教材及例习题的有效利用(2009.2)

2009年2月,文府中学:张景波,教材及例习题的有效利用,新教材的特点之一是“具有基础性、丰富性和开放性”，即教学内容是基础而丰富的，呈现形式是丰富而开放的。因此，我们在备课时要认真挖掘教材的资源，力图呈现丰富多彩的感知材料，给不同层次的学生都留出一定的思维空间。在备课时充分利用教材，但不拘泥于教材。新教材虽然能够设计丰富、生动的情境，让学生在具体情境中学数学、用数学，但有时难免不合适宜。这就要求教师在备课时因地制宜，创造性的使用教材，更好的为学生学习服务。要明确教材只是一个载体，需要每一个学生和教师去挖掘，去创造。教学是一个再创造的过程，是对课程的不断发展，不断丰富的过程。,新教材的特点,新教材对初中课堂教学模式的影响：,课改前的课堂教学模式主要是“复习引入讲授巩固作业”，而初中课改后的教学则提倡采用“情境问题探究反思提高”的模式展开。,教师角色变化:教师由单纯的知识传递者转变为学生学习数学的组织者，引导者和合作者，注意给学生提供成果展示的机会，努力培养学生的“自主探索”、“合作交流”、“解决问题”等能力，提高学生学习数学的自信心。,学生最喜欢的课堂教学方式,86.7%的学生表示喜欢有较多的动手操作或亲身实践、讨论交流或自学等课堂教学方式，12%的学生喜欢以老师讲授为主的方式。,我们的教学要促进学生的学习行为的改善,着眼点：学科教学活动中渗透宏观和微观的学法指导着力点：常规学习中良好习惯的养成独立思考、善于发现、提出问题、创新意识和创新精神,标准提出了“经历（感受）、体验（体会）、探索”等过程性目标动词,教师在备课中，不要就教材“教”教材，而是要利用教材组织各种各样的活动，贴近学生的生活，根据学生的需要进行教学设计。,课例分析,努力方向:如何对教材进行有效重组加工激发兴趣，帮学生主动发展体验成功，让学生产生动力大胆探索，让学生学会质疑动手操作，培养学生创新精神,教材中例习题的使用,强调:回归教材，研究教材，深入挖掘例习题潜在的功能,体会“源于课本，而高于课本”的深刻含义,原则：将例习题进行适当的变式,变式时应以本章节内容为主，适当渗透一些数学思想和数学方法,勾股定理教材例习题变式,本章内容：,三边关系,直角三角形的判别,（形）,（数）,（形）,（数）,体验勾股定理的探索过程，会运用勾股定理解决简单问题；会用勾股定理的逆定理判定直角三角形。,新课程标准的要求：,勾股定理的逆定理,一、教材113页习题19.11.求出下列直角三角形中未知边的长度.,变式1.C=90，a=6,b=8,则c=_.,变式2.已知一直角三角形的两直角边比为34，斜边长为10，求这个三角形的面积？,变式3.已知一直角三角形的面积为24，两直角边比为34求这个三角形斜边长？,这类问题是勾股定理应用的较为重要的题型，问题的实质就是已知直角三角形两边，求第三边。通过变式帮助学生掌握问题实质，构建数学模型。,变式4.已知一直角三角形的两条边长分别为6和8，求第三边的长？,变式5.已知一直角三角形的两条边长分别为6和8，求这个三角形的面积？,变式6.等腰ABC的两边长为10和12,求底边上的高。,渗透分类讨论的思想。通过变式帮助学生掌握问题实质，构建数学模型。,如图19.1-5，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的顶端A沿墙下滑0.5m，那么梯子底端B也外移0.5m吗？,二、教材111页探究2,已知：AB=CD=3mAO=2.5mAC=0.5m求：BD的长。,如图19.1-5，一个3m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的底端B外移0.5m，那么梯子顶端A沿墙下滑多少米？,变式1：,如图19.1-5，一个梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5m，如果梯子的底端B外移0.5m，那么梯子顶端A沿墙下滑0.5m米，试求梯子的长？,变式2：,三、教材113页练习题2.如图，等边三角形的边长是6.（1）求高的长（精确到0.001）（2）求这个三角形的面积（精确到0.01）,变式2.等腰ABC的腰长为10cm,底边长为16cm，则底边上的高为_，面积为_。,变式1.等边三角形ABC的面积为，求这个三角形的边长？,变式3.等腰ABC的腰长为10cm,底边上的高为6cm，求ABC的面积。,等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线都能把等腰三角形分为两个全等的直角三角形.注意到这一点后，一些与等腰三角形有关的问题可以用勾股定理来解决。,变式4.等腰ABC的腰长为10cm,ABC的面积为48cm，求底边长。,某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里它们离开港口一个半小时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？,四、教材119例2,“远航”号、“海天”号轮船同时离开点P，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里它们离开点P一个半小时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？,变式1,某港口位于东西方向的海岸线上，,某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距多少海里？,变式2,某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距30海里，问“海天”号每小时航行多少海里？,变式3,某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，它们离开港口一个半小时后相距30海里如果知道“远航”号沿东北方向航行，“海天”号沿西北方向航行，“远航”号与“海天”号行驶的速度比为34，求“远航”号与“海天”号行驶的路程？,变式5,求“远航”号或“海天”号行驶的速度是多少？,变式4,1.如图，南北向MN为我国海界，MN以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私艇A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里，A、B两艇的距离是5海里；反走私艇B测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？,12,13,5,通过以上变式训练，学生易于解决其他类似习题：,2.两军舰同时从港口O出发执行任务，甲舰以30海里/小时的速度向西北方向航行，乙舰以40海里/小时的速度向西南方向航行，问1小时后两舰相距多远？,甲(A),乙(B),3.一艘轮船以20海里/小时的速度离开港口O向东北方向航行，另一艘轮船同时以22海里/小时的速度离开港口向东南方向航行，2小时后两船相距多远？,甲(A),乙(B),4.轮船A以24千米/时的速度离开港口向东北方向航行，轮船B同时离开港口以一定的速度向西北方向航行，它们离开港口2小时后测得两船的距离为52千米，求轮船B的速度是多少？,A,B,C,五、教材125页复习题19拓广探索8题已知圆柱的底面半径为6cm，高为10cm，蚂蚁从A点爬到B点的最短路程是多少（精确到0.1cm）？,C,变式1：有一木质圆柱形笔筒的高为h，底面半径为r，现要围绕笔筒的表面由A至C，（A,C在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是多少？,C,B,A,D,C,C,A,变式2：有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？,A,B,A,C,变式3：如果圆柱换成如图的棱长为10cm的正方体盒子，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？,C,变式4：如果盒子换成如图长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体，蚂蚁沿着表面需要爬行的最短路程又是多少呢？,A,C,F,G,H,D,如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为2m、0.3m、0.2m，A和B是台阶上两个相对的顶点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，问蚂蚁沿着台阶爬行到B点的最短路程是多少？,勾股定理在生活中的应用十分广泛，利用勾股定理解决问题，关键是找出问题中隐藏的直角三角形或自己构造合适的直角三角形。尝试把立体图形转换为平面图形。,例当m为何值时，函数y=(m+2)x+1-m是一次函数.,已知一次函数y=(m+2)x+1-m,变式训练,1变.当m为何值时,此函数为正比例函数；,2变.当m为何值时,y随x的增大而减小；,3变.直线y=(m+2)x+1-m与x轴的交点坐标为_,与y轴的交点坐标为_；,已知一次函数y=(m+2)x+1-m,变式训练,5变.当m为何值时,直线交x轴的正半轴；,4变.当m为何值时,直线交y轴的负半轴；,7变.当m为何值时,直线不过第四象限；,6变.当m为何值时,直线过第一、二、四象限；,m1或m1,mOB）点D自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止，同时点C自原点O出发沿x轴正方向匀速运动，过点C作CEOA交直线OA于点E，连结DE，点C、D运动速度均为每秒钟1个单位长度，设点C、D运动的时间为t（1）求点E的坐标（用含t的代数式表示）；,如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的斜边AB垂直y轴于点G，AOB=90，OA、OB的长是方程x-14x+48=0的根（OAOB）点D自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止，同时点C自原点O出发沿x轴正方向匀速运动，过点C作CEOA交直线OA于点E，连结DE，点C、D运动速度均为每秒钟1个单位长度，设点C、D运动的时间为t（2）在点C、D运动的过程中，设ADE的面积为s，请求出s与t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；,y,D,C,A,B,O,E,x,G,如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的斜边AB垂直y轴于点G，AOB=90，OA、OB的长是方程x-14x+48=0的根（OAOB）点D自点A出发沿线段AB匀速运动至点B停止，同时点C自原点O出发沿x轴正方向匀速运动，过点C作CEOA交直线OA于点E，连结DE，点C、D运动速度均为每秒钟1个单位长度，设点C、D运动的时间为t（3）当t=4时，在过点O、D的直线上是否存在一点F，过点F作FMOB交y轴于点M，使以点O、B、M、F为顶点的四边形为平行四边形若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由,y,D,C,A,B,O,E,x,G,P,P,PFM和GBO全等,(06青岛市)如图，有两个形状完全相同的直角三角形ABC和EFG叠放在一起（点A与点E重合），已知AC8cm，BC6cm，C90，EG4cm，EGF90，O是EFG斜边上的中点如图，若整个EFG从图的位置出发，以1cm/s的速度沿射线AB方向平移，在EFG平移的同时，点P从EFG的顶点G出发，以1cm/s的速度在直角边GF上向点F运动，当点P到达点F时，点P停止运动，EFG也随之停止平移设运动时间为x（s），FG的延长线交AC于H，四边形OAHP的面积为y（cm2)（1）当x为何值时，OPAC?（2）求y与x之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP面积与ABC面积的比为1324？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由,本题是比较常规的动态几何压轴题，第1小题运用相似形的知识容易解决，第2小题用相似三角形建立起函数解析式.第3小题利用面积列方程.,点动的同时面动,（05河南）如图1，RtPMN中，P90，PMPN，MN8cm，矩形ABCD的长和宽分别为8cm和2cm，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上令RtPMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1cm的速度移动（如图2），直到C点与N点重合为止设移动x秒后，矩形ABCD与PMN重叠部分的面积为y.求y与x之间的函数关系式,第3题图,图形运动过程中，重合部分的形状发生变化.,可分为下列三种情况,y=,y=,(MC+GD)DC=2x-2,y=,(MN+GH)DC-,CNCQ=,+12,重叠部分图形是RtMCE,重叠部分是直角梯形MCDG,重叠部分是五边形MCQHG,（改编题）直角坐标系中，RtABC和矩形ODEF位置如图所示，AC=5，BC=12，OD=8，OF=6，动点P从A点出发沿AB向终点B运动，RtABC从图的位置出发，沿x轴正方向运动点P和RtABC同时出发并同时停止，速度均为每秒1个单位，设从出发起运动了t秒求P点的坐标；(用含t的代数式表示)设t秒后RtABC和矩形ODEF重合部分的面积为S，试求S与t的函数关系式，并写出自变量t取值范围；连接DP，请你探索：当t为何值时，ADP是一个等腰三角形？,本题所考知识点主要有：点的坐标、勾股定理、相似、图形面积、函数关系、等腰三角形、三角形中位线、一次方程等数学思想：分类讨论、转化等,P（,基本图形,当AD=DP时,当AP=DP时,当AP=AD时,AP=t,AD=13-t,想法一,想法二,(1)求P点的坐标；(用含t的代数式表示),(1)求AD的长；(用含t的代数式表示),对一道习题适当的演变、引伸、拓广，不仅能提高学生的应变能力、探索能力，还能激发学生思维的广阔性、发散性。使学生从不同的角度去观察问题、思考问题，从而提高学生思维过程的整体性、严密性、培养学生的综合素质。教学中教师要深入细致地钻研课标，研究教材，深入挖掘习题潜在的功能，特别重视对课本例题和习题的“改装”或引申。数学的思想方法都隐藏在课本例题或习题中，我们在教学中要善于对这类习题进行必要的挖掘，即通过一个典型的例题，最大可能的覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，有利于知识的建构。,变式应遵循如下原则：1、针对性原则：习题变式教学，不同于习题课的教学，它惯穿于新授课、习题课和复习课，与新授课、习题课和复习课并存，一般情况下不单独成课。因此，对于不同的授课，习题的变式也应不同。在习题变式教学时，要根据教学目标和学生的学习现状，切忌随意性和盲目性。2、可行性原则：选择课本习题进行变式，不要“变”得过于简单，过于简单的变式题会让学生认为是简单的“重复劳动”，影响学生思维的质量；但难度“变”得太大的变式习题又容易挫伤学生的学习积极性，使学生难以获得成功的喜悦，长此以往，将使学生丧失自信心。因此，在选择课本习题进行变式时要变得有“度”。3、参与性原则：在习题变式教学中，教师要让学生主动参与，不要总是教师“变”，学生“练”。要鼓励学生大胆地“变”，培养学生的创新意识和创新精神。,对教师成长过程的认识：,结束语：,让我们从自己的学校和课堂做起，真正把学生和我们自己都看成“发展中的人”，把教师自己和学生的发展提高结合起来、用行动者、研究者、实践者眼光和身份的去学习、去探索、去实践。只有真善美的东西，才能打动学生；只有学生自己感悟的东西，才能内化成他们的自觉行动。只有教师用心做教育，才能摩擦出智慧的火花,结出创造之果，才能得到学生心的呼应。,谢谢各位,再见,在RtABC和RtCDE，AB=CD,AC=CE.求证：ACCE,问题2：在图2中，若FM=FD，图中除了ABCFDE外，还有其他的全等三角形吗？,FMCFDEEMNCDN,N,FMCABCAOMFOB,O,问题3:已知ABC中,BAC=90,AB=AC,D为直线AC上任一点,连接BD,过A点作BD的垂线,垂足为F,并与过C点且平行AB的直线CE交于点E.(1)若点D在边AC上时,如图1,求证:BD=AE;,A,B,C,E,F,图1,D,(2)若点D在AC的延长线上,如图2,(1)中的结论是否仍然成立?说明你的理由;,(3)当点D在CA的延长线上时,如图3,(1)中的结论是否仍然成立?说明你的理由;,ABDCAE(AAS),已知ABC中,BAC=90,AB=AC,D为直线AC上任一点,连接BD,过A点作BD的垂线,垂足为F,并与过C点且平行AB的直线CE交于点E.(1)若点D在边AC上时,如图1,求证:BD=AE;,(2)若点D在AC的延长线上,如图2,(1)中的结论是否仍然成立?说明你的理由;,E,ABDCAE(AAS),已知ABC中,BAC=90,AB=AC,D为直线AC上任一点,连接BD,过A点作BD的垂线,垂足为F,并与过C点且平行AB的直线CE交于点E.(1)若点D在边AC上时,如图1,求证:BD=AE;,(3)当点D在CA的延长线上时,如图3,(1)中的结论是否仍然成立?说明你的理由;,E,F,ABDCAE(AAS),问题4：连接AE，取中点M，连接BM、DM，是判断BMD的形状.,问题5：连接BE，取中点M，连接BM、DM、AF，试判断AMF的形状.,M,问题6：将ABC和CFE分别沿直线BC、CE翻折，连接BE，取中点M，连接MA、