数学的现代基础与中学数学教学

数学的现代基础与高中函数教育云南省腾冲县民族完全中学李春燕摘要：函数一直是各国中学教材中的热门话题，函数的内容贯穿中学数学，其重要性不言而喻。 本文介绍了函数概念的发展历史，比较了现代数学和中学数学函数的定义，从更高的层次上理解了函数的本质。 本文分析了函数课内容，分析了函数教育的基本构想。关键词：函数映射函数教育：高视角：数学课一函数概念的历史发展最初提出函数概念的是17世纪德国数学家莱布尼茨。 1718年，莱布尼茨的学生，瑞士数学家贝努利把函数定义为“某个变量和任意常数的组合数”。 函数，表示由变量和常数组成的表达式。 伯努利强调用公式来表示函数。 欧拉、达兰贝尔、傅立叶等代数学家对函数的概念作了如下描述。 “函数指变量和常数，用什么方法形成解析式”这个概念当然不完整，他把函数这一广泛的概念和解析式混合起来，排除了用其他方式给出的函数。1755年，瑞士数学家欧拉将函数定义为“一个变量以一种方式依赖于另一个变量，即，当后面的变量变化时，前面的变量也变化，前面的变量称为后面的变量的函数”。 欧拉的定义并没有强调用公式来表示函数。 因为函数不一定需要用公式来表示，所以Euler把坐标系上画的曲线称为函数。 我认为“函数是随意绘制的曲线”。1821年，法国数学家柯西提出了类似于现在中学教科书的函数定义。 “某个变量之间有一定的关系，其中的某个变量的值被给定的话，其他变量的值被决定时，第一个变量称为自变量，其他各变量称为函数”在柯西的定义中，首先出现了自变量这个词。 这种对应关系不一定需要解析式。 他列举了有名的“狄利克雷函数”来说明。19世纪、70年代，德国数学家康托尔集合论应运而生，确立了函数的几何对应定义。 也就是说，“给出两个集合a和b，根据某个特定的对应关系，如果b中唯一的要素与a的各要素对应，则将该对应关系称为a到b的函数”1960年代，给出了函数的关系定义。 现在，x和y关系，即XY，如果需要y=z，则称为从x到y的函数.如上所述，函数的概念的解释通常有四种方法，一种是将函数定义为具有这样的特征的状态，而不是函数本身。第二种是函数被称为规律或规律。第三种是将函数称为对应，第四种是将函数称为关系。16世纪以后，变量和函数的概念成为数百年的研究中心，函数的概念成为近代数学的基本概念。 函数可以说是近现代数学的基础。2 .高观点下的高中函数中学数学内容是常数数学和变量数学的初步认识，是中学数学的基础，也是高等数学的特例和原型。 因此，从更高的角度看中学数学，把现代数学的一些概念、理论和中学数学的特例和原型结合起来，不仅有助于对现代数学的理解，还能正确地把握中学数学的本质和重要性。函数是贯穿中学数学的主线，它与很多内容有关，是学好中学数学的基础。 我们结合中学函数的概念，结合大学知识，重新认识函数。(1)笛卡尔集假设a和b是集合，并且a和b的笛卡尔乘积是所有规则偶数(a，b )的集合。形成的集合称为笛卡尔集合。(2)测绘如果a、b有两个非空集合，并且f: (f是a和b的笛卡尔集合的子集)中对于任何存在是唯一的，那么f被称为a到b的映射。 换句话说，f是映射，任选地，存在并且因此有和，则y=z。(3)函数从该图与函数的关系可知，具体地，如果a、b是非空集合，并且可选地，则图f:AB是高中数学中的函数的概念。回顾中学函数的概念，中学用“对应”和“对应法则”定义函数，高等数学用“关系”和“笛卡尔集合”定义函数。映射的概念反映了事物运动变化的本质，函数的内容是中学数学教育的连贯，而映射是函数的基础，关系是映射的基础，使用高等数学中的关系定义重新认识中学数学函数，理解函数的本质：量与量之间的依赖规则的抽象。 认识函数内部的本质有助于教师理解教育学科，在遇到问题时，能以更高的视角、理解来解决问题。初中数学相关函数(映射)的类型：从几集到几集的函数，即数值是自变量的数值函数，这是中学数学的主要函数类型，所有初等函数都是此类型。数(秩序阵列)集点集、从点集到数(秩序阵列)集(轴上的点与实数的对应、坐标轴上的点与秩序实数的对应等)。点集的映射，例如几何变换(平移、旋转等)。几何图形映射到几组几何图形，例如长度、面积、体积等。从函数集到函数集的映射(例如，求导出)。初中数学有关于函数的问题决定函数的定义域、值域，求出函数值、极值等。研究函数的性质，如偶奇性、单调性、周期性、凹凸性等。作为函数图像研究函数的复合函数、逆函数及其性质。求初等函数零点(解方程式或方程式)、不等式(组)的解集合、解函数方程式(以未知函数为未知源的方程式或方程式)3高中函数教育研究3.1新课对函数教育的要求和以前一样，普通高中课程标准把函数的基础知识放在高中初级，但内容要求和处理方式有很大的变化。3.2函数内容处理的分析强调对函数的背景和本质的理解。 无论是导入函数概念，还是导入函数三种模式(指数函数、对数函数、函数函数)的学习，教材都从实例进入新课的学习。 以往的教材把函数作为特殊的映射来处理，但是学生同时接受“对应”“映射”“函数”的概念，很难理解他们的想法。 从实例背景来看，学生可以体验抽象摘要的过程，有助于学生函数概念的确立。加强函数思想方法的应用。 函数是表示世界变化规律的数学模型，因此函数广泛应用于现实生活中。 加强函数的应用，强调数学模型，给抽象概念提供了实体支持。 例如，新添加的内容“不同函数的增长模型”和“二分法”。 前者通过比较不同增长模型的差异，理解不同的函数模型。 遇到简单的问题，就会选择合适的模型来解决问题。 后者充分表现了函数和方程式的联系，给出了求方程式近似路线的方法。 通过学习二分法，使学生有了联系不同知识的意识。3.3函数内容的记述函数的内容包括函数概念及其性质、基本初等函数、函数和方程、函数模型及其应用。函数概念不是直接给出的，而是从背景事例以归纳的教材组织形式导入的。 由于函数概念的抽象性，学生需要一定的时间来理解，需要在不同的水平上，从不同的角度为学生提供理解和巩固函数概念的机会。首先，在分析事例的共同特征的基础上总结函数定义，通过讨论函数的表现、基本性质来初步理解函数。 然后，用3种基本初等函数强化函数概念，从对一般概念的认识到具体函数的学习。 体现了“具体的抽象具体的”过程，加深了对函数概念的理解。 最好的是从应用的角度来提高对函数的理解。 教材安排了函数的应用。 二分法、不同函数增长模型的增长差异、数学模型来解决问题。3.4函数内容的教育函数概念的教育是一个难点，教材选择一个代表性的实例，首先从集合和对应的角度分析前两个实例，学生自主分析第三个实例，然后提出思考，给学生总结三个实例的共同属性，确立函数概念。 从这样的图抽象的过程中，可以让学生充分体验概念的过程，理解函数的内涵。函数的性质是研究函数变化规律，该规律是从最直观的图像中得到的，如图像的上升、下降是单调性。 问题是学生如何从几何学的直观上升到严格的数学定义。 同样，二分法也必须直观地经历认识数学抽象化的过程。 因此，有必要将直观而严格的数学定义分成几个水平，为学生建立认识的台阶，使他们能够逐渐获得概念。 例如，在介绍单调性的情况下，首先提示一次函数、二次函数的图像，观察这些图像的特征，然后是“如何表现函数图像的上升、下降？ ”这个问题的学生指导用自然语言表现图像的特征，最后考虑到“随着x的变大，对应的函数值变小”，将自然语言的记述转换为数学符号语言的记述，一般化得到单调的数学定义。参考文献：1维林金等人着，中小学数学的现代