典型的代数系统.ppt

1,14.3几个典型的代数系统,14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数,2,14.3几个典型的代数系统,14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数,3,半群与独异点的定义与实例半群与独异点的幂运算半群与独异点的子代数和积代数半群与独异点的同态,半群与独异点,4,半群与独异点的定义,定义14.12设V=是代数系统，为二元运算，如果运算是可结合的，则称V为半群.设V=是半群，若eS是关于运算的单位元，则称V是含幺半群，也叫做独异点.有时也将独异点V记作V=.,5,实例,例1(1),是半群，+是普通加法,其中除外都是独异点.(2)设n是大于1的正整数,和都是半群和独异点，其中+和分别表示矩阵加法和矩阵乘法.(3)，其中为集合的对称差运算.为半群，也是独异点.(4),其中Zn=0,1,n1，为模n加法.为半群，也是独异点.(5)其中为函数的复合运算.为半群，也是独异点.(6)其中R*为非零实数集合，运算定义如下：x,yR*,xy=y.为半群.,6,定义(1)在半群中，xS，规定：x1=x，xn+1=xnx,nZ+(2)在独异点中，xS，x0=e，xn+1=xnx，nN用数学归纳法不难证明x的幂遵从以下运算规则：xnxm=xn+m，(xn)m=xnm，在半群中m,nZ+，在独异点中m,nN，,半群与独异点的幂运算,7,半群与独异点的子代数,定义半群与独异点的子代数分别称为子半群与子独异点.判定方法：设V=是半群，TS，T非空，如果T对V中的运算封闭，则是V的子半群.设V=是独异点，TS，T非空，如果T对V中的运算封闭，而且eT，那么构成V的子独异点.,8,理由:是T的单位元，T本身可以构成独异点，但不是V2的子独异点，因为V2的单位元是e.,实例,例：设半群V1=，独异点V2=.其中为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,且,，则TS，且T是V1=的子半群，但不是子独异点。,9,半群与独异点的同态,定义14.13(1)设V1=，V2=是半群，f:S1S2.若对任意的x,yS1有f(xy)=f(x)f(y)则称f为半群V1到V2的同态映射，简称同态.(2)设V1=，V2=是独异点，f:S1S2.若对任意的x,yS1有f(xy)=f(x)f(y)且f(e1)=e2,则称f为独异点V1到V2的同态映射，简称同态.,10,实例,则f是半群V1=的自同态，但不是独异点V2=的自同态，因为f(e)e.,设半群V1=，独异点V2=.其中为矩阵乘法，e为2阶单位矩阵,且,令,11,14.3几个典型的代数系统,14.3.1半群与独异点14.3.2群14.3.3环与域14.3.4格与布尔代数,12,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,13,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,14,群的定义与实例,定义14.14设是代数系统，为二元运算.如果运算是可结合的，存在单位元eG，并且对G中的任何元素x都有x1G，则称G为群.实例,都是群；和不是群.是群，而不是群.是群，为对称差运算.，也是群.Zn=0,1,n1，为模n加.,15,Klein四元群,设G=e,a,b,c，G上的运算由下表给出，称为Klein四元群,运算表特征：对称性-运算可交换主对角线元素都是幺元-每个元素是自己的逆元a,b,c中任两个元素运算都等于第三个元素.,16,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,17,群中的术语,定义14.15(1)若群G是有穷集，则称G是有限群，否则为无限群.群G中的元素个数称为群G的阶，有限群G的阶记作|G|.(2)若群G中的二元运算是可交换的，则称G为交换群或阿贝尔(Abel)群.实例：(1)和是无限群(2)是有限群，也是n阶群(3)Klein四元群是4阶群(4)n阶(n2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法(1)(2)(3)都是交换群；(4)是非交换群.,【例】设是群，则是阿贝尔群的充要条件是对任意的a,bG,有(a*b)2=a2*b2。证明:(1)“”设是阿贝尔群，下证对任意的a,bG,有(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)。对任意的a,bG，有a*b=b*a，因此，(a*b)*(a*b)=a*(b*a)*b=a*(a*b)*b=(a*a)*(b*b)即(a*b)*(a*b)=(a*a)*(b*b)也就是(a*b)2=a2*b2，得证。,Abel群实例,(2)“”设对任意a,bG，有(a*b)2=a2*b2，下证是阿贝尔群。ab=e*(a*b)*e=(a1*a)*(a*b)*(b*b1)=a1(a(a*b)*b)*b1=a1*(a*a)*(b*b)*b1=a1(a*b)*(a*b)*b1=(a1a)*(b*a)*(b*b1)=e*(b*a)*e=b*a即得a*b=b*a，因此群是阿贝尔群。,Abel群实例,20,群中的术语(续),定义14.16设G是群，xG，nZ，则x的n次幂xn定义为,实例在中有23=?(21)3=13=111=0在中有(2)3=?23=2+2+2=6,21,定义14.17设G是群，xG，使得等式xk=e成立的最小正整数k称为x的阶（或周期），记作|x|=k，称x为k阶元.若不存在这样的正整数k，则称x为无限阶元.实例（1）在中，0,1,2,3,4,5分别是几阶元？2和4是3阶元，3是2阶元，1和5是6阶元0是1阶元（2）在中，整数集合中元素分别是几阶元？0是1阶元，其它整数的阶都不存在，都是无限阶元.,群中的术语(续),【例】求证：群中不可能有零元。证明：(1)当群的阶为1时，唯一元素为幺元。(2)设|G|1且假设群有零元。那么xG，都有x=x=e，所以，零元就不存在逆元，这与是群相矛盾。【思考】写出群中各元素的阶数。,群实例,23,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,24,群的性质-幂运算规则,定理14.3设G为群,则G中的幂运算满足：(1)xG，(x1)1=x.(2)x,yG，(xy)1=y1x1.(3)xG，xnxm=xn+m，n,mZ.(4)xG，(xn)m=xnm，n,mZ.(5)若G为交换群，则(xy)n=xnyn.证：(1)(x1)1是x1的逆元，x也是x1的逆元.根据逆元的唯一性，等式得证.(2)(y1x1)(xy)=y1(x1x)y=y1y=e,同理(xy)(y1x1)=e，故y1x1是xy的逆元.根据逆元的唯一性等式得证.,25,等式(5)只对交换群成立.如果G是非交换群，那么,群的性质-幂运算规则(续),说明：(3)(4)(5)的证明：用数学归纳法证明对于自然数n和m证等式为真，然后讨论n或m为负数的情况.(2)中的结果可以推广到有限多个元素的情况，即,26,群的性质-群方程存在唯一解,定理14.4G为群，a,bG，方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有唯一解.证：(1)存在性：a1b代入方程左边的x得a(a1b)=(aa1)b=eb=b所以a1b是该方程的解.(2)下面证明唯一性.假设c是方程ax=b的解，必有ac=b，从而有c=ec=(a1a)c=a1(ac)=a1b同理可证ba1是方程ya=b的唯一解.例设群G=，其中为对称差.群方程aX=，Ya,b=b的解X=a1=a=a，Y=ba,b1=ba,b=a,27,群的性质-消去律,定理14.5G为群，则G中适合消去律，即对任意a,b,cG有(1)若ab=ac，则b=c.(2)若ba=ca，则b=c.证(1)ab=aca1(ab)=a1(ac)(a1a)b=(a1a)cb=c(2)同理可证.例1设G=a1,a2,an是n阶群，令aiG=aiaj|j=1,2,n证明aiG=G.证:由群中运算的封闭性有aiGG.假设aiGG，即|aiG|的子群。证明：G,*是群，则G,*是半群，A,*是半群。以下证明A中有幺元e且A中每一个元素都有逆元。证明A中有幺元e。,子群判定定理(续),bA，因为运算*在A上封闭，所以b2=b*bAb3=b2*bA,由于A是有限集，所以必存在正整i和j，不妨设ij，使得bi=bj从而有bi=bi*bji和bi=bji*bi根据群中的消去律得bji=e，即bji是群G,*的幺元。且这个幺元也在G的非空子集A中。证明S中每一个元素都有逆元。如果ji1，那么bji=b*bji1和bji=bji1*b，即bji1是b的逆元，b1=bji1且bji1A。如果ji=1，b=bji，那么b是幺元。所以b1=b。,子群判定定理(续),解:作N6=0,1,2,3,4,5上模6加法6的运算表，如表1所示。取N6的子集S1=0,2,4和S2=0,3，它们的运算表是表2和表3。从表中可以看出,模6加法6在S1和S2上封闭。所以和是群的子群。,【例】求群的所有非平凡子群。,37,重要子群的实例,生成子群定义设G为群，aG，令H=ak|kZ，则H是G的子群，称为由a生成的子群，记作.证：首先由a知道.任取am,al，则am(al)1=amal=aml根据判定定理可知G.实例：(1)整数加群，由2生成的子群是=2k|kZ=2Z(2)群中，由2生成的子群=0,2,4(3)Klein四元群G=e,a,b,c的所有生成子群是：=e,=e,a,=e,b,=e,c.,38,群G的中心C：设G为群,C=a|aGxG(ax=xa)，则C是G的子群，称为G的中心.证:eC.C是G的非空子集.任取a,bC，只需证明ab1与G中所有的元素都可交换.xG，有(ab1)x=ab1x=ab1(x1)1=a(x1b)1=a(bx1)1=a(xb1)=(ax)b1=(xa)b1=x(ab1)由判定定理可知CG。得证。注明:(1)对于阿贝尔群G，G的中心就等于G.(2)对某些非交换群G，它的中心是e.,重要子群的实例(续),39,子群格,定义设G为群，令S=H|HG是G的所有子群的集合，定义S上的偏序，x,yS,xyxy，那么构成格，称为G的子群格.实例Klein四元群G和的子群格如下图所示,40,子群习题,1、设和都是群的子群。证明也是的子群。2、设E是所有偶数组成的集合，证明是的子群。3、设是群，和是的子群，令AB=a*b|aA,bB，BA=b*a|aA,bB则是的子群当且仅当AB=BA。,41,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,42,群同态的定义与分类,定义14.19设G1,G2是群，f:G1G2，若a,bG1都有f(ab)=f(a)f(b)则称f是群G1到G2的同态映射，简称同态.如果同态f为单射函数，则称为单同态;如果是满射函数，则称为满同态，记作G1G2;如果是双射函数，则称为同构，记作G1G2.,43,群同态的实例,例4(1)G1=是整数加群，G2=是模n的整数加群.令f:ZZn，f(x)=xmodn，f是G1到G2的满同态.x,yZf(x+y)=(x+y)modn=xmodnymodn=f(x)f(y)(2)设G=是模n整数加群，可以证明恰有n个G的自同态，即fp:ZnZn,fp(x)=(px)modn，p=0,1,n1(3)设G1,G2是群，e2是G2的单位元.f:G1G2，f(a)=e2，aG1.则f是G1到G2的同态，称为零同态.a,bG1有f(ab)=e2=e2e2=f(a)f(b)(4)G为群，aG.令f:GG,f(x)=axa1，xG则f是G的自同构，称为G的内自同构.,44,群同态的性质,【例】设f是群G1到G2的同态映射，则(1)f(e1)=e2,e1和e2分别是G1和G2的单位元(2)xG1，f(x1)=f(x)1(3)设HG1,则f(H)G2证明:(1)f(e1)f(e1)=f(e1e1)=f(e1)=f(e1)e2f(e1)=e2(2)f(x)f(x1)=f(xx1)=f(e1)=e2f(x-1)f(x)=f(x1x)=f(e1)=e2(3)e2f(H),f(H).a,bf(H),x,yH,使得f(x)=a,f(y)=bab1=f(x)f(y)1=f(xy1)xy1Hf(xy1)f(H)ab1f(H),45,例题,例5给出Klein四元群上所有的自同态解G=e,a,b,c，因为同态f满足f(e)=e，因此只可能有以下6个双射函数可能是同态映射:f1(a)=b,f1(b)=a,f1(c)=c;f2(a)=c,f2(b)=b,f2(c)=a;f3(a)=a,f3(b)=c,f3(c)=b;f4(a)=b,f4(b)=c,f4(c)=a;f5(a)=c,f5(b)=a,f5(c)=b;f6=IG，这六个函数都是双射，只需验证它们都是G上的同态映射.请自己验证。,46,例题,例6设G1=,G2=,证明不存在G1到G2的同态.证：假设存在G1到G2的同态f,那么f(1)=0.因此f(1)+f(1)=f(1)(1)=f(1)=0f(1)=0与f的双射性矛盾.,47,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,48,循环群的定义,定义14.20设G是群，若存在aG使得G=ak|kZ则称G是循环群，记作G=，称a为G的生成元.实例整数加群G=模6加群G=,49,循环群的分类,设循环群G=，根据生成元a的阶可以分成两类：n阶循环群和无限循环群.设G=是循环群，若a是n阶元，则G=a0=e,a1,a2,an1那么|G|=n，称G为n阶循环群.若a是无限阶元，则G=a0=e,a1,a2,这时称G为无限循环群.,50,循环群的生成元,定理14.9设G=是循环群.(1)若G是无限循环群，则G只有两个生成元，即a和a1.(2)若G是n阶循环群，则G含有(n)个生成元.对于任何小于n且与n互质的自然数r,ar是G的生成元.(n)为欧拉函数,表示0,1,n1中与n互素的整数个数.实例(18)=6，与18互素的正整数为1,5,7,11,13,17.,51,例7(1)设G=e,a,a11是12阶循环群，则(12)=4.小于或等于12且与12互素的数是1,5,7,11,由定理可知a,a5,a7和a11是G的生成元.(2)设G=是模9的整数加群，则(9)=6.小于9且与9互素的数是1,2,4,5,7,8.根据定理，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)设G=3Z=3z|zZ,G上的运算是普通加法.那么G只有两个生成元：3和3.,循环群的生成元(续),52,循环群的子群,定理14.10设G=是循环群，则(1)G的子群仍是循环群.(2)若G=是无限循环群，则G的子群除e以外都是无限循环群.(3)若G=是n阶循环群，则对n的每个正因子d，G恰好含有一个d阶子群.,53,例8(1)G=是无限循环群，对于自然数mN，1的m次幂是m，m生成的子群是mZ，mN.即=0=0Z=mz|zZ=mZ，m0(2)G=Z12是12阶循环群.12的正因子是1,2,3,4,6和12，因此G的子群是：1阶子群=02阶子群=0,63阶子群=0,4,84阶子群=0,3,6,96阶子群=0,2,4,6,8,1012阶子群=Z12,循环群的子群(续),54,循环群的实例,例9任何循环群必定是阿贝尔群。证明：设G,*是循环群，它的生成元是a，那么对于x,yG，必有r,sI，使得x=ar,y=as而x*y=ar*as=ar+s=as+r=as*ar=y*x因此G,*是阿贝尔群。,55,循环群的实例,例10设G,*是无限循环群，a是生成元，则a也是无限阶元素。证明：设a为有限阶元，|a|=n，令S=a,a2,an，an=e，amG，m=nqs，q,s是整数且0sn，am=anqs=(an)q*as=(e)q*as=e*as=asS，GS，矛盾。所以a是无限阶的。,56,循环群的实例,例11设G,*是循环群，a是生成元若H,*是G,*的子群。则H,*也是循环群。证明：(1)若H,*是G,*的平凡子群，则H=G或H=e，显然H,*是循环群。(2)若H,*不是G,*的平凡子群。由于H不空，akH，k0(即ake)，(ak)1H。从而H含有a的某些正整数次幂，令A=k|akHk1kI，则A不空，从而有最小者，设最小者为r。以下证明ar是子群H,*的生成元。amH，如果r不能整除m，则m=rqs，q是整数，0sr，am=arqs=(ar)q*as，as=(ar)q)1*amH，sA。但sr，这与r是A中最小者矛盾。此矛盾表明，amH，r能整除m，即am=arq=(ar)q，所以ar是子群H,*的生成元，H,*也是循环群。,57,群,群的定义与实例群中的术语群的性质子群的定义及判别群的同态与同构循环群置换群,58,n元置换的定义,定义14.21设S=1,2,n,S上的双射函数:SS称为S上的n元置换.一般将n元置换记为例如S=1,2,3,4,5,则都是5元置换.,59,n元置换的定义,由于是双射，(a1),(a2),(an)都是S的元素且互不相同。因此(a1),(a2),(an)必为a1,a2,an的一个排列。而a1,a2,an的排列总数是n个，因此集合S上的n元置换有n个。设S=a1,a2,an，集合S上的所有n元置换组成的集合记为Sn。,n元置换的实例,例12设S=1,2,3，试求集合S上的所有3元置换和S3解：S上的6个3元置换为：,61,k阶轮换与对换,定义14.23设是S=1,2,n上的n元置换.若(i1)=i2,(i2)=i3,(ik1)=ik,(ik)=i1且保持S中的其他元素不变，则称为S上的k阶轮换，记作(i1i2ik).若k=2，称为S上的对换.例如5元置换分别是4阶和2阶轮换=(1234),=(13),其中也叫做对换,62,例13设S=1,2,8,从中分解出来的第一个轮换式(15236)；第二个