线性代数 课件.ppt

第一章行列式,行列式是为了求解线性方程组而引入的，但在线性代数和其它数学领域以及工程技术中，行列式是一个很重要的工具。本章主要介绍行列式的定义、性质及其计算方法。,一、二阶行列式与三阶行列式,注：该定义称之为对角线法则。,1.全排列：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（简称排列）。2.逆序：对于n个不同的元素，先规定各元素之间的一个标准次序（如n个不同的自然数，可规定由小到大）于是在这n个元素的任一排列中，当某两个元素的先后次序与标准次序不同时，就称这两个元素构成了一个逆序。,二、全排列与逆序数,3.逆序数：一个排列中所有逆序的总和称之为这个排列的逆序数。4.奇排列与偶排列：逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。5.计算排列逆序数的方法：不妨设n个元素为1至n这n个自然数，并规定由小到大为标准次序。设p1p2pn为这n个自然数的一个排列，考虑元素pi(i=1,2,n)，如果比pi大的且排在pi前面的元素有i个，就说,pi这个元素的逆序数是i，即：(p1p2pn)=1+2+n就是这个排列的逆序数。,例1求排列13(2n1)24(2n)的逆序数。解：在该排列中，1(2n1)中每个奇数的逆序数全为0，2的逆序数为(n1)，4的逆序数为(n2),，(2n2)的逆境序数为1，2n的逆序数为0，于是该排列的逆序数为,例2在19构成的排列中,求j、k，使排列1274j56k9为偶排列解：由题可知，j、k的取值范围为3，8当j=3、k=8时，经计算可知，排列127435689的逆序数为5，即为奇排列当j=8、k=3时，经计算可知，排列127485639的逆序数为10，即为偶排列j=8，k=3,例3设排列p1p2p3pn的逆序数为k，求pnp3p2p1的逆序数（p1p2p3pn是1n的某一排列）解：排列p1p2p3pn与排列pnp3p2p1的逆序数之和等于1n这n个数中任取两个数的组合数即：,设有n2个数，排成n行n列的数表作出表中位于不同行不同列的n个元素的乘积，并冠以符号(-1)，得形如的项，其中p1p2pn为自然数1、2、n的一个,一、定义,排列，为这个排列的逆序数。由于这样的排列共有n!个，因而形如(1)式的项共有n!项。所有这n!项的代数和,其中p1p2pn是1n的任一排列，是排列p1p2pn的逆序数，即=(p1p2pn)。,二、几个特殊的行列式,1.在排列中，将任意两个元素对调位置，其余元素不动，这种作出新排列的过程叫做对换。将相邻两元素对换，称为相邻对换。定理1:对换一个排列中的任意两个元素，排列改变奇偶性。证明：该定理的证明可分为两步来证。第一步来证明相邻对换的情况,第二步证明一般情况。,三、对换与排列奇偶性的关系,由此可见，相邻对换将改变排列的奇偶性。再证一般情况，设：,把(1)作n+1次相邻对换得(2)，把(2)再作n次相邻对换可得(3)，即共作了2n+1次相邻对换由(1)而得到(3)。由前可知，作一次相邻对换，排列的奇偶性改变一次，故由(1)到(3)排列的奇偶性就改变了2n+1次，即由原来的奇排列就变成了偶排列或由原来的偶排列变成了奇排列。,定理2：n元排列共有n!个，其中奇、偶排列的个数相等，各有n!/2个。定理3：任意一个n元排列都可以经过一些对换变成自然排列，并且所作对换的个数与这个排列有相同的奇偶性。,四、行列式的等价定义,五、关于等价定义的说明,这就表明，对换乘积项中两元素的位置，从而行标排列与列标排列同时做了相应的对换，但行标排列与列标排列的逆序数之和的奇偶性并不改变。,定理4,例5写出四阶行列式中含有因子的项。,例6若为四阶行列式的项，试确定i与k，使前两项带正号，后一项带负号。,在利用行列式性质(1)进行行列式计算时，基本的思路是把行列式化成三角行列式，当然在化的过程中也要兼顾其它性质的应用。,在n阶行列式中，把元素aij所在的第i行第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素aij余子式，记作Mij；记Aij=(-1)i+jMij，Aij叫做元素aij的代数余子式。,一、余子式与代数余子式,二、k阶子式及其余子式和代数余子式,在n阶行列式D中任选k行k列，位于这k行k列的交叉点处的k2个元素按原来的位置组成的k阶行列式M叫做D的一个k阶子式。在D中划去M所在的行与列，剩下的元素按原来的位置组成的n-k子式N叫做M的余子式。设M所在的行数与列数依次为i1i2ik，j1j2jk，M的余子式N乘以叫做M的代数余子式。,M是D的一个2阶子式，N是M的一个余子式，A是M的一个代数余子式,证明：,证明：,一、线性方程组,二、克莱姆法则,定理1：方程组(1)一定有解，且解是唯一的充要条件是线性方程组(1)的系数行列式D0。定理2：如果线性方程组(1)无解或有两个不同的解，则它的系数行列式必等于零，