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文档简介

专题三：向量法求距离,平行线间的距离,ab,异面直线间的距离,a、b是异面直线,d是a与b的距离。,直线和平面的距离,aa,d是a与a的距离。,平行平面间的距离,a,d是a与的距离。,1.空间两点间距离,已知A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),其中dA,B表示A与B两点间的距离，这就是空间两点间的距离公式。,2.点到平面的距离,已知AB为平面a的一条斜线段,求证:A到平面a的距离,B,证明：,设C点为A在平面内的射影。,BAC=,或BAC,cosBAC=,A到平面a的距离,AC=ABcosBAC,=,=,3.直线和它平行平面的距离,已知直线a平面,求a到平面的距离,解：因a上的任意一点到平面的距离都相等。,所以直线和它平行平面的距离转化点到面的距离,在a和平面上分别任取一点A和B,直线a和它平行平面的距离为,例1如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E、F分别是A1B1、CD的中点,求点B到截面AEC1F的距离。,解：以D为原点,如图所示建立直角坐标系。,则A(1,0,0),设面AEC1F的法向量为,=(1,),=(1,2,1),=(0,1,0),所以B点到截面AEC1F的距离为：,3.异面直线间的距离,已知异面直线a、b,求a、b之间的距离。,解：过b上任一点P,作aa,不妨令a、b确定的平面为,a,异面直线a、b之间的距离,转化直线a和它平行的平面之间的距离,可在a上任一点A,b上任一点B,a、b之间的距离,aa,a,b,所以在求两条异面直线的距离时,只需在两条异面直线a、b上,分别任取一点A、B。,设与a、b的方向向量都垂直的,异面直线间的距离,a、b之间的距离,例1在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线A1C1与B1C的距离。,C,1,D,B,A,解：如图所示建立直角坐标系，则,A1(1,0,1),C1(0,1,1),B1(1,1,1),C(0,1,0).,=(1,1,0),=(1,0,1),取x=1得,又,=(0,1,0),A1C1与B1C的距离,C1,D,4.两个平行平面间的距离,A、B分别是a、上的任意点，,例2如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中,(1)求证：平面A1BD平面CB1D1；(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离。,(1)证明：,矩形A1BCD1,A1BD1C,矩形DBB1D1,D1B1BD,A1B,BD平面A1BD,A1BBD=B,D1C,D1B1平面CB1D1,平面A1BD平面CB1D1,(2)求平面A1BD和平面CB1D1的距离。,解：如图所示建立直角坐标系。,令平面A1BD的法向量为,D(0,0,0),A1(a,0,a),D1(0,0,a).
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