第三章 扭转

第三章扭转(Torsion),3-1工程实际中的扭转问题,扭转构件的受力特点：构件两端受到两个在垂直于轴线平面内的力偶作用，两力偶大小相等，转向相反。变形特点：各横截面绕轴线发生相对转动，任意两横截面间产生相对的角位移（扭转角）,3-2扭转时的内力,1、外力偶矩(Torsioncouple)的计算,电机传递扭矩转动机器,匀速转速n转/分钟输出功率Pk千瓦求外力偶矩m,m,解:,出发点计算一分钟的功W,从扭矩看,从电机看,两式得扭矩,m,2、扭矩(Torsiontorque),杆扭转时，其横截面上的内力，是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩称为扭矩,扭矩的符号确定：采用右手螺旋法则，如果以右手四指表示扭矩的转向，则姆指指向截面离开截面时的扭矩为正；反之，姆指指向截面时则扭矩为负。,扭矩图(Torsiontorquegraph),方法：取一直角坐标系，令横坐标平行于轴的轴线，表示横截面的位置，纵坐标表示扭矩的代数值，然后将各横截面的扭矩按代数值标注于坐标上，即得此轴的扭矩图。,附例：一传动轴如图，转速；主动轮输入的功率P1=500kW，三个从动轮输出的功率分别为：P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW。试作轴的扭矩图。,解：1.计算作用在各轮上的外力偶矩,2.计算各段的扭矩,BC段内：,AD段内：,3.作扭矩图,由扭矩图可见，传动轴的最大扭矩Tmax在CA段内，其值为9.56kNm。,思考：如果将从动轮D与C的位置对调，试作该传动轴的扭矩图。这样的布置是否合理？,例3-1图所示为一装岩机的后车轴，已知其行走功率Pk=10.5kW，额定转速n=680r/min，机体上的载荷通过轴承传到轴上，轴承与车轴间的摩擦可略去不计，试画出车轴的扭矩图,7N.m,3-3薄壁圆筒的扭转,1、薄壁圆筒扭转时的应力,当变形不大时，有以下现象：（1）圆周线的形状和大小不变，两相邻圆周线发生相对转动，它们之间的距离不变；（2）各纵向平行线仍然平行，但都倾斜了一个角度，由纵向线与圆周线所组成的矩形变成菱形。,单元体,纯剪切,2、切应力互等定理(Reciprocaltheoremofshearstresses),切应力互等定理：两互相垂直截面上在其相交处的切应力成对存在，且数值相等而符号相反（共同指向或背离交线）。,切应力的符号：产生顺时针方向转动趋势，切应力为正；逆时针方向转动趋势，切应力为负。,3、剪切胡克定律,剪切胡克定律：当切应力不超过材料的剪切比例极限(p)时，切应力与切应变之间成正比关系。,G为材料的剪切弹性模量，单位Pa,在剪切力的作用下，单位体的直角将发生微小的改变，这个直角的改变量称为切应变。,3-4圆轴扭转时的应力和变形,1、圆轴扭转时的应力（1）变形几何关系圆轴的扭转变形,切应变：,为圆轴表面处单元体的切应变,在距离轴线为的地方，矩形EFGH变形到EFGH，则相当于半径为的一层薄壁圆筒其切应变为：,（a）,切应变与该处到轴线的距离成正比，距离轴线越远，切应变越大，在圆轴表面处的切应变最大。,（圆轴横截面上，切应变随半径的变化规律。）,（2）应力应变关系,（b）,（c）,横截面上任一点处切应力的大小与该点到圆心的距离成正比。,（3）静力学关系,设距圆心处的切应力为，如在此处取一微面积dA，则此面积上的微剪力为dA。各微剪力对轴线之矩的总和，即为该截面上的扭矩,（d）,只决定于横截面的形状和大小的几何量，称为横截面对形心的极惯性矩，可用IP表示，单位cm4,表明扭矩T愈大，单位长度扭转角愈大；在扭矩一定的情况下，GIP愈大，单位长度的扭转角愈小，GIP反映了圆轴抵抗扭转变形的能力，称为圆轴的抗扭刚度。,（3-6）,横截面任一点处的切应力为：,T：横截面上的扭矩；：横截面上任一点到圆心的距离；IP：横截面对形心的极惯性矩。,（3-7）,例3-2一轴AB传递的功率为Pk=7.5kW，转速n=360r/min。轴的AC段为实心圆截面，CB段为空心圆截面。已知D=3cm，d=2cm，试计算AC段横截面边缘处的切应力和CB段横截面上外边缘和内边缘处的切应力。,解：(1)计算扭矩轴所受的外力偶矩为：,各截面上的扭矩均为：,(2)计算极惯性矩：AC段与CB段分别为,2、圆轴扭转时的变形,当扭矩为常数时，距离为l的两横截面间的扭转角则为：,T：横截面上的扭矩；l：两横截面间的距离；G：材料的剪切弹性模量；IP：横截面对形心的极惯性矩。,（3-10）,扭转角与扭矩和圆轴的长度成正比，与圆轴的抗扭刚度成反比。,附题1图示传动轴系钢制实心截面轴。已知：m1=1592N.m，m2=955N.m，m3=637N.m。截面A与截面B、C间的距离分别为lAB=300mm和lAC=500mm。轴的直径d=70mm，钢的剪切模量G=800GPa。试求截面C对B的扭转角。,方法一:解：（1）计算扭矩由截面法，I、II两段内的扭矩分别为TI=955N.m，TII=-637N.m。,（2）计算极惯性矩,（3）计算C对B的扭转角，可假想截面A固定不动，分别计算截面B、C相对于截面A的扭转角AB，AC,由于假想截面A固定不动，故截面B、C相对于截面A的相对转动应分别与扭转力偶矩m2、m3的转向相同，从而AB，AC的转向相同，由此，截面C对B的扭转角BC为：,其转向与扭转力偶m3相同。,方法二：若假设B截面不动，在所研究的线弹性范围内和小变形条件下(why?)，可利用叠加法。先分别求出m1、m3单独作用下，C截面相对于B截面的扭转角，然后叠加，即：,其转向与扭转力偶m3相同。,作业：3-33-53-6,3-5圆轴扭转时的强度和刚度计算,1、强度计算,在截面的周边上，即当=max=r时，有最大切应力：,称为抗扭截面系数，单位为cm3,IP：横截面对形心的极惯性矩,横截面的抗扭截面系数Wt：,（1）实心圆截面：,（2）空心圆截面：,2、刚度计算,扭转构件应满足刚度条件：,（3-16）,（3-17）,例3-3已知解放牌汽车主传动轴传递的最大扭矩T=1930N.m，传动轴用外径D=89mm，壁厚=2.5mm的钢管做成。材料为20号钢，其许用应力=70MPa。校核此轴的强度。,解：（1）计算抗扭截面系数,如果传动轴不用钢管而采用实心圆轴，并使其与钢管有同样的强度（即两者的最大应力相同），则由,可见，采用钢管时，其重量只有实心圆轴的30%，耗费的材料要少得多。,保证焊接质量,例3-45吨单梁吊车，大梁的行走机构如图示。已知电动机功率Pk=3.7kW,经减速后车轴的转速为n=32.6r/min。试选择传动轴CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，其许用切应力=40MPa，剪切弹性模量G=80 x103MPa，许用扭转角=1（）/m。,（2）计算轴的直径由强度条件得,（3）校核轴的刚度由刚度条件，轴每米的扭转角为：,选取轴的直径d=45mm,例3-5一传动轴如图示。已知轴的直径d=4.5cm，转速n=300r/min。主动轮输入的功率PA=36.7kW；从动轮B、C、D输出的功率分别为PB=14.7kW、PC=PD=11kW。轴的材料为45号钢，G=80X103MPa，=40MPa，=2()/m，试校核轴的强度和刚度。,解：（1）计算外力偶矩得：,（2）画扭矩图，求最大扭矩，用截面法求得AB、AC、CD各段的扭矩分别为：,（3）强度校核按强度条件,满足强度条件,非圆截面杆扭转,非圆截面杆扭转时，截面发