2015数学基础教程线代部分答案及详解

1 2015 年考研数学基础教程线性代数答案2015 年考研数学基础教程线性代数答案 第一章第一章 行列式行列式 【例例 1】计算下列行列式的值： 2 1 11 xx xx + . 【解解】 23 2 1 (1)(1)()1 11 xx xxxxxx xx =+ =+ + . 【例例 2】计算下列行列式的值： （1） 3406 78010 59013 11 12014 （2） 4567 0123 0028 0005 （3） 710820930670 111222333888 710820930670 1234 【解】 （1）因第三列元素全为 0，故 3406 78010 0 59013 11 12014 =； （2）上三角行列式，故 4567 0123 40. 0028 0005 = （3）因第 1 行与第 3 行的对应元素相同，故 710820930670 111222333888 0. 710820930670 1234 = 【例例 3】计算下列行列式的值： 2141 3121 1232 5062 . 【解解】 2141 3121 0 1232 5062 =. 2 【例例 4】计算下列行列式的值： 22011 32928 1955 . 【解解】分析发现，第二列元素均为三位数，但均接近于百位整数。所以利用性质 5 计算比较 方便. 220112200 1122001211 3292833008833008388 195511005511005155 + =+ + 2200121122121 11 330083881003383888 110051551151555 =+=+ + 22121 11201 1003383888100 0308000 1151555105 =+ += +=+= 【例例 5】n阶行列式_ 000 000 0000 000 000 = ab ba a ba ba ? ? ? ? ? ? . 【解解】此n阶行列式第一列的n个元素中只有两个非零元素，所以将所给行列式按第一列 展开，得 ba ba ba b b a ba ba ba aD n ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 000 000 000 0000 ) 1( 0000 000 000 000 1+ += nnnnnn babbaa 1111 ) 1() 1( + +=+= 【例例 6】计算四阶行列式 1111 2314 49116 827164 D = . 【解解】由范德蒙行列式 3 2222 3333 1111 2314 ( 42)(1 2)(32)( 43)(1 3)( 4 1) 231( 4) 231( 4) 420. D = = 【例例 7】计算四阶行列式 3333 1234 2222 11223344 2222 1 1223 344 3333 1234 aaaa a ba ba ba b D aba ba ba b bbbb = （其中 4321 ,aaaa均不为 0） 【解解】由范德蒙行列式 3 4 4 3 3 3 3 2 2 3 1 1 2 4 4 2 3 3 2 2 2 2 1 1 4 4 3 3 2 2 1 1 3 4 3 3 3 2 3 1 1111 = a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b aaaaD = 3 3 4 4 2 2 4 4 2 2 3 3 1 1 4 4 1 1 3 3 1 1 2 23 4 3 3 3 2 3 1 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b aaaa. 【例例 8】五阶行列式 5 43000 14300 01430 00143 00014 D = 的值为_. 【解】 543 43003000 14301430 443 01430143 00140014 DDD= 于是 235 54433221 3()3 ()3 ()3DDDDDDDD= 则 545345345 5432 33333313333364DDDD=+=+=+=+= 【例例 9】计算n阶行列式 4 n Dn 0001 000 00301 00021 1110 ? ? = 【解】 10001 000 00101 00011 1 3 1 2 1 0 432 ? ? ? n nDn= 10000 000 00100 00010 1 3 1 2 11 3 1 2 1 ) !( ? ? nn n =!) 1 3 1 2 1 (n n +=? 【例例 10】四阶行列式 11 22 33 44 00 00 00 00 ab ab ba ba 的值等于( ) （A） 1 2 3 41 2 3 4 a a a ab b b b （B） 1 2 3 41 2 3 4 a a a ab b b b+ （C）)( 43432121 bbaabbaa（D）)( 41413232 bbaabbaa 【解解】应选 D。解法一： 原式=).)() 1( 32324141 33 224141 44 11 bbaabbaa ab ba ab ba = + 解法二： （特殊值法）令).()(, 0 3232411 bbaaaaDb=原式可得经比较，选项（A） ， （B）和（C）全错误，只有（D）正确。 解法三：也可以将行列式按第一行展开。但此法计算量略大些，请读者自己完成。 【例例 11】设多项式 11121314 21222324 31323334 41424344 ( ) axaxaxax axaxaxax p x axaxaxax axaxaxax + + = + + 则)(xp的次数至多是（ ） 。 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 5 【解解】应选取（A） ，将第 1 行的-1 倍加到第 2，3，4 行上去，得 1443134312421141 1434133312321131 1424132312221121 14131211 )( aaaaaaaa aaaaaaaa aaaaaaaa xaxaxaxa xp + = 再按第 1 行展开便知，)(xp至多是一次多项式，故选（A） 。 【例例 12】计算行列式 123 005 014 中第一行各元素的余子式 111213 ,MMM 和代数余子式 111213 ,AAA. 【解解】在行列式 123 005 014 中，第一行的元素分别为 111213 1,2,3aaa=.由余子式的定义 可知，元素 11 1a =的余子式 11 05 0 45 15 14 M= = ，元素 11 1a =的代数余子式 1 1 111111 05 ( 1)0 45 15 14 AMM + = = = . 元素 12 2a=的余子式 12 05 0 45 00 04 M= =，元素 12 2a=的代数余子式 1 2 121212 05 ( 1)(0 45 0)0 04 AMM + = = = = =. 元素 13 3a=的余子式 13 00 0 01 M=，元素 13 3a=的代数余子式 【例例 13】设 4 阶行列式 1234 2341 3412 2222 ，求 11121314 AAAA+. 【 解解 】 因 为 在 11121314 AAAA+中 ， 行 列 式 第 一 行 元 素1,2,3,4的 代 数 余 子 式 11121314 ,AAAA前面的系数全为1，所以使用替换法计算 11121314 AAAA+，即去掉 代数余子式 11121314 ,AAAA所在的第1行的所有元素1,2,3,4，换成代数余子式 6 11121314 ,AAAA前面的系数1,1,1,1，其余元素不变，按其原来的位置关系组装成一个 新的4阶行列式，即 11121314 1111 2341 0 3412 2222 AAAA+=（由于第一行和第四行 对应元素成比例）. 【例例 14】已知 5 阶行列式 27 22111 11222 5554535251 3534333231 1514131211 5 = aaaaa aaaaa aaaaa D，求： 4544434241 AAAAA+. 【解】将 5 D按第 4 行展开，得 27)(2 45444342415 =+=AAAAAD（1） 又将 5 D的第 2 行元素乘相应的第 4 行元素的代数余子式，得 0)(222 5544434241 =+AAAAA（2） 联立（1） ， （2）得 2 (1)（2）有 18 3 54 4544 =+ AA， 2 (2)（1）有 9 3 27 434241 =+AAA 4544434241 AAAAA+9918= 【例例 15】设 A 为 33 矩阵，2=A，把 A 按列分块为),( 321 AAA，其中)3 , 2 , 1( =jAj是 A 的第j列，则= 1213 ,3 ,2AAAA 。 【解】由行列式的性质知， 1211231223 ,3 ,2,3,3 ,2AAAAAAAAAA+= 6)2)(3(0,3 321 =+=AAA 【例例 16】设n阶矩阵),( 21n A?=，),( 13221 += n B?，其中 12 , n ?为n维列向量。已知行列式)0(=aaA，求行列式B的值。 【解】根据行列式的性质，得 13221 ,+= n B? 13221321 ,+= nn ? 132321 ,+= nn ? 7 13221 ,+= nn ? 1 123 ( 1), n A =+ ?=AA n1 ) 1( + =+= 为偶数若当 为奇数若当 nO na a n 2 ) 1(1 1 . 【例例 17】若 A 是n阶方阵，且EAAT=，1=A，证明0=+EA . 【解】EAEA T +=+，又EAAT=，1=A， TTTT EAAEAAAAAEA)(+=+=+=+EAA+=EA+= 0=+ EA. 第二章第二章 矩阵矩阵 【例例 2.1】已知)3 , 2 , 1 (=，) 3 1 , 2 1 , 1 (=，设 T A =，则= n A 【解】) 3 1 , 2 1 , 1 ( 3 2 1 = T A， AlA nn1 =，其中3 3 1 3 2 1 211=+=l. 于是 = = 1 2 3 3 3 2 12 3 1 2 1 1 3) 3 1 , 2 1 , 1 ( 3 2 1 33 111nnnn AA. 【例例 2.2】设 A 为n阶非零矩阵，证明当 T AA = 时，A 可逆。 【解】由于 = = nnnn n n nnnn n n aaa aaa aaa AAA AAA AAA A 21 22212 12111 21 22212 12111 ? T A= ijij Aa=。已知 A 是n阶非零矩阵，不妨设0 11 a，则 nnA aAaAaA 1112121111 +=?0 2 1 2 12 2 11 += n aaa?，A 可逆。 8 【例例 2.3】设n阶可逆矩阵 A 中每行元素之和均为常数a。证明： （1）常数0a （2） 1 A的每行元素之和均为 1 a。 【解】设 = nnnn n n aaa aaa aaa A ? ? ? 21 22221 11211 aaaa inii =+? 21 ， = + + + = a a a aaa aaa aaa A nnnn n n ? ? ? ? ? ? 21 22221 11211 1 1 1 . （1）反证之，假设0=a，则 = 0 0 0 1 1 1 ? A，由已知 A 可逆. = = 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 ? A 矛盾0a. （2）又 = = 1 1 1 1 1 1 ? a a a a A， = 1 1 1 1 1 1 1 ? aA即 = 1 1 1 1 1 1 1 1 ?a A. 1 A的每行元素之和均为 1 a 【例例 2.4】 设 A、B 均为n阶方阵，且BAAB=。 证明： （1）BEEA=+ 1 )(； （2）BAAB =. 【解】 （1）BEABABEEA+=+)( BEBAA+=)(E= 由定义，BEEA=+ 1 )( . （2）由（1）知 )()( 1 EAEAE+= )()(EABE+=BBAEA+ =EBABA+)(=EBAAB+， 于是，两边消去 E 得 AB=BA。 【例例 2.5】设 A 是n阶方阵，且0 3 =A，则（ ） （A）A 不可逆，且EA不可逆； （B）A 可逆，但 E+A 不可逆； 9 （C）EAA+ 2 及EAA+ 2 均可逆； （D）A 不可逆，且必有 2 0A=. 【解】应选（C） 。 0 3 =A 0 3 =A 0=A，A 不可逆， 又)( 23333 EAAAEAAEEE+=+=， AE +与EAA+ 2 均可逆。 同理：)( 2333 EAAAEAEEE+=， E-A 与EAA+ 2 均可逆。 因此，选（C） 。同时， （D）不成立。例如： 令 = 000 100 010 A，则有0 000 000 100 2 =A，但0 3 =A. 【例例 2.6】设矩阵 A、B 满足EBABAA82= ，其中 = 100 020 001 A，E 为单位矩阵， A为A 的伴随矩阵，则 B=_。 【解】EBABAA82= ，右乘 1 A， 1 82 =ABBA, 左乘A，得 1 82 =AAABBAA.EAAA = ，EABBA82=. 而2=A 即EABB822=，EBAB822=+， EBEA8)22(=+，EBEA4)(=+. 1 )(4 +=EAB = = 2 1 1 2 1 4 2 1 2 4 1 = 2 4 2 . 【例 2.7】 10 【解】【解】 【例例 2.8】 设 A、 B 为n阶矩阵， BA ,分别为A、B对应的伴随矩阵， 分块矩阵 = BO OA C， 11 则 C 的伴随矩阵= C（ ） 。 （A） BBO OAA （B） AAO OBB （C） ABO OBA （D） BAO OAB 【解】E BO OA ECCC= ，可由上式逐一检验，符合者即为正确答案。现检查（D） 。 = BAO OAB BO OA CC = = EO OE BA EBAO OAAB EBA= ，选（D）. 但这种方法太烦琐，因此作为选择题，可以采取下列简便方法：即加强条件，令 A、B 均为可逆矩阵，则 1 =AAA， 1 =BBB， = 1 1 1 BO OA BACCC = 1 1 BBAO OAAB = BAO OAB . 【例例 2.9】设 A 是n阶可逆矩阵，将 A 的第i行与第j行对调后得到的矩阵记为 B，证明 B 可逆，并求 1 AB。 【解】A可逆， 0A，0=AB，B 可逆。 若用 ij E表示将单位矩阵 E 的第i行与j行对调后得到的初等矩阵，则有AEB ij =，而 ijij EE= 1 ， 1111 )()( = ijij EAAAEAAB ijij EE= 1 )(. 【例例 2.10】设 = 44434241 34333231 24232221 14131211 aaaa aaaa aaaa aaaa A， = 414243 31323334 21222324 11121314 4aaaa aaaa aaaa aaaa B = 0001 0100 0010 1000 1 P， = 1000 0010 0100 0001 2 P，其中 A 可逆，则 1 B等于（ ） （A） 21 1 PPA （B） 2 1 1 PAP （C） 1 21 APP（D） 1 1 2 PAP 【解】应选（C） 。将 A、B 两矩阵进行对比。 12 矩阵B是由A交换第2， 3列， 且交换第1， 4列而得到的。 即 21P APB = （或 21P APB =） ， 而 1 P， 2 P均为初等矩阵，且 2 1 21 1 1 ,PPPP= . 1 21 11 2 1 1 1 12 1 )( =APPAPPPAPB，选（C）. 又 21P APB =， 1 12 11 1 1 2 1 21 1 )( =APPAPPPAPB. 1221 PPPP=， 1 12 =APPB，选（C）也正确。 【例例 2.11】设 A 是 43 矩阵，且 A 的秩 102 ( )2,020 ,()2 103 r ABr AB = 而则。 【例例 2.12】设 122 43,3,3 311 AtBABOt = 为 阶非零矩阵 且则。 解 B 是非零矩阵，秩( )1.,( )( )3.BABOAB=+由知 秩秩因此 秩(A) 3-秩(B) 3-1=2. 由此得知| 0.A= 13 122700 0432437(3),3. 311311 trrttt =+=+= 故 第三章第三章 向量向量 【例例 3.1】设 123 3()2()5()+=+，其中() 1 2,5,1,3 ,= () 2 10,1,5,10=，() 3 4,1,1,1=，求向量. 【解】由已知， 123 3()2()5()+=+，所以 ()()() () 123 11 (325)3 2,5,1,3 +2 10,1,5,10 -5 4,1,1,1 66 = 1,2,3,4 =+= 【例例 3.2】设() 1 1,1,0v =，() 2 0,1,1v =，() 3 3,4,0v =，求它们的线性组合 13 123 32vvv+. 【解】() 123 320,1,2vvv+=. 【 例例 3.3 】 已 知()1,2, T t=不 能 由() 1 2,1,1 T =，() 2 1,2,7 T = ， () 3 1,1,4 T =线性表示，求t的值. 【解】5t . 【例例 3.4】 设向量组 4321 ,线性无关， 则在下列向量组中， 线性无关的向量组是 （ ） 。 （A） 21 +， 32 +， 43 +， 14 + （B） 21 +， 32 +， 13 + （C） 21 ， 32 ， 43 ， 14 （D） 21 ， 32 ， 13 【解】由观察法可知： 对于（A） ，0)()()()( 14433221 =+，线性相关； 对于（C） ，0)()()()( 14433221 =+，线性相关； 对于（D） ，0)()()( 133221 =+，线性相关。 由排除法可知应选（B） 。 【例例 3.5】已知向量组() 1 1,0,5,2 T =，() 2 2,1,2,1 T =， () 3 1,1,2 T a=，() 4 2,1,4,1 T = 线性相关，则_a =. 【解】2/5. 【例例 3.6】已知向量组() 1 1,3,6,2 T =，() 2 3,2,3,4 T =， () 3 1,1,3 T t= 线性无关，则必有（ ） （A）2t =（B）1t =（C）2t = （D）t为任何实数 【解】选项()D正确. 【例例 3.7】已知向量组() 1 1,0,2,3 T =，() 2 1,1,3, T a=， () 3 1,1,1,1 T =，() 4 1,2,6,7 T =.问a为何值时，向量组 1234 , 线性相 关，并求它的一个最大线性无关组. 【解】当5a