人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]-平面向量的数量积-提高

精心制作的文件都经过精心组织。人教版高中数学必修4整理知识点关键问题类型(经常测试知识点)巩固练习平面向量的量积学习目标1.理解平面向量乘积的意义和物理意义；2.理解平面向量的数积与向量投影的关系；3.掌握量的乘积的坐标表示，并会执行平面向量的量的乘积的计算；4.两个矢量之间的角度可以用量的乘积来表示，两个平面矢量之间的垂直关系可以用量的乘积来判断。要点排序第一点：平面向量数量的乘积1.平面向量量积(内积)的定义：如果我们知道两个非零向量的和，并且它们的夹角是，那么量的量的乘积叫做和，它被记录为，也就是说，有，并且与任何向量的量的乘积被指定为0。2.一个矢量在另一个矢量方向上的投影称为矢量在该方向上的投影。关键注释：1.两个向量的数乘积与实数乘积非常不同(1)两个向量的乘积是实数，不是向量。这个符号是由。(2)两个向量的数的乘积叫做内积，写为：将来，我们应该学习两个向量的外积，而不是两个向量的数的乘积。写作时我们应该严格区分它们。符号“”不是向量运算中的乘法符号，不能被省略或替换为“”。(3)实数，如果，然后；但是，在量的乘积中，如果、和不能推出，因为它可能是0。2.投影也是一个量，而不是一个向量；当它是锐角时，投影是正的。当它是钝角时，投影是负的；当它是直角时，投影为0；投影是当=0时；当=180时，投影为。点2:平面矢量积的几何意义长度的乘积，由数的乘积和方向上的投影的乘积表示，这是几何意义。该图显示了当两个矢量之间的夹角分别为锐角、钝角和直角时矢量在矢量方向上的投影，其含义是矢量在矢量方向上的投影是矢量的数量，即事实上，当它是一个锐角时，因为，因此；当它是钝角时，因为，因此；因此，在那个时候，由于这个时候和巧合；当时，由于，因此；当时，因为，因此。第三点：矢量积的性质设和为两个非零向量，它们是与和方向相同的单位向量。1.2.3.当在同一个方向；当与方向相反时。特殊或4.5.第四点：矢量积的计算法则1.交换法：2.数乘组合定律：3.分配法：关键注释：1.如果实数a、b和c已知(b 0)，则ab=BCA=c(b0；2.在实数中，有(ab)c=a(bc)，但是显然，这是因为左端是共线矢量，右端是共线矢量，通常共线。第五点：矢量积的坐标表示1.已知两个非零向量，2.集合、规则或3.如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(平面上两点之间的距离公式)。第6点：向量在几何中的应用(1)证明平行线段的充要条件，包括相似问题和公共向量平行性(共线性)(2)为了证明垂直问题，经常使用垂直的充要条件。(3)找出角度问题，利用(4)要查找线段的长度，可以使用或典型示例类型1:平面向量数积的运算例1。(1)给定|=4，|=5，矢量与is之间的角度，求；2；22；(23)(32)；(2)如果向量=0且|=3，|=1，|=4，要找到的值。(1)()2=，(23) (3-2)=6 | | 25-6 | | 2可以通过代入模和量的乘积得到。(2)()2=2 2 c2 2()，模数和量的乘积可以替换。答案 (1) 10 61-9-4 (2)-13(1) (1) (1) (1)。()2=|2 2 |2=61 .22=| | 2 | 2=-9 .(2 3)(32)=6|2 56|2=4 .(2)2=2 2 2 2()，。【总结与升华】(1)这类题目应转化为充分利用相关算法求量与模的乘积的问题，特别是(2)已知|=6是单位向量。当它们之间的夹角分别等于60、90和120时，得到该方向的正交投影，并进行描述。(1)(2)分辨率(1)cos=6，并且|=4，4|cos=6,。(2)方向上的投影是|cos。如上图所示，当=60时，方向上的正交投影数为| | cos60=3；当=90时，方向上的投影数为| | cos 90=0；当=120时，该方向的正向投影数为| | cos 120=-3。总结升华应该注意方向上的投影与方向上的投影不同。类型2:平面向量模的问题例3。给定|=|=4，向量与之间的角度为，求|，|。【思路指向】知道两个向量的模和夹角，用向量的模和夹角表示| |和|-|就可以先求和，再求平方。答案 4。分辨率因为2=|2=16，2=|2=16，,所以。欢迎同事。摘要升华关系2=|2可以转换向量的长度和向量的数积。因此，如果需要| |，可以找到() ()，并展开该表达式。从已知的|=|=4，我们可以得到=16，或者我们可以得到-8。通过代入上述值，我们可以得到公式的值。互相类比：平面向量的数积395485例4变体1已知，搜索。回答分析,同样，变型2已知的夹角为，等于()公元前5年4月3日1我不确定我是否能得到它。摘要升华通常使用涉及向量模块的问题。请注意，两边都是正方形是一种常见的方法。类型三：向量垂直(或角度)问题例4。(2015年上海月度测试)已知，(1)如果找到和之间的夹角；(2)如果和之间的夹角是60度，试着确定实数K，使之垂直。答案(1)；(2)分析(1)，,，和伊斯之间的角度。(2)，且夹角为60 ,且垂直，9k (1-k)34cos60-16=0，我能理解。互相类比：变型1和被称为两个不共线的单位向量，k是实数，如果方向垂直于向量k-，k=_ _ _ _ _ _。答案 1变型2被称为满足两者的两个非零向量之间的夹角。方法1:将两边打成正方形,那么，夹角是30。方法2:数字和形式的结合因为，如图所示那么，是一个等边三角形，延伸至c，使交流=交流，与的夹角是，很容易知道是30度。【总结与升华】注意两个向量夹角的共同起点，灵活运用两种方法寻找两个向量的夹角。平面向量的数积395485例5变体3被称为非零向量，验证：证据由，(1)类似地：(2)根据公式(1)和(2):例5。(1)已知量、和之间夹角的余弦满足=0，并且|=5，|=7，| | |=10；(2)已知|=2，|=3，并且具有60的夹角。如果与的夹角为锐角，则为实际数值的值范围。答案 (1)(2)分析 (1)已知自=0，=-，| |=|，()2=2，也就是说，2 2 2=2。然后。因此，和之间夹角的余弦值为。(2)从题目中可以获得意义。同样()()=2 (2 1) 2，与的夹角为锐角，2 (2 1) 20，2=|2=4，2=|2=9，=3，32 13 30，我能理解或者？但是当=1且共线时，它的夹角不是锐角。因此，值的范围是。【总结升华】(1)如果我们知道两个向量的模并想要它们的夹角，我们通常先计算它们的定量积，然后用向量的定量积的定义来计算它们的夹角。(2)求矢量的夹角范围可以转换成与零的关系来确定。应注意排除两个向量的共线性和同向性。因为两个向量之间的角度是0，不是锐角。如果两个向量之间的夹角是锐角，则量积大于零，而如果两个向量的量积大于零，则夹角不一定是锐角，也可能存在两个夹角为0的情况。互相类比：变型1对于两个非零向量，当| t|的值最小化时，求出T的值，并求出此时与T的夹角。答案 90分辨率 | t | 2=22 (2) t22=| | 22 () tT2 | | 2。当时，| tb|2得到最小值，即，| tb|得到最小值。这时，0(t)0， t。和t之间的角度是90度。总结和升华这个主题有很多字母。求| t|的最小值就是把它转换成t的二次函数的最大值。同时，也有必要用量的乘积来简化。类型4:平面矢量积的坐标表示和运算例6。(2017安徽模拟)已知向量。(1)如果，现实数x值；(2)取最小值时，求夹角的余弦值。(1)x的值可以通过首先求出矢量个数与矢量模的乘积，然后根据矢量的垂直度求出x的值来得到。(2)根据二次函数的性质，再根据矢量的角度公式，可以得到X的值。答案(1)；(2)(1)设置、，解决或当时，3(4x1)(23x)=0，我明白。当时，3(5x-2) 1=0，我能理解。(2)设置夹角根据，当时，然后，当时，取最小值，然后，当时，然后，当时，取最小值，然后，【总结与升华】矢量积坐标运算的关键是掌握量的乘积的坐标运算公式以及相关的模长和夹角公式。互相类比：【变式1】(2015湖南省衡阳县一个模型)被称为，是三个向量在同一个平面上，其中(1)如果，和，坐标；(2)如果垂直于，找出和之间的夹角。答案 (1)，或；(2)=(1)大约，是同一平面上的三个向量，其中，如果，和，可以设置，那么，可用=2、或。(2)并垂直于，可用的约简是， cos =-1，因此，夹角=。【总结与升华】矢量积坐标运算的关键是掌握量积的坐标运算公式以及相关的模长公式和夹角公式。在这个过程中，方程的思想应该被巧妙地运用。值得注意的是，对于向量标量积坐标运算的一些问题，有时考虑其几何意义可以使问题迅速得到解决。例7。在ABC，中，内角ABC为直角，求k值ABC中的哪个内角是直角还不清楚，所以有必要分类讨论，分类讨论时有必要分类清楚，不可忽视。分析(1)当A=90时，因此21 3k=0，即。(2)当B=90时，因此，2 (-1) 3 (k-3)=0，(3)当c=90时。来自(2)。So-1k (k-3)=0，k2-3k-1=0。因此，当或或时，ABC是一个直角三角形。摘要升华直角边形成的两个向量是相互垂直的，因此可以构造关于K的方程。互相类比：变体1已知=(1，1)，=(0，2)当K为值时，(1) k共线性；(2)k-与之间的角度为120。答案 (1)-1 (2)分辨率(1，1)，=(0，2)，k-=k (1，1)-0，2=(k，k2)。=(1，1) (0，- 2)=(1，- 1).(1)k-和共线， k2-(-k)=0。k=-1。(2)，(k-)=(k，k 2)(1，-1)=k-k-2=-2，k-与之间的角度为120 ,，那是。简化，整理出K2 2K-2=0，并得到解决方案。类型5:平面矢量积的综合应用例8。平面上有一个向量，点m是直线上的一个移动点(1)当取最小值时找到坐标；(2)当m点满足(1)的条件和结论时，计算cosAMB值。(1)如图所示，设置M(x，y)。然后，点m在线OP上，矢量且共线。同样， x1-y2=0，即x=2y。再说一遍，.同样。因此，=4y2-12y5y2-8y7=5y2-20y12从二次函数的知识，我们可以知道，在那个时候，有一个最小值-8，在这个时候。(2)当y=2时，,。【摘要升华】平面向量的共线关系、垂直或定量积关系，常常与函数、三角函数、解析几何中的直线、直线与曲线的位置关系等知识联系起来解