第二章-晶体衍射和倒格子

第二章晶体衍射和倒易点阵,为什么研究衍射？,用什么做为衍射源？,晶格常数的数量级是，由衍射的基本公式2dsin=n可知的数量级,人们通常利用光子衍射，中子衍射和电子衍射来研究晶体结构。衍射依赖于晶体结构和入射粒子的波长。如果光的波长为500nm，则被晶体单个原子弹性散射的波的叠加将给出通常的光折射。但是，当辐射的波长同晶格常数相当或小于晶格常数时，在与入射方向完全不同的方向上将出现衍射束。,晶格的周期性决定了晶格可作为衍射光栅。X光的波长可以小于晶体中原子的间距，所以，它是晶体衍射的重要光源。,1meV,1eV,1keV,1MeV,E,Infraredregime(IR),UVregime,X-ray,Gamma-ray,Wave-particledualityDescribedbyMaxwellsequationsaspropagatingelectricandmagneticfieldsinwavesoffrequencyandwavelength.DescribedbyquantumtheoryasquantizedbundlesofenergyE,(Photons).E=h=hc/,X-raysofenergy10keVcorrespondtolatticespacingof1.24.,Wave-particledualityEnergyE=P2/2M(MomentumP)deBrogliewavelength=h/P,NeutronsM=1.67x10-27kg,Electronsm=0.91x10-30Kg,WhenE=80meV,=1,WhenE=144eV,=1,几种衍射的比较,X射线衍射：XRD简易高效，晶胞参数能定准，但得到的是宏观平均信息，而且细节结构尤其是轻原子不能准确确定；中子衍射确定轻原子、同位素和磁性原子的细节信息上功能最强，但晶胞参数最不靠谱，而且使用不便，因为全世界能做中子衍射的单位屈指可数；电子衍射总能在微区细节上显神通，但晶胞参数等定量结果不能作为标准，而且电子衍射的制样困难，好的制样技术甚至比电镜操作本身更难以掌握。物质对电子的散射作用很强主要来源于原子核对电子的散射作用，远强于物质对X射线的散射作用，因而电子(束)穿透物质的能力大大减弱，故电子衍射只适于材料表层或薄膜样品的结构分析,LawrenceBragg,HenryBragg,布拉格父子简介1912年开始研究1913年3月制成第一台X射线分光计1913年底，布拉格父子已把晶体结构分析问题总结成标准步骤，形成了一门崭新的分析技术，小布拉格只有23岁。1915年父子二人同获诺贝尔奖，小布拉格是最年轻的获奖者,2.1Bragg衍射公式,2.1Bragg衍射公式,当观察点到晶体的距离，以及光源到晶体的距离比晶体尺寸大得多时，入射光和衍射光都可视为平行光线。我们以简单晶格（晶格常数相等）为例来讨论晶体衍射问题。,n称为衍射级数讨论1、波长的要求2、对于理想晶体，有103105个晶面对衍射有贡献3、上式不考虑基元的具体情况，只是将其看成一个点4、布拉格定理是晶格周期性的直接结果,晶体是由放在点阵阵点上的微观物体(离子、原子团)组成，x-ray与晶体物体的相互作用归结为组成晶体的原子或原子团中的电子对电磁波的散射。,当x-ray入射到晶体中时，每个离子或原子都将作为散射中心或着说作为新的子波源，以特定的波长和特定的方向将入射波再散射出去，当从各个散射中心来的散射波相长干涉时，将出现散射波的极大值，散射波的强度决定于每个晶胞中电子的数目和电子的分布。,2.2散射波振幅,衍射的两个问题衍射的方向问题（什么条件下有衍射，与晶体点阵参数等几何因素有关）振幅的问题（衍射强度的问题，与结构基元所代表的具体结构有关，如原子的性质、数目、位置及晶体的完整性）,1.周期函数的傅立叶分析晶体结构的特点在于平移对称性，晶体中任何两个用平移矢量联系起来的点都具有相同的物理性质。（+）=（），是代表如电荷密度、磁距密度、质量密度等局域性质的物理量，比如电子浓度n（）=n（+）,对于任何一个周期函数常常用来处理问题的方法是作傅立叶分析，看它由什么样的平面波分量组成，波矢的取值如何，这种处理方法是处理周期结构中波动过程的基本出发点。,考虑一个具有晶体点阵周期性的函数：的傅氏级数可用三角函数或指数函数来表示：=、为实数，为保证具有晶体点阵的周期性,。,写成指数函数的形式：=每一个指数项叫做一个傅里叶分量，是一个平面波。波矢量为：，p为整数（正、负和零）。,以上分析同样可用于三维情况，对：总可以找到一组波矢，将其展成傅氏级数这些波矢在空间的规则排列，构成三维倒易点阵以倒易点阵矢量为波矢的平面波具有周期性。（因为源函数是周期函数）,寻求,所有可能的对任意的晶格平移矢量都应该满足此条件,2.倒易点阵矢量（倒格矢）假定晶体点阵基矢为，倒易点阵基矢为，由下式定义：,这样定义的倒易点阵基矢和晶体点阵基矢有如下性质：同理：,用表示；表示则上式可写成：表明倒易点阵任一基矢和晶体点阵中的两基矢正交。,与正点阵相同，由倒易点阵基矢可以定义倒易点阵矢量（为整数），具有以上形式的矢量称为倒易点阵矢量，即倒易点阵平移矢量，同晶体点阵类似，倒易点阵就是由倒易点阵矢量所联系的诸点的列阵。,可以证明由此定义的倒易点阵矢量正是前面由周期函数傅氏级数中的波矢，即若，则即可用展成傅氏级数，用数学式子来表示就是：,证：若则,必有,故,傅氏级数中的波矢就是这里定义的倒易点阵矢量，故倒易点阵也就是由所联系的诸点的列阵，只要函数有平移不变性，就可以用倒易点阵矢量展成傅氏级数，或者说，一个函数如果具有晶体点阵周期性，它的傅氏级数中的波矢只能是倒易点阵矢量。,倒易点阵基矢由晶体点阵基矢定义，一个晶体点阵的倒易点阵是唯一的，尽管晶体点阵基矢有不同取法，倒易点阵基矢也不只一组，但一种晶体点阵只有唯一的一种倒易点阵与之对应。,倒易点阵（倒格子）是傅立叶空间中的点阵，倒易点阵的阵点告诉我们一个具有晶体点阵周期性的函数傅立叶级数中的波矢在波矢空间的分布情况，倒易点阵阵点分布决定于晶体点阵的周期性质，一个给定的晶体点阵，其倒易点阵是一定的，因此，一种晶体结构有两种类型的点阵与之对应：晶体点阵是真实空间中的点阵，量纲为L；倒易点阵是傅立叶空间中的点阵,量纲为L-1。,如果把晶体点阵本身理解为周期函数，则倒易点阵就是晶体点阵的傅立叶变换，所以倒易点阵也是晶体结构周期性的数学抽象，只是在不同空间(波矢空间)来反映,其所以要变换到波矢空间是由于研究周期性结构中波动过程的需要。,为什么倒空间(reciprocalspace)？,一个物理问题，既可以在正(实，坐标)空间描写，也可以在倒(动量)空间描写坐标表象r，动量表象k为什么选择不同的表象？适当地选取一个表象，可使问题简化容易处理。比如电子在均匀空间运动，虽然坐标一直变化，但k守衡，这时在坐标表象当然不如在动量表象简单这两个空间完全是等价的，只是一个变换,正(坐标)空间倒(动量)空间数学：(正)格子数学：倒格子观察：显微镜观察：X射线衍射,（1）基矢正交性正点阵基矢为倒易点阵基矢为则,3、倒易点阵的性质,（2）倒易点阵初基晶胞体积（3）倒易点阵的倒易点阵是晶体点阵本身即,（4）晶体点阵中一族点阵平面()，以此晶面指数为指数的倒易点阵矢量与这组晶面正交，并且面间距(即相邻平面之间的距离),证明：若离原点最近的()晶面在、三个晶轴上的截距为：、，只需证明则肯定垂直于（）平面。,=-=-=而=同理=0(),面间距就是或在法线方向的投影，法线方向就是的方向，此时原点也在()晶面族的某一个平面上，因此只要求出原点与()晶面之间的距离即可。,上面的结果表明了晶体点阵中的一族晶面可用倒易点阵中的一个阵点来表示(定义了倒易点阵中的一个阵点,也就是说这组平面的法线与面间距均可用来表示，这组晶面就是唯一确定了)。知道了的方向，晶面族的法线就确定，并且面间距也确定了，一个晶面族反映在倒易点阵中是一个阵点，就是以面指数为指数的倒易矢量:,研究衍射方法的改变,正因为如此,一个有晶体点阵的周期性的函数才能展成波矢为的傅氏级数,也就是说只有的波才有周期性,才能存在，而不是任意平面波都有周期性，只有的波才与晶体的周期性相协调。,（5）以倒易点阵矢量为波矢的平面波具有晶体点阵的周期性质以为波矢的平面波具有晶体点阵的周期性,既平移后平面波不变,因为因为,（6）倒易点阵由布拉菲点阵唯一确定。,（7）倒易点阵也是同一对称系的布拉菲点阵。hexagonalhexagonalSCSCBCCFCCFCCBCC,（8）倒易点阵基矢的量纲是长度-1，与正格子基矢的量纲成倒数。倒易点阵，倒格子倒易空间，波矢空间，傅立叶空间，动量空间,定理：一组倒易点阵矢量确定可能的x-ray反射(所谓x-ray反射是由各个方向的反射波发生相长干涉而来的)，所有的对应了可能的反射束。,4.劳厄衍射条件,考虑晶体中的体元距原点为，晶体中各个方向的散射波相长干涉时相差的两点间的散射波有一个波程差与位相差设散射是弹性散射，即，则入射波的波程差，散射波的波程差，由于有这样一个波程差，相应的位相差为入射波：散射波：总的位相差：相距两点的散射波相差的相因子为：,对于x-ray的衍射来说，散射波的振幅与体元中的电子数(或电子浓度)成正比，从位于处体元的散射振幅正比于，为电子浓度，考虑到位相差与原点处位置的差别，则散射振幅(未考虑比例因子)在整个晶体中散射波的振幅为：这也就是整个晶体对散射波振幅的贡献。,为方便起见，引入，称为散射矢量，即散射过程中波矢的改变量，则整个晶体对散射波振幅的贡献为：是具有晶体点阵周期性的函数。可把展成傅氏级数：(把展成了傅氏级数)代入上式得:,因此，F=,Laue衍射条件，也即各阵点的散射波相长干涉的条件,若对散射矢量进行扫描（连续改变入射波矢）,也就是让依次等于一个倒易点阵矢量,可得到一系列反射束,由此可得到倒易点阵的映象。这也就是一开始所说的定理：一组倒易点阵矢量确定可能的x-ray反射，即：,见习题四,研究衍射的新思路！找劳厄衍射条件，满足的有衍射！逐项分析！,对于弹性散射()上式两边平方得：或由于是倒易点阵矢量，-也是倒易点阵矢量，所以上式可写成这就是周期结构中各阵点弹性散射波的相长干涉条件，这个条件不限于x-ray，对其它波也同样适用。,实际上弹性散射的Laue衍射条件就是Bragg定理在倒易空间的表现形式。由而，（这里的不是最短的）由图：则代入,2dsin=nBraggresult,在Laue衍射条件中的对应的散射峰(Bragg峰)可看作与垂直的晶面组的Bragg反射，出现在Bragg定理中的反射级正好是与最短的之间的倍数。如衍射条件满足时：代表（100）面的一级反射代表（100）面的二级反射代表（110）面的一级反射代表(110)面的二级反射,Laue衍射条件的另一种表达形式是Laue方程,DiffractionconditionReciprocallatticevectorand,Laue方程意思是：应在以为轴的锥面上，夹角是一个恒定值，同理也应在以、为轴的锥面上，即应同时落在三个圆锥面的交线上。当对连续扫描使就得到一个反射束的极大值，x-ray实验方法正是利用了这个原理。,讨论：vonLaue方程的物理图象非常清楚。对Bragg定律提出的所有疑问全都迎刃而解，或在此基础上全都可以解决，而Bragg定律实际上只是vonLaue方程中满足衍射极大的条件特例。注意：当时量子力学还未完全建立，但是vonLaue方程物理图象就是在今天看来也是正确的。X射线被电子在各个方向散射，由于原子核的周期性排列的，围绕着原子核的电子也可以被认为是周期性分布的，所以在某些方向上，散射波相消干涉；在某些方向上，散射波相长干涉，产生衍射极大。,2.3布里渊区（BrillouinZone）,第一布里渊区定义为倒易空间中的WS原胞（威格纳-赛兹原胞）。作WS晶胞时的中垂面称为Bragg平面（布里渊区界面）。,1、布里渊区的定义和意义,布里渊区是Laue衍射条件的几何表示法。引进布里渊区的意义在于它给晶体衍射提供了生动、清晰的几何解释，给晶体散射、能带等理论模型的表述和理解提供了方便。,从原点出发最小的布里渊区称为第一布里渊区(或从原点出发不穿过任何Bragg平面所能到达的区域)。从第一布里渊区出发，只穿过一个中垂面(不包括第一BZ)所能到的达区域称为第二布里渊区(因为波矢空间被中垂面分成了一块块的区域)。以此类推，从第n个BZ出发只穿过一个Bragg平面所能到达的不包括n-1个BZ区的那个区域称为第n+1BZ各级BZ有相同的体积，边界是Laue衍射条件的几何表示法。,2DObliqueLattice,Realspace,Reciprocalspace,Brillouimzone-givesgeometricalinterpretationofthediffractioncondition,mustlineonbisectionofGvectorBrillouimzonesurfacedescribesallkvectorsthatareconstructivelydiffractedbythecrystal.,1)点阵常数为a的一维点阵正点阵基矢为不能用定义来求，要用正交关系，倒易点阵的基矢为（利用），倒易点阵矢量为为整数，点阵常数为的一维点阵的倒易点阵是点阵常数为的一维点阵。,2.几种简单点阵的第一布里渊区,2)点阵常数为的二维正方点阵,二维正方点阵的基矢为:、，倒易点阵的基矢可用正交关系求得：，它是一个点阵常数为的二维正方点阵，倒易点阵矢量,k(1/2G)=(1/2G)2,各级布里渊区,3)点阵常数为a的简单立方点阵,CrystallatticePrimitivetranslationvectors:Volume=a3,ReciprocallatticePrimitivetranslationvectors:,点阵常数为2/a的简单立方点阵，倒易点阵矢量,4)点阵常数为a的体心立方点阵,CrystallatticePrimitivetranslationvectors:Volume=a3/2,ReciprocallatticePrimitivetranslationvectors:点阵常数为4/a的面心立方点阵,倒易点阵为点阵常数为4/a的fcc点阵,Theseshortest:,正菱形十二面体,Thevectorsfromorigintothecenterofeachfaceofthezone,FirstBrillouinZone：BCC,5)点阵常数为a的面心立方点阵,CrystallatticePrimitivetranslationvectors:Volume=a3/4,ReciprocallatticePrimitivetranslationvectors:点阵常数为4/a的体心立方点阵,倒易点阵为点阵常数为4/a的bcc点阵,Theseshortest:,Corners:,截角八面体(十四面体),FirstBrillouinZone：FCC,在14种布拉菲点阵中，只有四种点阵的正点阵与倒易点阵不同，这四种点阵是：体心立方面心立方面心立方体心立方体心正交面心正交面心正交体心正交其他的点阵、正点阵与倒易点阵的对称操作相同，点对称性不变，倒易点阵的类型与正点阵相同。,2.4结构基元的傅里叶分析,无论采取哪种方法，是满足衍射条件的基本根据，当衍射条件满足时，各阵点来的散射波发生相长干涉(即散射波位相相同)。若每个阵点上是一个单个原子，问题比较简单；若阵点上不是单个原子，而是一个基元，那么问题就比较复杂，这时基元中的每一个原子都会成为点散射中心，基元中的各原子的散射又会发生相互干涉，此时就要考虑基元中各原子的散射波的相互干涉问题。,Laue衍射条件只是考虑了各阵点上散射波的相长干涉条件，因而对一定的晶体结构，可能会出现尽管Laue条件满足，而由于基元中各原子散射波之间发生相互干涉而使得总散射波强度为零的情况，所以要对基元内部作傅立叶分析。,基元的几何结构因子就是考虑在衍射条件满足时，即时，基元内各原子散射波的相互干涉情况以及对总散射波的贡献，我们从散射波振幅的表达式入手当衍射条件满足时，上式可写成,式中应当是晶体中各原子在点处对电子密度贡献之和，如一个二维点阵，原点在顶角上，晶胞中的所有原子组成一个基元，表示晶胞中第个原子相对于晶胞顶角的位矢，而阵点的位矢为，空间任一点处的电子浓度应是所有原子在这一点处电子浓度贡献之和，即：,相当于晶胞中第个原子相对于原点的位矢，相当于空间任一点与的位矢，将上式代入散射振幅表达式中可得：为求，需作变数变换,令于是,=且对求和，就等于晶胞数，则令称为原子的形状因子或原子的散射因子，则令称为基元的几何结构因子，则,代表一个基元(或一个晶胞)里面的各个原子的散射波相互干涉的结果对总散射波振幅的影响。如果基元中的原子配置使得=0，则基元中无散射波发出，也就是说，此时虽然从点阵的角度来看Laue衍射条件是满足的，但基元中无散射波，则空间点阵的衍射要消失，这就是所谓的消光，衍射谱线消失的规律称为消光规律，可用来分析基元中的原子的排列，决定基元中各原子的相对位置、原子的种类和倒易点阵矢量。,由于基元中的原子的位矢可用基矢表示：且1因此可得基元结构因子的表达式为：为基元中的原子数。,1.体心立方结构的选用立方惯用晶胞，即sc点阵，基元中有两个原子，原子坐标分别为（000）、（），若为同种原子，则利用=通常也写作,当=奇数时，此时=0消光当=偶数时，此时=如金属钠为体心立方结构，x-ray衍射不存在（100）、（300）、（111）等谱线，而存在（200）、（110）、（222）等谱线。,2.面心立方结构的仍选用sc点阵，用立方晶轴，基元中有四个原子，坐标为：（000）、（）、（）则：=,当、均为偶数时=4当、均为奇数时=4当、奇、偶均有时=0如（111）、（200）反射时是允许的，而（110）、（100）等反射是不允许的。,原子形状因子晶体物质对x-ray的作用归根结底是晶体中的电子对x-ray的散射，是各阵点的散射波的相长干涉条件=，前面讲过基元结构因子中有一个()，称为原子形状因子，表示第个原子的散射能力。,若原子中的电子是任意分布的，则原子形状因子的计算较复杂，但对一些特殊情况，我们还可以进行分析，若原子的电子密度的分布是球对称的，可选择一个坐标轴，使得在Z的方向，换用球坐标体积元,即若原子的各部分的电子密度集中于球心上，可看作函数，原子各部分的电子密度集中于球心上，就意味着在处集中了同样的总电子密度，那么只有对被积函数才有贡献。,又因为则点电荷的原子形状因子就等于它的原子序数，无论被积函数是什么样的函数，是原子的总电子数。,实际上散射波的振幅表达式中是一个电子的散射波对总散射波振幅的贡献为单位进行度量的，是与散射波振幅成正比的量，并非真正的散射波振幅，若一个点电荷对散射波振幅的贡献是，则是与散射波振幅成正比的量。,原子的形状因子是原子的散射波振幅与一个点电荷电子散射波振幅之比，就表示原子的散射是一个电子散射波的倍，实际上是的傅立叶变换。,在这里要特别注意零结构因子的物理意义，即基元中各原子的相对位置使得各衍射波相消，此时，尽管Laue衍射条件满足，但从基元中没有散射波发出，空间点阵的反射就会消失，相应的衍射谱线就不会出现，根据零结构因子可以分析基元的组成。,代表一个基元(或一个晶胞)里面的各个原子的散射波相互干涉的结果对总散射波振幅的影响。如果基元中的原子配置使得=0，则基元中无散射波发出，也就是说，此时虽然从点阵的角度来看Laue衍射条件是满足的，但基元中无散射波，则空间点阵的衍射要消失，这就是所谓的消光，衍射谱线消失的规律称为消光规律，可用来分析基元中的原子的排列，决定基元中各原子的相对位置、原子的种类和倒易点阵矢量。,实际上散射波的振幅表达式中是一个电子的散射波对总散射波振幅的贡献为单位进行度量的，是与散射波振幅成正比的量，并非真正的散射波振幅，若一个点电荷对散射波振幅的贡献是，则是与散射波振幅成正比的量。,结构因子：晶胞的散射本领,原子形状因子：原子的散射本领,2.5Ewarld球和晶体衍射主要实验方法（参考孙会元或者闫守胜的教材）,椐Laue衍射条件，Ewarld提出简单构图法(Ewarld球）当且仅当倒易点阵的阵点落在反射球面上时，满足Laue衍射条件，可得到加强了的反射波，而球内或球外的点都不满足Laue衍射条件。,1、劳厄法,x,z,y,单晶体（固定）,连续谱X射线,平面底片,平面底片,连续谱X射线投射到固定晶体上，满足劳厄方程时，在平面底片上出现衍射斑点。,若X射线入射方向与晶体对称轴平行，则衍射斑点将具有与该轴同样的对称性。主要用于判断晶体的对称性和确定晶体的取向。,从Ewarld球来看,2、旋转晶体法,单晶,筒形衍射屏,准直仪,X光管,单色X射线投射到晶体，转动晶体，实际是改变夹角以获得衍射。这种方法可用于结构分析。,3、粉末法,准直仪,X光管,衍射锥,多晶粉末样品,单色X射线照射粉末或多晶体样品（粉末晶粒压成、样品固定）。由于样品中晶粒方向随机分布，所以同一晶面系的空间取向是多种多样的，容易达到布拉格衍射极大条件。,粉末法的特点：对样品要求不高，实验容易，速度快，获得的信息多。主要用于物相分析和点阵常数的测定。,第二章内容提要,倒易点阵和倒易点阵矢量倒易点阵（倒格子）的定义、初基平移矢量倒易点阵矢量（倒格矢）G倒易点阵与晶体点阵的关系倒易点阵矢量与晶面指数的关系布里渊区（BZ），第一BZ（倒易点阵的WS晶胞）晶体衍射的基本知识,衍射条件的几种等价表示Bragglaw2dsin=nLaueDiffractionconditionLaueequationsBrillouinzone,基元的几何结构因子,Example,3.衍射极大宽度。(习题4）,1.二维晶体点阵a=1.25,b=2.50，夹角120度，求倒易点阵基矢,2.证明：（1）点阵平面上的阵点密度（2）bcc点阵阵点密度最大的点阵平面是110面，fcc点阵阵点密度最大的点阵平面是111面.,习题例1、金属W，经X射线分析，属立方晶系。晶胞参数为,求晶胞中的原子个数，原子分数坐标，并确定其点阵型式,解：,Z=晶胞质量/每个原子质量,晶胞中的原子个数为2，点阵型式属立方I（如图）,原子分数坐标：（0，0，0），（1/2，1/2，1/2）,例2、试证具有底心点阵结构的晶体，当H+K为奇数时产生系统消光。,证：,如图具有底心点阵结构的晶胞占点为2，原子分数坐标（0，0，0）（1/2，1/2，0）,衍射强度,结构因子,讨论：1、当H+K=偶数,出现衍射,2、当H+K=奇数,衍射不出现,由此证明当（H+K）为奇数时，产生系统消光。,例4证明体心立方点阵得倒（易）点阵是面心立方点阵。反之，面心立方点阵的倒易点阵是体心立方。,其中a是立方晶胞边长，是平行于立方体边的正交的单位矢量。初基晶胞体积,证明选体心立方点阵的初基矢量如图所示,根据倒易点阵基矢定义公式计算倒易点阵基矢,于是有显然正是面心立方点阵的初基矢量，故体心立方点阵的倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是。,同理对面心立方点阵写出初基矢量,初基晶胞体积根据倒易点阵基矢定义公式计算倒易点阵基矢显然，正是体心立方点阵的初基矢量，故面心立方点阵的倒易点阵为体心立方点阵，其立方晶胞边长是。,例5二维倒易点阵一个二维晶体点阵由边长AB4，AC3，夹角BAC的平行四边形ABDC重复而成，试求倒易点阵的初基矢量。,由得到下面四个方程式,解法之一,由式（1）得：由式（2）得：即解得,由式（3）得：代入式（4）得:于是得出倒易点阵基矢,选取为方向得单位矢量，即令于是初基晶胞体积为倒易点阵基矢为,解法之二,对二维点阵，仅取两个方向，于是得,例6体心立方结构和面心立方结构的结构因子有时为了方便，我们把立方晶体惯用晶胞中的原子选作基元，把体心立方和面心立方结构用简单立方点阵来描写，求相应的基元的几何结构因子。说明考虑到消光规律后，这种处理方法得到的X射线反射谱与直接把体心立方、面心立方考虑为布喇菲点阵所得到的结果是完全一样的。,例6体心立方结构和面心立方结构的结构因子有时为了方便，我们把立方晶体惯用晶胞中的原子选作基元，把体心立方和面心立方结构用简单立方点阵来描写，求相应的基元的几何结构因子。说明考虑到消光规律后，这种处理方法得到的X射线反射谱与直接把体心立方、面心立方考虑为布喇菲点阵所得到的结果是完全一样的。（a）体心立方结构体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点阵处理，其倒易点阵是面心立方点阵，立方晶胞边长是。相应于这个面心立方点阵的倒易点阵矢量G所给出的波矢改变，都有劳厄衍射峰出现。但是，为了方便，人们常把体心立方结构考虑为一个带有两格点的基元的简单立方点阵，基元中两格点的坐标为。从这个观点来看，倒易点阵仍然是简单立方点阵，立方晶胞边长为。根据衍射条件，当DK等于这个简单立方倒易点阵的G时，都可能有劳厄衍射的峰值。但是，既把体心立方结构考虑为带有基元的简单立方点阵，就必须相应地处理基元的几何结构因子，计入结构因子对散射波振幅的影响。,其中是基元中第j个原子的坐标是简单立方点阵的初基矢量,是简单立方点阵的倒易点阵矢量,将和的表达式代入式（1）中得到,体心立方结构作为简单立方点阵处理时，基元包含两个全同的原子，它们的位置是，即，即,而原子的形状因子,将以上关系式代入式（2）中，就得到体心立方结构的结构因子,在简单立方倒易点阵中，去掉那些奇数的点（在这些点，由于从基元中两个原子来的散射波相互抵消的结果，使散射波的总振幅为零，于是相应的反射消失），剩下的正好是一个面心立方点阵，其立方晶胞边长为，如下页所示。当波矢改变DK等于这个面心立方倒易点阵的G时，才有实际上的劳厄衍射峰出现。由以上的分析看出，体心立方结构可以直接用体心立方布喇菲点阵处理，也可以作为带有基元的简单立方点阵处理，所得的X射线反射谱是完全相同的。,在简单立方倒易点阵中，去掉结构因子为零的点（），剩下的点（）正好是一个面心立方点阵，其立方晶胞边长为。,（b）面心立方结构面心立方结构可以直接用面心立方布喇菲点阵处理，倒易点阵为体心立方点阵，立方晶胞边长为。与其倒易点阵矢量G相应的波矢改变DK都有衍射峰出现。但是，为了方便，我们有时把面心立方结构用简单立方点阵处理，相应的基元包含四点：。这样处理后，相应的倒易点阵是简单立方点阵，立方晶胞边长为。,需要注意的是，必须同时计入基元的结构对散射波振幅的影响，计算得到面心立方结构的结构因子为,全为奇数，,全为偶数，,部分为奇数，部分为偶数。,当指数部分为奇数或部分为偶数时，结构因子