幂法和反幂法ppt课件

9.3幂法和逆幂法、9.3.2逆幂法和原点位移法、9.3.1幂法和加速度法、幂法是计算矩阵的模最大特征值和相应特征向量的迭代法。适用于大型稀疏矩阵。逆幂法是计算给定近似特征值对应的海森伯格矩阵或对角矩阵的特征向量的有效方法。9.3.1功率法和加速法。在一些工程和物理问题中，通常只需要找到矩阵的最大模的特征值(称为主特征值)和相应的特征向量。幂法适用于求解这个特征值问题。幂法是一种计算n阶实矩阵a的主特征值的迭代法，其最大优点是方法简单，适用于稀疏矩阵，但有时收敛速度慢。幂方法的基本思想是取任何非零初始向量，构造一个向量序列vk k=0，1，2，n，(3.1)来自矩阵a，称为迭代向量。因此，计算具有最大触摸的特征值和特征向量。在示例1中，实对称矩阵A被设置为，并且模最大特征值A通过幂方法计算。求解：直接求解a的特征方程，获得，用幂法求a的模最大特征值，取其一，迭代公式为，考虑两个相邻向量的对应分量之比，即两个相邻迭代向量的对应非零分量之比必须收敛到主特征值？不一定。让我们首先讨论以下情况：(集合)，(3.2)，然后，其中，从假设，知识，因此，两个相邻迭代向量的相应非零分量是成比例的，并且主特征值是，即，两个相邻迭代向量的相应非零分量的比率收敛到主特征值。这种从已知非零向量的幂和矩阵A构造的向量序列 0 计算主特征值和相应特征向量的方法称为幂法。(3.3)、(3.4)，根据公式(3.3)，收敛速度由比值决定。收敛速度越小，收敛速度越快。然而，当1时，收敛速度可能较慢。总结上面的讨论，定理1有一个线性独立的特征向量，主特征值满足且任何非零初始向量成立。两种特殊情况，例1属于第一种情况的讨论。一般来说，1。如果迭代向量的每个分量单调变化并且有关系，则属于第一种情况。如果迭代向量的分量不是单调变化的并且有关系，那么这是第二种情况。(3.5)，(或接近零)，从而导致计算机中的“溢出”。为了克服这个问题，通过利用向量的方向与长度无关的特性，对迭代向量的长度进行归一化以改进幂方法。当用幂方法计算主特征值和相应的特征向量时，如果，迭代向量的每个不等于零的分量都趋向于无穷大，所谓的向量长度归一化就是将向量的分量除以一个常数，这样向量长度就是1，向量长度有各种度量，并且可以使用或，其中，i0是绝对值最大的所有分量中的最小值。对于幂法的改进，取任意初始向量：迭代和归一化，有迭代向量序列和归一化向量序列。根据表达式(3.7)和(3.8)，存在：(1)对于归一化向量序列：首先考虑归一化向量序列和计算之间的关系。(2)对于迭代向量序列：即具有最大绝对值的分量，此时趋向于特征根。注：在改进的幂法中，主特征值不是两个相邻迭代向量的相应非零分量的比值。(2)将A的特征值设为满足，定理2(1)将N个线性独立的特征向量设为满足；此外，(3)和通过改进的幂方法获得的归一化向量序列，序列(3.7)具有，并且收敛速度由比率决定。还有迭代向量，改进的幂法，下面我们称之为改进的幂法幂法。求矩阵主特征值和主特征向量的(改进)幂方法，3。瑞利商加速度，9.3.2逆幂法和原点位移。逆幂法是计算最小模矩阵特征值和特征向量的方法，也是修正特征值和寻找相应特征向量的最有效方法。计算A的最小模特征值的问题就是计算A-1的最大模特征值的问题。逆幂法迭代公式：取任意初始向量，集合为非奇异矩阵，a的特征值满足：相应特征向量的特征值线性无关，则A-1的特征值为，特征向量，1。逆幂法用于计算具有最小模的矩阵a的特征值和相应的特征向量。如果有n个线性独立的特征向量，并且它们的特征值满足：则由逆幂法(3.11)构造的向量序列满足：并且收敛速度由比值决定。如果A的特征值是，那么A-pI的特征值是，问题：已知特征值(通常通过其他方法获得)和相应特征向量(近似值)的近似值。如果(A-pI)-1存在，则特征值是相应的特征向量，应用2次幂逆方法，并且被设置为最接近p的特征值，即，它是(A-pI)-1的主特征值，并且通过将幂逆方法应用于(A-pI)-1:即，其中线性方程取初始向量，获得逆幂方法计算公式，然后，结论是定理4(1)具有n个线性独立的特征向量，即，收敛速度由比率决定。(2)取(作为特征值的近似值)，假设(A-pI)-1存在并且序列满足：并且，当向量由逆幂法的迭代公式(3.12)构造时，该方法对于值的一般位置是最合适的(该方法是有效的方法)。这表明：(1)的定理4可以计算特征向量xj。当已知A的某一特性时，将(2)作为特征值的近似值。当A的特征值被分离时，逆幂法的迭代公式可用于通过求解方程组(A-pI)vk=uk-1来找到vk。为了经济起见，当条件好且R小时，它收敛得很快。同时，对特征值进行了改进。节省计算量，可以先三角化(-)P(-)=LU。其中p被设置并且矩阵被改变，因此vk的每次迭代相当于求解两个三角形方程。取v0=u0，即选择u0使Uv1=L-1PU0=(1、1) T和V1是通过求解反代得到的。概述：基于给定特征值的近似值p找到对应于p的特征向量(近似值)的步骤：第一步是三角测量(A-)=Lu，(或p(A-)=Lu，其中p是数组)。第二步是从uv1=(1，1，1) t通过求解方程，其中第三步是从LUv2=Pu1(或LUv2=Pu1)中找到v1、u1，通过求解方程获