06 几何证明1教师2015秋季 初二数学培优经典进度一

1 / 7 第六讲 几何证明 1 能界定某个对象含义的语句叫做定义 能怕段某句话正确或是错误的语句叫做命题其中判断正确的命题称为真命题，判断错误的命题成为 假命题 许多命题是由题设（或已知条件） 、结论两部分组成的题设是已知事项，结论是由已知事项推出的 事项这样的命题可以写成“如果，那么”的形式用“如果”开始的部分就是题设，“那 么”开始的部分就是结论 能作为判断其他命题真假的原始依据的真命题叫做公理 有些命题从公理或其他真命题出发，用推理的方法证明为正确的，并进一步作为判断其他命题真假依 据的真命题叫做定理 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条 件，那么这两个命题叫做互逆命题互逆命题如果把其中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个命题叫做它的逆命逆命 题题 如果一个定理的逆命题能被证明是真命题，那么就叫它是原定理的逆定理，这两个定理叫做互逆定互逆定 理理 证明一个命题，一般步骤如下： （1）按照题意画出图形； （2）分清命题的条件的结论，结合图形，在“已知”一项中写出题设，在“求证”一项中写出结论； （3）在“证明”一项中，写出全部推理过程 2 / 7 线段的垂直平分线： 1. 性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. 因为点P在线段AB的垂直平分线MN上，所以PAPB 2. 判定定理（即线段垂直平分线性质定理的逆定理） ：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段 的垂直平分线上 因为PAPB，QAQB，所以点P，点Q在线段AB的垂直平分线上 3线段垂直平分线的尺规作法： 第一步是确定两点； 第二步是过这两点作直线（即垂直平分线） 特别注意：所作弧的半径要大于线段长的一半. 角平分线： 1性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 因为点P在AOB的平分线上，PDOA于D，PEOB于E，所以PDPE 2判定定理（即角平分线性质定理的逆定理） ：在一个角的内部，且到角的两边距离相等的点，在这个 角的角平分线上 因为PDOA于D，PEOB于E，且PDPE，所以点P在AOB的平分线上 3角平分线的尺规作法 第一步是确定三点（角的边上两点，角内一交点） ； 第二步是作射线（即角平分线） 注意：所作弧的半径要大于DE 两线的联系与区别： 1都有“平分”这个特点；都有“距离相等”这个特点； 2线段的垂直平分线是一条直线；角的平分线是一条射线； 3线段的垂直平分线是线段的对称轴；角的对称轴是角的平分线所在的直线 图 1 图 2 3 / 7 【例题1】 下列语句中 （1）四川地震让中国人众志成城； （2）中国加油！四川加油！ （3）对顶角相等； （4）过直线外的一点有且只有一条直线和已知直线平行； （5）直线 AB 和 CD 垂直吗； （6）过线段 AB 的中点 C 画 AB 的垂线； （7）同旁内角不互补，两直线不平行 （8）连结 A，B 两点 是命题的有 （3） （4） （7） 【例题2】 将下列命题改写成“如果那么”的形式. （1）两直线平行，同位角相等 （2）平行四边形对边相等. （3）有两边上的高相等的三角形是等腰三角形 （4）三角形的中位线平行于第三边 解： 如果两直线平行， 那么同位角相等 如果一个四边形是平行四边形， 那么它的两组对边分别相等 如果一个三角形的两边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形 如果一条线段是三角形的中位线，那么这条线段平行于第三边 【例题3】 填表 命题 命题 真假 逆命题 逆命题 真假 全等三角形对应边相等 真 对应边相等的三角形是全等三角形 真 如果ab，那么 22 ab 真 如果 22 ab，那么ab 假 如果 22 ab，那么ab 假 如果ab，那么 22 ab 真 有一组对边平行且相等的四边 形是平行四边形 真 平行四边形的一组对边平行且相等 真 磁悬浮列车是一种高速行驶时 不接触地面的交通工具 真 高速行驶时不接触地面的交通工具 是磁悬浮列车 假 两个无理数的积仍是无理数 假 积为无理数的两个因数都是无理数 假 4 / 7 【例题4】 求证：三角形一边的两个端点到这边中线的距离相等.（要求画出图形，写出已知、求证 和证明） 证明略 【练习1】 下列语句中，属于命题的是 （ C ） （A）直线 AB 和 CD 垂直吗 （B）过线段 AB 的中点 C 画 AB 的垂线 （C）同旁内角不互补，两直线不平行 （D）连结 A，B 两点 【练习2】 命题“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的题设是 （ D ） （A）垂直 （B）两条直线 （C）同一条直线 （D）两条直线垂直于同一条直线 【练习3】 下列语句中，属于定义的是 ( C ） （A）直线 AB 和 CD 垂直吗？ （B）过线段 AB 的中点 C 画线段 AB 的垂线 （C）对一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题 （D）同旁内角互补，两直线平行 【练习4】 下列说法中，正确的是 （ A ） （A）每一个命题都有逆命题 （B）假命题的逆命题一定是假命题 （C）每一个定理都有逆定理 （D）假命题没有逆命题 【练习5】 下列命题的逆命题为真命题的是 （ C ） （A）如果 a=b，那么 a2=b2 （B）平行四边形是中心对称图形 （C）两组对角分别相等的四边形是平行四边形 （D）内错角相等 【练习6】 下列定理中，有逆定理的是 （ D ） （A）四边形的内角和等于 360 （B）同角的余角相等 （C）全等三角形对应角相等 （D）在一个三角形中，等边对等角 【练习7】 下列命题中，假命题的个数有 （ C ） （1） 无限小数是无理数 （2）式子是二次根式 （3） 三点确定一条直线； （4）多边形的边数越多，内角和越大 (A) 1 个 (B) 2 个 (C) 3 个 (D) 4 个 a 5 / 7 【练习8】 求证：等腰三角形两腰上的中线相等. 已知：如图，在ABC 中，AB=AC，点 E、F 分别是 AC、AB 的中点. 求证：BE=CF. 【练习9】 求证：两条平行线被第三条直线所截的同旁内角的平分线互相垂直 已知： 证明： 【练习10】 求证：两个内角及其中一个角的角平分线对应相等的两个三角形全等 已知： 证明： 【例题5】 如图， OC 平分AOB， P 是 OC 上一点， D 是 OA 上一点， E 是 OB 上一点， 且 PD=PE， 求证：PDOPEO180 证明：过点 P 作PM OA，PN OB，垂足分别为 M、N 因 OC 是角平分线，PM OA，PN OB，故 PM=PN 由 PD=PE，PM=PN，得Rt PMDRt PNE MDPNEP 则 PEOMDP，而MDPPDO180 PDOPEO180 6 / 7 【例题6】 如图，在ABC中，BAC的平分线与 BC 边的垂直平分线相交于点 P过点 P 作 AB、 AC（或延长线）的垂线，垂足分别是 M、N求证：BM=CN 证明：因 AP 是角平分线，PM AB，PN AC，故 PM=PN 又因 PD 是 BC 的垂直平分线，故 PB=PC 因 PB=PC，PM=PN，故Rt PBMRt PCN BMCN 【练习1】 ABC 中，AB=AC，BAC=100，两腰 AB、AC 的垂直平分线交于点 P，则（ B ） A、点 P 在ABC 内 B、点 P 在ABC 底边上 C、点 P 在ABC 外 D、点 P 的位置与ABC 的边长有关 【练习2】 如果三角形两边的垂直平分线的交点恰好落在第三边上，则这个三角形是（ B ） A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等边三角形 【练习3】 A和B两点在线段EF的中垂线上， 且EAF=100， EBF=70， 则AEB等于( C ) A、95 B、15 C、95或 15 D、170或 30 【练习4】 如图 1，在锐角ABC 中，AB=4，BAC=45，BAC 的平分线交 BC 于点 D，M、 N 分别是 AD 和 AB 上的动点，则 BM+MN 的最小值是 4 7 / 7 【练习5】 如图 2，四边形 ABCD 中，ADBC，若DAB 的平分线 AE 交 CD 于 E，连接 BE，且 BE 恰好平分ABC，则 AB 的长与 AD+BC 的长的大小关系是（ B ） A、ABAD+BC B、AB=AD+BC C、ABAD+BC D、无法确定 【练习6】 已知如图， 在ABC中，OMON、分别是ABAC、的垂直平分线，OM与ON相交于 点O求证：点O在BC的垂直平分线上 证：OM垂直平分AB， OAOB同理OAOC OBOC O在BC的中垂线上 【练习7】 已知：如图，PBPC、分别是ABC的外角平分线，,PMAB PNAC，点MN、 分别为垂足 求证： （1）PMPN； （2）PA平分MAN 解： 作,PHBCBP平分,MBCPMPH 同理,PHPNPMP