等比数列——教学设计

等比数列教学设计一、教材分析： 1、内容简析： 本节主要内容是等比数列的概念及通项公式，它是继等差数列后有一个特殊数列，是研究数列的重要载体，与实际生活有密切的联系，如细胞分裂、银行贷款问题等都要用等比数列的知识来解决，在研究过程中体现了由特殊到一般的数学思想、函数思想和方程思想，在高考中占有重要地位。2、教学目标确定： 从知识结构来看，本节核心内容是等比数列的概念及通项公式，可从等比数列的“等比”的特点入手，结合具体的例子来学习等比数列的概念，同时，还要注意“比”的特性。在学习等比数列的定义的基础上，导出等比数列的通项公式以及一些常用的性质。从而可以确定如下教学目标理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式及其推导；能运用等比数列通项公式解决相关问题；掌握等比中项的定义并能进行相关运算。3、教学重、难点【重点】等比数列和等差中项的概念及等比数列通项公式的推导和应用【难点】等比数列“等比”特征的理解、把握和应用4.教学手段：多媒体辅助教学5.教学方法：启发式和讨论式相结合,类比教学.二、教学过程设计1、温故知新（1）等差数列定义：（2）等差数列的通项公式那么，还有像等差数列这样前项与后项的关系特殊的数列吗？师生互动：多媒体展示问题，学生回答，教师补充（设计意图：复习就知识，为新知识的学习做准备。）2、 引入概念举出几个关于等比数列的实际例子，让学生归纳总结出其特点，从而引入等比数列的定义情境一：折纸如果能将一张厚度为0.05mm的报纸对折，再对折，再对折依次对折50次，你相信这时报纸的厚度可以在地球和月球之间建一座桥？情境二：庄子天下篇中写到：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。现代语言“一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完。”我们把“一尺之锤”看做单位“1”，那么可以得到： 情境三： 研究下面三个数列并思考其特点2, 4, 8, 16, 从第2项起，每一项与前一项的比都等于 1,；从第2项起，每一项与前一项的比都等于 5,25,125,625从第2项起，每一项与前一项的比都等于 -2, 2, -2, 2, .从第2项起，每一项与前一项的比都等于 师：观察以上几个数列的前4想，从第2项起，每一项与前一项的比有什么规律？生：从第二项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数（师板书）师：回答正确，好，上述三个数列都具有很好的特点，它和等差数列一样，是一类重要的数列，谁能为这样的数列起个名字吗？生：叫“等比数列”。师：可以，请完整地叙述一下。生：如果一个数列（ ）从第2项起（ ），每一项（ ）与它前一项（ ）的比等于同一个常数（ ），那么这个数列就叫做等比数列，这个常数（ ）叫做公比 定义：一般地，如果一个数列从第二项起每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q0）师生互动：学生完成引例，教师引导学生依照等差数列的定义，尝试总结出等比数列的定义（设计意图：为了增加学生对等比数列定义的理解和记忆，同时培养学生的总结能力和习惯）师：等比数列的定义还可以用怎样的数学式子来刻划？生：得出等比数列数学语言：或师生互动：教师引导，学生解答，深刻等比数列的概念、性质（设计意图：为了让学生深刻记忆等比数列的概念、性质，并应用于解题）3、 深化概念（1）讨论：说出数列 的公比q的值 2, 4, 8, 16, 1,； 5,25,125,625 -2, 2, -2, 2, . （设计意图：为了加深学生对等比数列定义的理解，运用情景三的例子）（2）引入例题深化定义【例1】判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项和公比q, 如果不是，说明理由。(1) 1,3,9,27，； （2）,； (3)5,5,5,5,；(4) -1, 1, -1, 1, . (5) 1,0,1,0； (6)0,0,0,0；(7) ； (8) ； ( 9)1,2,6,18,；4、 再次引入概念教师引导学生依照等差中项，尝试总结出等比中项（设计意图：为了增加学生对等差中项的理解和记忆，同时培养学生的总结能力和习惯）等比中项如果三个数组成等比数列，则叫做和的等比中项。如果是和的等比中项，那么，即 注意：若a，b异号则无等比中项, 若a，b同号则有两个等比中项.5、 深化等比中项的定义【例2】（1） 求45与80的等比中项（2） 已知b是a和c的等比中项，abc=27 求 b（设计意图：为了加深学生对等差中项定义的理解，配备了简单的例题）、等比数列的通项公式的推导设等比数列，的公比为方法1：（归纳法） ， ， ， 方法2：（累乘法）根据等比数列的定义，可以得到 ， ， ， .以上共有 个等式，把以上 个等式左右两边分别相乘得 ，即 ，即得到等比数列的通项公式。等比数列的通项公式 讨论：下面等比数列的通项公式是什么？ 2, 4, 8, 16, 1、. 5、25、125、625 -2, 2, -2, 2, . （设计意图：为了加深学生对等比数列通项公式的理解，再次用情景三的例子）7、应用举例【例3】一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.【例4】 在等比数列中师生互动：学生通过计算并回答，教师评讲指正点评：提高学生的运算能力，是高中数学重要目标。上述例题有2个目的：利用通项公式求出首项和公比，可以求数列的任何一项；引申为等比数列定义的应用。、归纳总结师：下面我们对今天这节课作一简单的小结（学生小结，师生共同完善）（1） 知识方面：比较、熟知等差数列和等比数列的定义、性质、通项公式并熟练运用。（2） 数学思想方法：类比归纳师生互动：学生总结，教师补充。（设计意图：巩固等比数列的概念和通项公式，通过分析、综合、抽象、概括，我们给等比数列下了定义，又共同探索获得了等比数列的通项公式及其一般形式，等比中项的定义）、当堂练习（1） 已知求； 求等比数列的通项公式（2） 已知求学生上板展示，教师评讲指正（设计意图：熟悉并应用等比数列性质）、课后作业自主完成导学案最后课后作业部分三、教学反思从本节课的效果来看，实现本节课的教学目标，培养了学生的类比推理能力。回顾整个教学过程，有以下几点值得注意：1数列的概念、通项公式是本章的重点之一，因此，作为等比数列的起始课，理所当然地应将等比数列的定义，通项公式以及等比数列的判定作为教学目标之一 2.“观察-归纳-猜想-演绎证明”是一条很好的教学思路，但不见得每种情况都用，这里，由于同等差数列强烈的类比，学生已猜想出推导等比数列通项公式的大体思路，因而采用“类比”的方法，一举推导出来了，加速了思维过程，教师也适当引导，教学顺利完成。教师一定要让学生自己思考，不要代替学生完成学习。值得一提的是，本节课的教学中，我们不但教学生进行知识（等差