2012届高考数学备考复习：函数与方程思想

精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创1/142012届高考数学备考复习函数与方程思想莲山课件KJCOM专题七思想方法专题第一讲函数与方程思想【思想方法诠释】函数与方程都是中学数学中最为重要的内容。而函数与方程思想更是中学数学的一种基本思想，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。1函数的思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。经常利用的性质是单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图象变换等。2方程的思想方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创2/14方程的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题，方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系。3函数思想与方程思想的联系函数思想与方程思想是密切相关的，如函数问题可以转化为方程问题来龙去脉解决；方程问题也可以转化为函数问题加以解决，如解方程FX0，就是求函数YFX的零点，解不等式FX0或FX0，就是求函数YFX的正负区间，再如方程FXGX的交点问题，也可以转化为函数YFXGX与X轴交点问题，方程FXA有解，当且公当A属于函数FX的值域，函数与方程的这种相互转化关系十分重要。4函数与方程思想解决的相关问题（1）函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；在问题研究中通过建立函数关系式或构造中间函数；把研究的问题化为讨论函数的有关性质，达到化难为易，化繁为简的目的。（2）方程思想在解题中的应用主要表现在四个方面解方程或解不等式；带参变数的方程或不等式的讨论，常涉及一元二次方程精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创3/14的判别式、根与系数的关系、区间根、区间上恒成立等知识应用；需要转化为方程的讨论，如曲线的位置关系；构造方程或不等式求解问题。【核心要点突破】要点考向1运用函数与方程的思想解决字母或式子的求值或取值范围问题例1若A、B是正数，且满足ABAB3，求AB的取值范围。思路精析用A表示B根据B0，求A的范围把AB看作A的函数求此函数的值域。解析方法一（看成函数的值域）即A1或A3又A0,A1,故A10。当且仅当A1，即A3时取等号又A3时,A15是关于A的单调增函数,AB的取值范围是9,方法二看成不等式的解集A,B为正数,AB2,又ABAB3,AB23即解得精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创4/14方法三若设ABT,则ABT3,A,B可看成方程的两个正根从而有,即解得T9,即AB9注1求字母或式子的值问题往往要根据题设条件构建以待求字母式子为元的方程组,然后由方程组求得2求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等知识中的重要问题。解决这类问题一般有两条途径，其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设是的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域3当问题中出现两数积与这两数和时，是构建一元二次方程的明显信号，构造方程后再利用方程知识可使问题巧妙解决4当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数,如最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表达式,那么就可用研究函数的方法将问题解决要点考向2运用函数与方程思想解决方程问题例2已知函数或与的图象在内至少有一个公共点，试求的取值范围。思路精析化简的解析式令分离求函数的值域确精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创5/14定的范围解析与的图象在内至少有一个公共点，即有解，即令，当且仅当，即COSX0时“”成立。当A2时，与所组成的方程组在内有解，即与的图象至少有一个公共点。注（1）本例中把两函数图象至少有一个公共点问题转化为方程有解问题即把函数问题用方程的思想去解决（2）与本例相反的一类问题是已知方程的解的情问题，求参数的取值范围研究此类含参数的三角、指数、对数等复杂方程解的问题的，通常有两种处理思路一是分离参数构建函数，将方程有解转化为求函数的值域；二是换元，将复杂方程问题转化为熟悉的二次方程；进而利用二次方程解的分布情况构建不等式（组）或构造函数加以解决要点考向3运用函数与方程思想解决不等式问题例3（1）已知且那么（）（2）设不等式对满足M2，2的一切实数M都成立，求X的取值范围思路精析（1）先把它变成等价形式再构造辅助函数利用函数单调性比较精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创6/14（2）此问题常因为思维定势，易把它看成关于X的不等式讨论，若变换一个角度，以M为变量，使FM，则问题转化为求一次函数（或常函数）FM的值在2，2内恒负时，参数X应满足的条件解析（1）选B设因为均为R上的增函数，所以是R上的增函数又由，即，即XY02设FM，则不等式2X1M恒成立恒成立在时，即解得，故X的取值范围是注1在解决值的大小比较问题时，通过构造适当的函数，利用函数的单调性或图象解决是一种重要思想方法；2在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数利用函数的图象和性质解决问题同时要注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更明朗化，一般地，已知存在范围的量为变量而待求范围的量为参数要点考向3运用函数与方程思想解决最优化问题例4图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD是矩形，弧CMD是半圆，凹槽的横截面的周长为4已知凹槽精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创7/14的强度与横截面的面积成正比，比例系数为,设AB2X,BCY（）写出Y关于X函数表达式，并指出X的取值范围；（）求当X取何值时，凹槽的强度最大解析（）易知半圆CMD的半径为X，故半圆CMD的弧长为所以，得4分依题意知得所以，（）6分（）依题意，设凹槽的强度为T，横截面的面积为S，则有8分11分因为,所以，当时，凹槽的强度最大答当时，凹槽的强度最大13分注解析几何、立体几何及实际应用问题中的最优化问题，一般是利用函数的思想解决，思路是先选择恰当的变量建精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创8/14立目标函数，然后再利用有关知识，求函数的最值。【跟踪模拟训练】一、选择题（每小题6分，共36分）1已知正数X,Y满足XYX9Y7，则XY的最小值为A32B43C49D602方程有解，则M的最大值为（）A1B0C1D23一个高为H0，满缸水量为V0的鱼缸的轴截面如图所示，其底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，当鱼缸口高出水面的高度为H时，鱼缸内剩余水的体积为V,则函数VFH的大致图象可能是（）4对任意A1,1，函数FXX2A4X42A的值总大于零，则X的取值范围是A1X3BX1或X3C1X2DX1或X25若正实数A,B满足ABBA，且A1,则有AABBABCABD不能确定A,B的大小精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创9/146已知圆上任意一点PX,Y都使不等式恒成立，则M的取值范围是（）二、填空题（每小题6分，共18分）7的定义域和值域都是1，K，则K8已知数列中，若数列的前30项中最大项是，最小项是，则M,N9设FX，GX分别是定义在R上的奇函数和偶函数,当X0时，FXGXFXGX0,且G30,则不等式FXGX0的解集是_三、解答题10、11题每题15分，12题16分，共46分10已知二次函数FXAX2BXA,B为常数，且A0满足条件FX1F3X且方程FX2X有相等实根1求函数FX的解析式2是否存在实数M,NMN，使FX的定义域和值域分别为M,N和4M,4N，如果存在，求出M,N的值，如果不存在，说明理由11某地区要在如图所示的一块不规则用地规划建成一个矩形商业楼区，余下的作为休闲区，已知ABBC,OABC，且ABBC2OA4KM，曲线OC段是以O为顶点且开口向上的抛物线的一段，如果矩形的两边分别落在AB、BC上，且一个顶点在曲线OC段上，应当如何规划才能使矩形商业楼区的精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创10/14用地面积最大并求出最大的用地面积12设的极小值为8，其导数的图象经过（2，0），两点，如图所示（1）求FX的解析式；（2）若对X3，3，都有恒成立，求实数M的取值范围参考答案123【解析】选A设鱼缸底面积为S,则VFHSH0SH，故VFH是一次函数且是减函数4【解析】选B由FXX2A4X42A0得AX2X24X40，令GAAX2X24X4，由不等式FX0恒成立,即GA0在1,1上恒成立5精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创11/146789【解析】令FXFXGX，由FX，GX分别是定义在R上的奇函数和偶函数，得FX是奇函数又当X0时，FXF（X）GXFXGX0，X0时，FX为增函数又FX为奇函数，故FX在0，）也是增函数F3F3G30F3，FX0的解集是,30,3，如图答案（,3）（0，3）10【解析】1方程AX2BX2X0有相等实根,B220,得B2,由FX1F3X知此函数图象的对称轴精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创12/14方程为X1,得A1故FXX22X11【解析】以点O为原点，OA所在的直线为X轴，建立直角坐标系，设抛物线的方程为X22PY，由C2,4代入得P，所以曲线段OC的方程为YX2X0,2A2,0，B2,4,设PX,X2X0,2，过P作PQAB于Q，PNBC于N,故PQ2X,PN4X2，则矩形商业楼区的面积S2X4X2X0,2SX32X24X8，12【备课资源】1已知抛物线Y24X上一点AX0,Y0，F是其焦点，若Y01,2，则|AF|的范围是A,1B,2C1,2D2，3【解析】选B抛物线准线方程为X1,则|AF|X01,精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创13/144已知命题P“对XR，MR，使4X2XM10”，若命题P是假命题，则实数M的取值范围是A2M2BM2CM2DM2或M2【解析】选C由已知命题P为真命题,即方程4X2XM10有解,M2X2X2，即M26已知函数FXLN2X和GX2LN2XM2，MR的图象在X2处的切线互相平行1求M的值；2设FXGXFX当X1,4时,FX2TLN4恒成立,求T的取值范围所以当1X2时，GX0，当2X4时,GX0故GX在1,2是单调减函数,在2,4是单调增函数所以GXMING216，GXMAXG1G418因为当X1,4时，FX2TLN4恒成立,所以FXMIN2TLN4精品文档2016全新精品资料全新公文范文全程指导写作独家原创14/14即LN1