-4：坐标系与参数方程,考情精解读,A考点帮知识全通关,目录CONTENTS,考纲解读,命题规律,命题分析预测,考点1坐标系考点2参数方程,考法1极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化考法2极坐标方程的应用考法3参数方程与普通方程的互化考法4参数方程的应用考法5极坐标方程与参数方程的综合应用,B考法帮题型全突破,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考情精解读,考纲解读命题规律命题分析预测,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,1.理解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.能在极坐标系中用极坐标表示点的位置,理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别,能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形的方程.4.了解参数方程,了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程.,考纲解读,命题规律,1.分析预测从近五年的考查情况来看,该选修主要考查极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化,参数方程与普通方程的互化,根据极坐标方程或参数方程求弦长、面积、最值等,其中利用直线参数方程中参数的几何意义求值,利用椭圆或圆的参数方程或点到直线的距离求最值是考查的重点,主要以解答题的形式出现,分值10分,难度中等.2.学科素养本讲主要考查考生的数学运算能力和转化与化归思想的应用.,命题分析预测,A考点帮知识全通关,考点1坐标系考点2参数方程,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考点1坐标系（重点）,1.平面直角坐标系中的伸缩变换设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:=(0),=(0)的作用下,点P(x,y)对应到点P(x,y),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系与点的极坐标如图所示,在平面内取一个定点O,叫作极点;自极点O引一条射线Ox,叫作极轴，再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆,时针方向),这样就建立了一个极坐标系.即极坐标系的四要素:极点、极轴、单位(长度单位、角度单位)以及正方向.设M是平面内一点,极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角,记为.有序数对(,)叫作点M的极坐标,记为M(,).一般地,不作特殊说明时,我们认为0,R.3.极坐标和直角坐标的互化(1)互化的前提:直角坐标系的原点与极点重合;x轴的正半轴与极轴重合;,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,在两种坐标系中取相同的长度单位.(2)互化公式:设M是平面内任一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(,),则极坐标与直角坐标的互化公式为=cos,=sin,可得2=2+2,tan=(0).,注意把直角坐标化为极坐标时,一定要明确点所在的象限(即极角的终边的位置)和极角的范围,以便正确求出极角,否则点的极坐标将不唯一.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,4.简单曲线的极坐标方程,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,续表,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考点2参数方程（重点）,1.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,将参数方程化为普通方程需消去参数.(2)如果知道变量x,y中的一个与参数t的关系,例如,x=f(t),把它代入普通方程,求出另一个变量与参数t的关系y=g(t),那么=(),=()就是曲线的参数方程.,注意(1)在参数方程与普通方程的互化中,一定要注意变量的范围以及转化的等价性.(2)普通方程化为参数方程,参数方程的形式不唯一,即如果选用的参数不同,那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,2.直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,B考法帮题型全突破,考法1极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化考法2极坐标方程的应用考法3参数方程与普通方程的互化考法4参数方程的应用考法5极坐标方程与参数方程的综合应用,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考法1极坐标(方程)与直角坐标(方程)的互化,考法指导1.极坐标与直角坐标互化的方法(1)将点的直角坐标(x,y)化为极坐标(,)时,运用公式=2+2,tan=(x0)即可.在0,2范围内,由tan=(x0)求时,要根据直角坐标的符号特征判断出点所在的象限.如果允许R,再根据终边相同的角的意义,表示为+2k(kZ)即可.(2)将点的极坐标(,)化为直角坐标(x,y)时,运用公式x=cos,y=sin即可.,直角坐标方程,极坐标方程,2.极坐标方程与直角坐标方程互化的方法,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,示例1(1)化圆的直角坐标方程x2+y2=r2(r0)为极坐标方程;(2)化曲线的极坐标方程=8sin为直角坐标方程.思路分析利用极坐标、直角坐标转换公式可以把直角坐标方程转化为极坐标方程,也可将极坐标方程转化成直角坐标方程.,解析(1)将x=cos,y=sin代入x2+y2=r2(r0),得2cos2+2sin2=r2,即=r.所以,以极点为圆心、r为半径的圆的极坐标方程为=r(00),点M的极坐标为(1,)(10).由题设知|OP|=,|OM|=1=4cos.由|OM|OP|=16得C2的极坐标方程为=4cos(0).因此C2的直角坐标方程为(x-2)2+y2=4(x0).(2)设点B的极坐标为(B,)(B0),由题设知|OA|=2,B=4cos,于是OAB的面积S=12|OA|BsinAOB=4cos|sin(-3)|,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,=2|sin(2-3)-32|2+3.当=-12时,S取得最大值2+3.所以OAB面积的最大值为2+3.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考法3参数方程与普通方程的互化,考法指导1.将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程时,需要根据参数方程的结构特征,选取适当的消参方法.常见的消参方法有代入消参法、加减消参法、平方消参法等,对于含三角函数的参数方程,常利用同角三角函数基本关系式消参,如sin2+cos2=1等;(2)将参数方程化为普通方程时,要注意参数的取值范围对普通方程中点的坐标的影响,注意两种方程的等价性,避免产生增解的情况.,2.将普通方程化为参数方程的方法只要适当选取参数t,确定x=f(t),再代入普通方程,求得y=g(t),即可化为参数方程=(),=().注意参数t的意义和取值范围.选取参数的原则:(1)曲线上任意一点的坐标与参数的关系比较明显且相对简单;(2)当参数取某一个值时,可以唯一确定x,y的值.一般地,与时间有关的问题,常取时间作为参数;与旋转有关的问题,常取旋转角作为参数.此外也常常用线段的长度,直线的倾斜角、斜率、截距等作为参数.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,示例3设直线l的参数方程为=3+cos,=4+sin(t为参数,为倾斜角),圆C的参数方程为=1+2cos,=1+2sin(为参数).(1)若直线l经过圆C的圆心,求直线l的斜率;(2)若直线l与圆C交于两个不同的点,求直线l的斜率的取值范围.思路分析(1)将直线l和圆C的参数方程化成普通方程,求出圆心坐标并代入直线方程即可求得直线l的斜率.(2)思路一是利用圆心到直线的距离小于半径即可求得直线l的斜率的取值范围;思路二是将直线的参数方程代入圆的普通方程,利用判别式大于0即可求得tan的取值范围,即斜率的取值范围.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,解析(1)由已知得直线l经过的定点是P(3,4),而圆C的圆心是C(1,-1),所以,当直线l经过圆C的圆心时,直线l的斜率为k=52.(2)解法一由圆C的参数方程=1+2cos,=1+2sin,得圆C的圆心是C(1,-1),半径为2.由直线l的参数方程=3+cos,=4+sin(t为参数,为倾斜角),得直线l的普通方程为y-4=k(x-3)(斜率存在),即kx-y+4-3k=0.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,当直线l与圆C交于两个不同的点时,圆心到直线的距离小于圆的半径,即|52|2+12120.即直线l的斜率的取值范围为(2120,+).解法二将圆C的参数方程=1+2cos,=1+2sin化成普通方程为(x-1)2+(y+1)2=4,将直线l的参数方程代入式,得t2+2(2cos+5sin)t+25=0.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,当直线l与圆C交于两个不同的点时,方程有两个不相等的实根,即=4(2cos+5sin)2-1000,即20sincos21cos2,两边同除以20cos2,得tan2120,即直线l的斜率的取值范围为(2120,+).,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考法4参数方程的应用,考法指导1.直线方程中参数t的几何意义的应用经过点P(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程为=0+cos,=0+sin(t为参数).若A,B为直线l上的两点,其对应的参数分别为t1,t2,线段AB的中点为M,点M所对应的参数为t0,则以下结论在解题中经常用到:(1)t0=1+22;(2)|PM|=|t0|=|1+22|;,(3)|AB|=|t2-t1|;(4)|PA|PB|=|t1t2|.注意在直线的参数方程中,参数t的系数的平方和为1时,t才有几何意义,其几何意义为:|t|是直线上任一点M(x,y)到M0(x0,y0)的距离,即|M0M|=|t|.2.求椭圆、双曲线等曲线上的点到直线的距离的最值时,往往通过参数方程引入三角函数,再借助三角函数的性质进行求解.掌握参数方程与普通方程互化的规律是求解此类问题的关键.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,示例4在平面直角坐标系中,以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,两种坐标系取相同的单位长度.已知曲线C:sin2=2acos(a0),过点P(-2,-4)的直线l的参数方程为=2+22,=4+22(t为参数).直线l与曲线C分别交于M,N两点.(1)求a的取值范围;(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求实数a的值.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,思路分析(1)由题意知曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a0),将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程,令0即可求得结果.(2)设交点M,N对应的参数分别为t1,t2,由参数方程中t1,t2的几何意义可得t1+t2=2(42+2a),t1t2=2(16+4a),然后由|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,可得|12|2=|t1t2|,代入求解即可.,解析(1)由题意可得曲线C的直角坐标方程为y2=2ax(a0),将直线l的参数方程x=-2+22t,y=-4+22t(t为参数)代入曲线C的直角坐标方程,得12t2-(42+2a)t+16+4a=0,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,因为直线l与曲线C交于M,N两点,所以0,即a0或a0,所以a的取值范围为(0,+).(2)设交点M,N对应的参数分别为t1,t2.则由(1)知t1+t2=2(42+2a),t1t2=2(16+4a),|PM|=|t1|,|PN|=|t2|,|MN|=|t1-t2|.(参数t的几何意义的应用)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,则|t1-t2|2=|t1t2|,解得a=1或a=-4(舍去),所以实数a的值为1.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,示例52017全国卷,22,10分理在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为=3cos,=sin(为参数),直线l的参数方程为=+4,=1(t为参数).(1)若a=-1,求C与l的交点坐标;(2)若C上的点到l的距离的最大值为17,求a.思路分析(1)将曲线C和直线l的参数方程均化为普通方程,联立得方程组求出交点坐标;(2)利用点到直线的距离公式得到关于a的方程,进而求出a的值.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,解析(1)曲线C的普通方程为29+y2=1.当a=-1时,直线l的普通方程为x+4y-3=0.由+43=0,29+2=1,解得=3,=0或=2125,=2425.从而C与l的交点坐标为(3,0),(-2125,2425).(2)直线l的普通方程为x+4y-a-4=0,故C上的点(3cos,sin)到l的距离为d=|3cos+4sin4|17=|5sin(+)4|17(其中满足sin=35,cos=45).,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,当a-4时,d的最大值为+917.(借助辅助角公式并讨论-a-4的符号,从而得出d的最大值,这是求解的关键)由题设得+917=17,所以a=8.当a-4时,d的最大值为+117.由题设得+117=17,所以a=-16.综上,a=8或a=-16.,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,考法5极坐标方程与参数方程的综合应用,考法指导转化与化归思想在参数方程、极坐标问题中的运用在对坐标系与参数方程的考查中,灵活地利用转化与化归思想可以使问题得到简捷的解答.例如,将题设条件中涉及的极坐标方程等价转化为直角坐标方程,然后在直角坐标系下对问题进行求解,充分体现了转化与化归的数学思想.,示例6已知椭圆C:=2cos=sin(为参数),A,B是椭圆C上的动点,且满足OAOB(O为坐标原点).以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点D的极坐标为(4,3).(1)求线段AD的中点M的轨迹E的普通方程;(2)利用椭圆C的极坐标方程证明1|2+1|2为定值,并求AOB面积的最大值.思路分析(1)利用参数法求出轨迹E的参数方程,再化为普通方程即可;(2)求出椭圆C的极坐标方程,由题设条件设出A,B两点的极坐标,代入椭圆C的极,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,坐标方程即可证明1|2+1|2为定值,利用极坐标建立关于AOB面积的函数解析式,从而求出AOB面积的最大值.解析(1)点D的直角坐标为(2,23).由题意可设点A的坐标为(2cos,sin),则AD的中点M的坐标为(1+cos,3+12sin),所以点M的轨迹E的参数方程为=1+cos,=3+12sin(为参数),消去可得E的,理科数学选修4-4：坐标系与参数方程,普通方程为(x-1)2+4(y-3)2=1.(2)椭圆C的普通方程为24+y2