薛定谔方程数值解

计算物理,3/lesson/ComputationalPhysics,薛定谔方程数值解,薛定谔方程数值解,薛定谔方程定态方程的矩阵解法含时方程的解法非线性薛定谔方程解法薛定谔方程的有限元方法,薛定谔方程(1/1),薛定谔方程,单粒子,多粒子,定态薛定谔方程(势能不显含时间),一维的单粒子,定态方程的矩阵解法(1/9),实对称矩阵的对角化定理：如果A是实对称矩阵，那么存在正交矩阵R，使得,雅可比方法：基于上述定理，用一系列简单的正交矩阵RK，逐步将A对角化，即选择RK，令,取A0=A，使得当K时，AKdiag(l1,l2,ln)本征值：l1,l2,ln本征向量：,定态方程的矩阵解法(2/9),矩阵,对角化22实对称矩阵A,定态方程的矩阵解法(3/9),对角化nn实对称矩阵A,定态方程的矩阵解法(4/9),例：计算33实对称矩阵A的本征值和本征向量,A0=A，选p=1,q=2,选p=1,q=3,第9次,定态方程的矩阵解法(5/9),久期方程方法,例：计算实对称矩阵的本征值问题,久期方程和本征值,本征向量,定态方程的矩阵解法(6/9),定态薛定谔方程的矩阵解法有限差分法例：一维无限深势阱,定态薛定谔方程的差分格式,差分方程的实对称矩阵和本征值问题,定态方程的矩阵解法(7/9),波函数,有限差分法的步骤将定态薛定谔方程转化为差分格式写出差分方程的实对称矩阵，并对角化,定态方程的矩阵解法(8/9),希耳伯特空间的方法例：一维无限深线性势阱,希耳伯特空间的基矢,哈密顿算符和矩阵元,定态方程的矩阵解法(9/9),对角化(以为能量单位)，结果分析,步骤选择适当的表象(即基矢)，推导哈密顿矩阵元计算哈密顿矩阵，并对角化,含时方程的解法(1/10),非本征态的时间演化特点：初始态系统的本征态,解法1：有限差分方法解多维扩散方程一维含时薛定谔方程的差分格式,利用k时的y值，求k+1时的y值要求解线性方程组隐式的,含时方程的解法(2/10),边界条件束缚态：y=0非束缚态：假设初始态是束缚态，x足够大，在T内，x左右边界处的y=0,方程组的矩阵形式：,含时方程的解法(3/10),含时方程的解法(4/10),含时方程的解法(5/10),例：先将一个粒子用谐振子势束缚在基态，然后放入无限深势阱的中央，求其波函数Y随时间的演化,初始态(即k=0)：谐振子的基态,由k=0的差分方程组，求k=1时刻的波函数方程,未知量,已知量,含时方程的解法(6/10),含时方程的解法(7/10),含时方程的解法(8/10),由k=1的差分方程组，求k=2时刻的波函数方程,未知量,已知量,由k=2的差分方程组，求k=3时刻的波函数,n维含时薛定谔方程的差分格式：NnNn的矩阵,含时方程的解法(9/10),解法2：(希耳伯特空间的方法)将初始态在基矢上展开势能函数不含时(Q表象，基矢是un),写成矩阵形式,，Y和H都是矩阵,当Q=H时，un是哈密顿量的本征态，H是对角阵,含时方程的解法(10/10),当QH时，un不是哈密顿量的本征态，H非对角,例：先将一个粒子用谐振子势束缚在基态，然后放入无限深势阱的中央，求其波函数Y随时间的演化,初始态：谐振子的基态,基矢：无限深势阱的能量本征函数,常数cn,非线性薛定谔方程解法(1/10),非线性薛定谔方程(Gross-Pitaevskii方程),实质是非线性偏微分方程，一般没有解析解希耳伯特空间的迭代法(定态)：非线性项线性化,非线性薛定谔方程解法(2/10),例：求解f=x2的一维G-P方程(0xl),方程：,基矢：,哈密顿矩阵元,非线性薛定谔方程解法(3/10),l=5,a=5,非线性薛定谔方程解法(4/10),有限差分的迭代法(一维定态)：非线性项线性化,非线性薛定谔方程解法(5/10),例：求解f=x2的一维G-P方程(0xl),迭代方程,系数矩阵,非线性薛定谔方程解法(6/10),有限差分法(一维含时)二元非线性方程组的迭代法：非线性问题线性化,(关键：Jocobi矩阵J，初值要接近解),非线性薛定谔方程解法(7/10),多元非线性方程组,(关键：Jocobi矩阵J，初值接近解),非线性薛定谔方程解法(8/10),例：解非线性方程,Jocobi矩阵,初值,迭代,非线性薛定谔方程