控制系统的计算机辅助分析和设计

控制系统的计算机辅助分析,广东工业大学自动化学院李明,系统仿真与MATLAB,稳定性分析,系统稳定性的重要性是系统特性研究中最重要的指标，是分析其他性能的前提如果系统不稳定，系统则不能直接应用，需要引入控制器使得系统稳定理论基础稳定性的数学定义是李雅普诺夫于1892年提出的，经典控制理论中的系统稳定实质是指李雅普诺夫意义下的渐近稳定。即受到扰动影响，控制系统将偏离平衡状态，如果扰动消除后，系统能够回复到原来的平衡状态，就称系统平衡状态是渐近稳定的。线性定常连续系统稳定的充要条件是：所有的闭环极点都位于复平面的左半部。线性定常离散控制系统稳定的充要条件是：所有的闭环极点均位于复平面上以坐标原点为圆心的单位圆以内。因此判断系统稳定性的最直接的方法是求出系统全部的闭环极点，根据闭环极点在复平面上的位置判别系统的稳定性,稳定性分析,稳定性分析方法p=eig(G)其中p返回线性定常系统的全部特征根，无论系统的模型G是传递函数、状态方程亦或是零极点模型。连续线性系统稳定的前提条件是全部特征根的实部均为负数pzmap(G)用图形的方式绘制出系统所有特征根在s-复平面上的位置。系统稳定的前提条件是系统的所有极点在s-复平面上均位于虚轴左侧pole(G),zero(G)已定义的系统G的极点和零点,稳定性分析,例5-1判断下面单位负反馈系统的稳定性num1=30;den1=0.5,1;G1=tf(num1,den1);%环节1的数学模型num2=0.2,0.4;den2=0.25,1,0;G2=tf(num2,den2);%环节2的数学模型G=G1*G2;%总系统开环传递函数GC=feedback(G,1);%总系统闭环传递函数pzmap(GC);%绘制零极点分布图p=eig(GC);%求取系统的闭环极点flag=find(real(p)0);%寻找p中闭环极点实部小于0的元素的位置m=length(flag);if(m0)disp(Thesystemisunstable);elsedisp(Thesystemisstable);end,线性系统的数字仿真,时域响应性能指标两个基本要求：对设定值输入的跟踪、对扰动输入的抑制三个衡量标准：跟踪和抑制过程的稳定性、快速性和准确性响应分析类型阶跃响应脉冲响应任意输入下的响应,线性系统的数字仿真,线性系统的阶跃响应指标稳态值：系统在时间很大时的系统输出极限值超调量：系统的峰值与稳态值之间的差距上升时间：阶跃响应从稳态值的10%到90%所需的时间调节时间：阶跃响应进入稳态值附近一个带(2%或者5%)后不再出来所需要的时间,线性系统的数字仿真,阶跃响应的实现阶跃响应函数step()step(G)%自动绘制阶跃响应曲线，不返回变量y,t=step(G)%自动选择时间变量，进行阶跃响应分析y,t=step(G,tf)%设置系统的终止响应时间tf进行阶跃响应分析y=step(G,t)%自定义时间向量t，进行阶跃响应分析step(G1,r-*,G2,b-o)%同时绘制多个系统的阶跃响应曲线在MATLAB自动绘制的阶跃响应曲线中，点击鼠标右键会弹出一个菜单，选择Characteristic菜单项，可以用于分析系统的响应峰值、超调量、上升时间、调节时间、稳态值等常用的指标脉冲响应的实现脉冲响应函数impulse(),线性系统的数字仿真,例5-2典型二阶系统的传递函数为，其中为无阻尼振荡频率，是阻尼系数。要求绘制当，分别为2、4、6、8、10时系统的单位阶跃响应曲线。kexi=0.5;s=tf(s);forw=2:2:10G=w2/(s2+2*kexi*w*s+w2);step(G);holdon;endlegend(w=2,w=4,w=6,w=8,w=10);holdoff;,线性系统的数字仿真,例5-3绘制下述二阶状态空间空间的阶跃响应曲线A=-0.5572-0.7814;0.78140;B=1-1;02;C=1.96916.4493;G=ss(A,B,C,0);step(G);,线性系统的数字仿真,例5-4已知控制系统传递函数为，分别利用脉冲响应函数法和拉普拉斯法绘制系统的脉冲响应曲线拉普拉斯法，即求(s)的逆变换symss;y=ilaplace(1*(25/(s2+2*s+25)%laplace逆变换y=(25*6(1/2)*sin(2*6(1/2)*t)/(12*exp(t)t=0:0.01:5;y=-25/96*(-96)(1/2)*(exp(-1+1/2*(-96)(1/2)*t)-exp(-1-1/2*(-96)(1/2)*t);plot(t,y,r-o);holdon;num=25;den=1225;g=tf(num,den);impulse(g);legend(ilaplace,impulse);holdoff;,线性系统的数字仿真,任意输入下系统的响应情况一当输入信号的Laplace变换R(s)可以表示成为有理函数的形式，则输出信号可以写成Y(s)=G(s)R(s)，这样系统的时域响应可以由Y(s)的脉冲响应函数impulse()直接绘制出来情况二当输入信号由其他数学函数描述，或者输入信号的数学模型未知，则需要调用lsim(G,u,t)来绘制系统响应曲线。其中G为系统模型，u和t用于描述输入信号，u中的点对应于各个时间点处的输入信号的值，若研究多变量系统，则u应当是一个矩阵，每一列对应一个变量，各行对应于t向量各个时刻的各路输入的值,线性系统的数字仿真,例5-4对二阶系统，绘制周期为4s的方波输出响应u,t=gensig(square,4,10,0.1);H=tf(251,123);tf(1-1,115)lsim(H,u,t);,线性系统的数字仿真,例5-5已知单位反馈控制系统,输入为u(t)，输出为y(t)，系统的开环传递函数为，求系统的闭环传递函数。在同一个坐标系中绘制输入信号为u1(t)=1+0.2sin(4t)和u2(t)=0.3t+0.3sin(5t)时，系统的时域响应曲线y1(t)和y2(t)g_openloop=tf(25,140);g_cloop=feedback(g,1);printsys(num,den);t=0:0.01:5;u1=1+0.2*sin(4*t);u2=0.3*t+0.3*sin(5*t);y1=lsim(num,den,u1,t);y2=lsim(num,den,u2,t);plot(t,y1,t,y2);legend(y1,y2);,系统的根轨迹分析,根轨迹方法概述闭环系统瞬态响应的基本性能由闭环极点在s平面上的分布确定，闭环极点就是特征方程的根1948年，Evans提出了确定系统特征方程根的根轨迹法，它是一种表示特征方程的根与某一参数的全部数值关系的图解方法，它是根据系统的开环零极点分布，用作图的方法简便地确定闭环系统的特征根与系统参数的关系，进而对系统的特性进行定性分析和定量计算所谓根轨迹就是系统的某个参数连续变化时，闭环特征根在复平面上画出的轨迹，如果这个参数是开环增益，在根轨迹上就可以根据已知的开环增益找到相应的闭环特征根，也可以根据期望的闭环特征根确定开环增益,系统根轨迹分析,根轨迹方程如图所示的反馈控制系统，我们假定，前向通道传递函数为G(s)，反馈通道传递函数为H(s)，系统开环传递函数为G(s)H(s)，系统闭环传递函数为G(s)/1+G(s)H(s)，系统闭环特征方程的根满足1+G(s)H(s)=0，即：上式即系统的根轨迹方程，其中K*是系统根轨迹增益，与系统开环增益K(前向通道增益)成正比；zj和pi分别是开环传递函数的零点和极点根轨迹在上面的叙述框架下就是在K*连续变化的过程中绘制系统零极点分布变化的情况,系统的根轨迹分析,MATLAB根轨迹绘制函数rlocus(sys)绘制开环SISO模型sys随增益k变化的的根轨迹图，系统将自动生成增益向量k。例如下面三种情况下，系统的开环传递函数分别为：sys=Gsys=CGsys=GFrlocus(sys,k)根据用户指定的增益向量k绘制根轨迹r=rlocus(sys,k)不在屏幕上直接绘出系统的根轨迹图，而根据开环增益变化矢量k，返回闭环系统特征方程1k*sys=0的根r，它有length(k)行，每行对应某个k值时的所有闭环极点。或者同时返回k与r。r,k=rlocus(sys)系统自动生成开环增益向量k，并且计算相应的根r,系统根轨迹分析,例5-6已知单位反馈系统开环传递函数，求K*从0变化时，系统闭环根轨迹。系统闭环特征方程：s2+8s+K*=0当K*从0到无穷变化时，两根在根平面上的轨迹是两条连续曲线，即系统闭环根轨迹，绘制该根轨迹的MATLAB指令为：num=1;den=180;G=tf(num,den);rlocus(G),系统根轨迹分析,系统根轨迹提供的信息：(1)K*从0变化，根轨迹不会进入右半平面。即：无论如何该系统是稳定的；(2)K*16，根轨迹进入复平面。即：此时系统阶跃响应会振荡(d不为零）；K*越大振荡越厉害(小)、振荡频率越高(d大)(3)K*=16时系统阶跃响应临界振荡,系统根轨迹分析,例5-7设一单位反馈控制系统开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹。num=1;den=conv(13,122)0;g=tf(num,den);rlocus(g);,系统根轨迹分析,计算给定一组根的根增益k,p=rlocfind(sys)本函数允许用户求取根轨迹上指定点的开环根轨迹增益值，并将该增益下所有的闭环极点显示出来。当这个函数启动起来之后，在图形窗口上出现要求用户使用鼠标定位的提示，这时用户用鼠标点击根轨迹上所要求的点后，将返回一个k值,同时返回该k值下的所有闭环极点p的值，并将此闭环极点直接在根轨道曲线上显示出来。,系统根轨迹分析,例5-8单位反馈系统开环传递函数为，试绘制系统闭环的根轨迹图，并在根轨迹图上任选一点，输出该点的增益K*并计算相应的极点。num=1;den=conv(0.51,41)0;G=tf(num,den);rlocus(G);r=rlocfind(G);Selectapointinthegraphicswindowselected_point=0.9265+2.6242irr=62.9211,系统根轨迹分析,参数根轨迹前面讨论系统根轨迹的绘制方法时，都是以开环增益K为可变参数，这是在实际上最常见的情况。上述以开环增益K为可变参量绘制的根轨迹称为常规根轨迹。从理论上讲，可变参量可以选择为系统的任何参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等，这种以K以外的系统其他参量作为可变参量绘制的根轨迹，称作参数根轨迹，又称广义根轨迹。用参数根轨迹可以分析系统中的各种参数，如开环零、极点，时间常数和反馈系数等对于系统性能的影响如果选择系统其他参量为可变参量时，引入等效传递函数的概念，即作一个变换，使得此可变参量在等效传递函数中相当于开环增益K的位置，将特征方程化为与常规根轨迹特征方程类似的形式。上述变换的方法是对系统的特征方程作一个除法，即以特征方程中不含有该参数项的各项去除该方程，便可得到1+G(s)=0的形式，那么G(s)就是要引入的等效传递函数，因为此时两个系统的的闭环特征方程相同，即根轨迹相同,系统根轨迹分析,例5-9设反馈系统如图所示，试绘制以a为参变量的根轨迹开环传递函数：，特征方程：两边除以不含a的项，即，可得于是等效开环传递函数，问题转化成为绘制G(s)随参数a变化的根轨迹。,系统频域分析,频域分析的概念常用的一种利用频率特性对控制系统性能进行分析的方法分析方法1932年，Nyquist提出了一种频域响应的绘图方法，并提出了可以用于系统稳定性分析的Nyquist定理Bode提出了另一种频率响应的分析方法，同时可以分析系统的幅值相位与频率之间的关系，称为Bode图Nichols在Bode图的基础之上又进行了重新定义，构成了Nichols图单变量系统的频域分析对于系统的传递函数模型G(s)而言，如果用j取代复变量s，则可以将G(j)看成是增益，这个增益是复数量，是的函数。描述这个复数变量有几种方法，根据表示方法的不同。就可以构造出不同的频域响应曲线,系统频域分析-Nyquist图,分析方法如果将复数分解为实部和虚部，它们分别是频率的函数，有称为实频特性；称为虚频特性。如果用横轴表示实数，纵轴表示虚数，当从-连续变化至+时，G(j)向量的端点在复平面上连续变化形成的轨迹即为极坐标频率特性曲线，即分别求出ImG(j)和ReG(j)，以ReG(j)为横坐标，以ImG(j)为纵坐标，可以将增益G(j)在复数平面上表示出来，这样的曲线称为Nyquist曲线，又称为幅相特性图。Nyquist图以频率为参变量，以复平面上的向量表示G(j)的频率特性。该图可用于分析系统稳定性和一些性能。,系统频域分析-Nyquist图,函数nyquist()%绘制Nyquist图nyquist(G,wm,wM)%在给定的频率范围内绘制Nyquist图nyquist(G,w)%给定频率向量绘制Nyquist图R,I,w=nyquist(G)%计算Nyquist响应数值nyquist(G1,-,G2,-.b,)%绘制几个系统的Nyquist图用户可以单击Nyquist图上的点，显示该点处增益和频率之间的关系，改写的Grid命令可以在Nyquist图上叠印出等M圆,系统频域分析-Bode图,分析方法复数量G(j)可以分解成为幅值和相位的形式，即这样，以频率为横轴，幅值A()为纵轴，则可以构造出幅值和频率之间的关系曲线，称为幅频特性；若以为横轴，幅值()为纵轴，则可以构造出相位和频率之间的关系曲线，称为相频特性。于是Bode图是由对数幅频特性和对数相频特两条曲线组成，实质是用A()和()两个实变函数表示复变函数G(j)。在实际系统分析中，频率轴虽然以标注，却以lg进行线性分度。对数幅频特性的纵轴以M()=20lgA()线性分度且以M()标注，单位为分贝(dB)，对数相频特性曲线的纵轴以()线性分度，一般以度或弧度为单位。采用对数频率轴的优点是可以在有限的范围内扩大频率的表示范围。由于对数频率轴上=0的点在负无穷远处，故Bode图可以表示的频率变化范围是0+,系统频域分析-Bode图,函数bode()%绘制bode图bode(G,wm,wM)%在给定的频率范围内绘制bode图bode(G,w)%给定频率向量绘制bode图A,w=bode(G)%计算bode响应数值bode(G1,-,G2,-.b,)%绘制几个系统的bode图和Nyquist图不同的是，Bode图可以同时绘制出系统增益与频率之间的关系,系统频域分析-Nichols图,分析方法将Bode图中的对数幅频特性曲线和对数相频特性曲线合并得到的，分别以相位()和单位为dB的幅值M()作为横坐标和纵坐标，为参变量。通常表示的频率变化范围也是0+。函数用nichols()函数可以绘制系统的Nichols图，该函数的调