集合与映射PPT课件

.,1,2线性空间的定义与简单性质,3维数基与坐标,4基变换与坐标变换,1集合映射,5线性子空间,7子空间的直和,8线性空间的同构,6子空间的交与和,第六章线性空间,6.1集合映射,.,2,一、集合,二、映射,6.1集合映射,6.1集合映射,.,3,一、集合(set),把一些事物汇集到一起组成的一个整体就叫做集合；,常用大写字母A、B、C等表示集合；,当a是集合A的元素时，就说a属于A，记作；,当a不是集合A的元素时，就说a不属于A，记作.,1、定义,组成集合的这些事物称为集合的元素（element）,用小写字母a、b、c等表示集合的元素,6.1集合映射,.,4,关于集合没有一个严谨的数学定义，只是有一个描述性的说明集合论的创始人是19世纪中期德国数学家康托尔（GCantor），他把集合描述为：所谓集合是指我们直觉中或思维中确定的，彼此有明确区别的那些事物作为一个整体来考虑的结果；集合中的那些事物就称为集合的元素即，集合中的元素具有：确定性、互异性、无序性.,注意,6.1集合映射,.,5,集合的表示方法一般有两种：描述法、列举法,描述法（description）：,列举法（enumeration）：,Mx|x具有性质P,Ma1，a2，an,把构成集合的全部元素一一列举出来.,给出这个集合的元素所具有的特征性质.,6.1集合映射,.,6,例1,例3,空集：不含任何元素的集合，记为,注意,约定：空集是任意集合的子集合.,6.1集合映射,.,7,2、集合间的关系,如果B中的每一个元素都是A中的元素，则称B是A的子集（subset），记作，（读作B包含于A）.,当且仅当,如果A、B两集合含有完全相同的元素，则称A与B相等，记作AB.,AB当且仅当且,6.1集合映射,.,8,3、集合间的运算,交：；,并：；,显然有，,6.1集合映射,.,9,二、映射,设M、M是给定的非空集合，如果有一个对,应法则，通过这个法则对于M的每一个元素a，,都有M中一个确定的元素a与它对应,则称为,称a为a在映射下的象（image），而a称a在,M到M的映射（mapping），记作.,1、定义,映射下的原象（inverseimage），记作(a)a,或,6.1集合映射,.,10,1.设映射,集合,称之为M在映射下的象，通常记作Im,2.集合M到M自身的映射称为M的一个变换,显然，,注意,6.1集合映射,.,11,例4M是一个集合，定义I：,I(a)a，,即I把M上的元素映到它自身，I是一个映射，,都是实数集R到自身的映射，,称I为M上的恒等映射（identitymapping）或,即，函数可以看成是映射的一个特殊情形,单位映射,6.1集合映射,.,12,2、映射的乘积,设映射，,即相继施行和的结果，是M到M的一个,映射,乘积,定义为：,6.1集合映射,.,13,1.对于任意映射，有,有,注意,6.1集合映射,.,14,3、映射的性质,设映射,（surjection）或称为映上（onto）的；,，使，则称是M到M的一个满射,6.1集合映射,.,15,（3）若既是单射，又是满射，则称为双射（bijection）,（或称为1-1对应）.,则称是M到M的一个单射（injection）或称,（2）若M中不同元素的象也不同，即,为1-1（onetoone）；,6.1集合映射,.,16,例6判断下列映射的性质,（1）Ma，b，c、M1,2，3,：(a)1，(b)1，(c)2,（既不单射，也不是满射）,：(a)3，(b)2，(c)1,（2）M=Z，MZ，,：(n)|n|1,（是满射，但不是单射）,：(A)|A|，,（是满射，但不是单射）,（双射）,6.1集合映射,.,17,：(a)aE，,（是单射，但不是满射）,：(a)a0，,（既不单射，也不是满射）,（6）MMPx，P为数域,：(f(x)f(x)，,（是满射，但不是单射）,（5）M、M为任意非空集合，为固定元素,6.1集合映射,.,18,（7）M是一个集合，定义I：,I(a)a，,（8）M=Z，M2Z，,：(n)2n,（双射）,（双射）,6.1集合映射,.,19,4、可逆映射,使得,则称为可逆映射（invertiblemapping），为的,的逆映射是由唯一确定的,记作1,逆映射，,6.1集合映射,.,20,1.若为可逆映射，则1也为可逆映射，且（1）1,注意,则有,3.为可逆映射的充要条件是为1-1对应,6.1集合映射,.,21,即,为可逆映射,则是一个M到M的映射,且对,6.1集合映射,.,22,即,所以为满射.,即为单射.,所以为1-1对应,反之，设为可逆映射，则,6.1集合映射,.,23,（1）如果h是单射，那么f也是单射；,这与h是单射矛盾，f是单射,证：若f不是单射，则存在,于是有,6.1集合映射,.,24,（2）如果h是满射，那么g也是满射；,证：,6.1集合映射,.,25,（