研究生数值分析(12)高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法

，研究Jacobian迭代方法，我们逐个查找组件，计算时，组件仍然使用旧组件，计算。立即使用新组件，而不使用Jacobian迭代方法，因为新计算的组件比旧组件更准确。这是高斯-赛德尔迭代方法。2 Gauss-Seidel迭代方法，因此，如果存在新组件。高斯-赛德尔的迭代公式为：(5)，其矩阵表示为当前、显式、派生、命令、(称为高斯-塞德尔迭代矩阵)、高斯-塞德尔迭代方法的矩阵表示。左上端是系数矩阵a的对角线和对角线下一个元素乘以，然后确定新矩阵的决定因素。使用定理2确定高斯-赛德尔迭代公式是否收敛。高斯-赛德尔迭代矩阵(即需要考虑自下而上的特性方程)如下：因此，示例9使用高斯-赛德尔迭代方法求解方程，解决方案：相应的高斯-赛德尔迭代公式为，取迭代初始值，重复此迭代公式，结果。gauss-sydel迭代矩阵、特性表达式为：也就是说，它被解释。因此，高斯-赛德尔迭代公式是收敛的。首先介绍矩阵谱半径的概念。3迭代法收敛条件和误差估计，矩阵、所有特征值定义、模块的最大值称为矩阵a的频谱半径。也就是说，在前面使用Jacobian迭代方法和Gaussian-sadel迭代方法求解一阶线性方程时，计算Jacob和Gaussian-sedel迭代矩阵BG的特征值，以确定每个迭代公式是收敛还是发散。矩阵a的某些运算符标准(例如和)比矩阵a的特征值更容易计算，因此提供了以下结论：定理3矩阵a的谱半径不超过矩阵a的任何算子标准。也就是说，证明将设置为a的任意特征值，X是与的a对应的特征向量，即AX=X，(X0)立即由标准的性质得到。不超过X0，即a的所有特征值的模式。定理给出了一阶线性常数迭代法，收敛的充分条件。表明，如果迭代矩阵b的特定子，standard，小于1，则立即迭代过程可以判断为给定。在示例8示例9中，分别使用Jacobian迭代方法和Gaussian-sadel迭代方法求解方程，初始向量必须收敛AX=b方程的唯一解，Jacobian迭代矩阵，Gaussian迭代矩阵，Jacobian迭代过程。高斯-赛德尔迭代过程也收敛。可以通过定理的误差估计知道，并可用于估计迭代次数。小收敛速度越快，在示例8示例9中，Gaussian迭代方法收敛速度比Jacobian迭代方法快，因为明显，大于，小于。在示例8示例9中，近似解，如果需要的误差，k满意，则替换，以知道为错误估计，因此Jacobi重复22次；代入，9次gauss-Seidel就行了。定理4表示方程AX=b的系数矩阵严格对角或逐列对角占优，即条件满足时，或方程AX=b的唯一解，所有初始向量的Jacobian迭代方法和Gaussian-sadel迭代方法收敛。对于Jacobian迭代方法和Gaussian-sadel迭代方法，定理5，方程AX=b的系数矩阵的对称正定矩阵。初始向量高斯-赛德尔迭代法收敛。在示例8示例9中，由于系数矩阵a严格对角占优势，所以定理4可以立即得出结论，在使用Jacobian迭代方法和gauss-sadel迭代方法求解时，迭代过程收敛。只要方程式AX=b的系数矩阵得到满足，只要定理4或定理5的条件得到满足，就很容易判断相应迭代过程的收敛。另一个例子，矩阵是对称正定矩阵(实际对称数组是正限定矩阵，实际二次类型是正限定)，定理5可以在使用高斯-赛德尔迭代方法求解方程时确定迭代过程收敛。，示例10使用Jacobian迭代方法和Gaussian-sedel迭代方法研究解决方案。首先计算迭代矩阵，求解方程AX=b的收敛性。在这里，计算，BJ和BG的特征值和光谱半径被称为定理2。使用Ja