计量经济学的基本数学工具

第二章回顾：计量经济学的基本数学工具,计量经济学,求和运算子（SummationOperator）是用以表示多个数求和运算的一个缩略符号。如果表示n个数的一个序列，那么我们就把这n个数的总和写为：,第一节代数知识,一、求和运算子与描述统计量1、求和运算子,计量经济学,性质SUM.1:对任意常数c，,求和运算子性质,性质SUM.2:对任意常数c，,性质SUM.3:若是n个数对构成的一个集合，且a和b是常数，则,计量经济学,2、平均数,给定n个数，我们把它们加起来再除以n，便算出它们的平均数（average）或均值：,当这些是某特定变量（如受教育年数）的一个数据样本时，我们常称之为样本均值，以强调它是从一个特定的数据集计算出来的。样本均值是描述统计量（DescriptiveStatistic）的一个例子；此时，这个统计量描述了点集的集中趋势。,计量经济学,均值的性质,假设我们取x的每次观测值并从中减去其均值：（这里“d”表示对均值的离差）。那么，这些离差之和必为零：,计量经济学,均值离差的重要性质,离差平方和等于的平方和减去平方的n倍:请加以证明。另请证明：给定两个变量的数据集,计量经济学,集中趋势的另一种表达：中位数,均值是我们所关注的集中趋势指标，但有时用中位数（Median）或样本中位数表示中心值也有价值。为了得到n个数的中位数，我们先把的值按从小到大的顺序排列。然后，若n是奇数，则样本中位数就是按顺序居中的那个数，例如，给定一组数字，中位数就是2。一般说来，中位数和均值相比，对数列中级（大或小）值的变化没那么敏感。若n是偶数，则居中数字便有两个，此时定义中位数的方法就不是唯一的。通常把中位数定义为两个居中数字的均值（仍指从小到大排序的数列）。,计量经济学,二、线性函数的性质,如果两个变量x和y的关系是：,我们便说y是x的线性函数（LinearFunction）：而和是描述这一关系的两个参数，为截距（Intercept），为斜率（Slope）。,一个线性函数的定义特征在于，y的改变量总是x的改变量的倍：其中，表示“改变量”。换句话说，x对y的边际效应（MarginalEffect）是一个等于的常数。,计量经济学,例2.1.1线性住房支出函数,假定每月住房支出和每月收入的关系式是Housing=164+0.27income那么，每增加1元收入，就有0.27元用于住房支出，如果家庭收入增加200元，那么住房支出就增加0.27200=54元。机械解释上述方程，即时一个没有收入的家庭也有164元的住房支出，这当然是不真实的。对低收入水平家庭，这个线性函数不能很好的描述housing和income之间的关系，这就是为什么我们最终还得用其他函数形式来描述这种关系。,计量经济学,图2.1.1Housing=164+0.27income的图形,例2.1.1线性住房支出函数,计量经济学,例2.1.1线性住房支出函数,在上述方程中，把收入用于住房的边际消费倾向（MPC）是0.27。它不同于平均消费倾向（APC）：APC并非常数，它总比MPC大，但随着收入的增加越来越接近MPC。,计量经济学,线性函数的性质,多于两个变量的线性函数：假定y与两个变量和有一般形式的关系：由于这个函数的图形是三维的，所以相当难以想象，不过仍然是截距（即=0和=0时y的取值），且和都是特定斜率的度量。由方程（A.12）可知，给定和的改变量，y的改变量是若不改变，即，则有因此是关系式在坐标上的斜率：,计量经济学,因为它度量了保持固定时，y如何随而变，所以常把叫做对y的偏效应（PartialEffect）。由于偏效应涉及保持其他因素不变，所以它与其他条件不变（CeterisParibus）的概念有密切联系，参数可作类似解释：即若，则因此，是对y的偏效应。,线性函数的性质,计量经济学,假定大学生每月对CD的需求量与CD的价格和每个月的零花钱有如下关系：式中，price为每张碟的价格，income以元计算。需求曲线表示在保持收入（和其他因素）不变的情况下，quantity和price的关系。,例2.1.2对CD的需求,计量经济学,图2.1.2quantity=120-9.8price+0.03income在income固定为900元时的图形,例2.1.2对CD的需求,计量经济学,图2.1.2描绘了在收入水平为900元时的二维图形。需求曲线的斜率-9.8是价格对数量的偏效应：保持收入固定不变，如果CD碟的价格增加1元，那么需求量就下跌9.8。（我们把CD碟只能离散购买的事实抽象化。）收入增加只是使需求曲线向上移动（改变了截距），但斜率仍然不变。,例2.1.2对CD的需求,计量经济学,线性函数的基本性质：不管x的初始值是什么，x每变化一个单位都导致y同样的变化。x对y的边际效应是常数，这对许多经济关系来说多少有点不真实。例如，边际报酬递减这个重要的经济概念就不符合线性关系。为了建立各种经济现象的模型，我们需要研究一些非线性函数（nonlinearfunction）。非线性函数的特点是，给定x的变化，y的变化依赖于x的初始值。,三、若干特殊函数及其性质,计量经济学,1.二次函数,刻画报酬递减规律的一个简单方法，就是在线性关系中添加一个二次项。考虑方程式式中，和为参数。当时，y和x之间的关系呈抛物线状，并且可以证明，函数的最大值出现在,计量经济学,1.二次函数,例如，若y=6+8x-2x2。（从而=8且=-2），则y的最大值出现在x*=8/4=2处，并且这个最大值是6+82-2（2）2=14。,图2.1.3y=6+8x-2x2的图形,计量经济学,对方程式意味着x对y的边际效应递减（diminishingmarginaleffect），这从图中清晰可见，应用微积分知识，也可以通过求这个二次函数的一阶导数得出。斜率=方程右端是此二次函数对x的导数（derivative）。同样，则意味着x对y的边际效应递增（increasingmarginaleffect），二次函数的图形就呈U行，函数的最小值出现在点处。,1.二次函数,计量经济学,在计量经济分析中起着最重要作用的非线性函数是自然对数（naturelogarithm），或简称为对数函数（logfunction），记为还有几种不同符号可以表示自然对数，最常用的是或。当对数使用几个不同的底数时，这些不同的符号是有作用的。目前，只有自然对数最重要，因此我们都用表示自然对数。,2.自然对数,计量经济学,2.自然对数,图2.1.4y=log（x）的图形,计量经济学,2.自然对数,从图能看出如下性质：1.当y=log（x）时，y和x的关系表现出边际报酬递减。2.当y=log（x）时，x对y永远没有负效应：函数的斜率随着x的增大越来越接近零，然而这个斜率永远到不了零，所以更不会是负的。3.log（x）可正可负：log（x）0，x14.一些有用的性质（牢记）：log（x1x2）=log（x1）+log（x2），x1，x20log（x1/x2）=log（x1）-log（x2），x1，x20log（xc）=clog（x），x0，c为任意实数,计量经济学,2.自然对数,对数可用于计量经济学应用中的各种近似计算。1.对于x0，有log（1+x）x。这个近似计算随着x变大而越来越不精确。2.两对数之差可用作比例变化的近似值。令x0和x1为两个正数，可以证明（利用微积分），对x的微小变化，有如果我们用100乘以上述方程，并记那么，对x的微小变化，便有“微小”的含义取决于具体情况。,计量经济学,2.自然对数,近似计算的作用：定义y对x的弹性（elasticity）为换言之，y对x的弹性就是当x增加1%时y的百分数变化。若y是x的线性函数：，则这个弹性是它明显取决于x的取值（弹性并非沿着需求曲线保持不变）。,计量经济学,2.自然对数,不仅在需求理论中，在许多应用经济学领域，弹性都是非常重要的。在许多情况下，使用一个常弹性模型都很方便，而对数函数能帮助我们设定这样的模型。如果我们对x和y都使用对数近似计算，弹性就近似等于因此，一个常弹性模型（constantelasticitymodel）可近似描述为方程式中，为y对x的弹性（假定x，y0）。这类模型在经验经济学中扮演着重要角色。目前，式中的只是接近于弹性这一事实并不重要，可以忽略。,计量经济学,例2.1.3常弹性需求函数,若q代表需求量而p代表价格，并且二者关系为则需求的价格弹性是-1.25.初略地说，价格每增加1%，将导致需求量下降1.25%。,计量经济学,2.自然对数,在经验研究工作中还经常出现使用对数函数的其他可能性。假定y0，且则，从而。由此可知，当y和x有上述方程所示关系时，,计量经济学,例2.1.4对数工资方程,假设小时工资与受教育年数有如下关系：根据前面所述方程，有由此可知，多受一年教育将使小时工资增加约9.4%。通常把%y/x称为y对x的半弹性（semi-elasticity），半弹性表示当x增加一个单位时y的百分数变化。在上述模型中，半弹性是个常数并且等于，在上述例子中，我们可以方便的把工资和教育的关系概括为：多受一年教育无论所受教育的起点如何都将使工资提高约9.4%。这说明了这类模型在经济学中的重要作用。,计量经济学,2.自然对数,另一种关系式在应用经济学中也是有意义的：其中，x0。若取y的变化，则有，这又可以写为。利用近似计算，可得当x增加1%时，y变化个单位。,计量经济学,例2.1.5劳动供给函数,假定一个工人的劳动供给可描述为式中，wage为小时工资而hours为每周工作小时数，于是，由方程可得：换言之，工资每增加1%，将使每周工作小时增加约0.45或略小于半个小时。若工资增加10%，则或约四个半小时。注意：不宜对更大的工资百分数变化应用这个近似计算。,计量经济学,考虑方程此处log（y）是x的线性函数，但是怎样写出y本身作为x的一个函数呢？指数函数（exponentialfunction）给出了答案。我们把指数函数写为y=exp（x），有时也写为，但在我们课程中这个符号不常用。指数函数的两个重要的数值是exp（0）=1和exp（1）=2.7183（取4位小数）。,3.指数函数,计量经济学,3.指数函数,图2.1.4y=exp（x）的图形,计量经济学,从上图可以看出，exp（x）对任何x值都有定义，而且总大于零。指数函数在如下意义上是对数函数的反函数：对所有x，都有logexp（x）=x，而对x0，有explog（x）=x。换言之，对数“解除了”指数，反之亦然。对数函数和指数函数互为反函数。指数函数的两个有用性质是exp（x1+x2）=exp（x1）exp（x2）和expclog（x）=xc,3.指数函数,计量经济学,记忆：经济学中常用的一些函数及其导数有,4.微分学,计量经济学,当y是多元函数时，偏导数（partialderivative）的概念便很重要。假定y=f（x1，x2），此时便有两个偏导数，一个关于x1，另一个关于x2。y对x1的偏导数记为，就是把x2看做常数时方程对x1的普通导数。类似的，就是固定x1时方程对x2的导数。若则这些偏导数可被视为经济学所定义的偏效应。,4.微分学,计量经济学,把工资与受教育年数和工作经验（以年计）相联系的一个函数是exper对wage的偏效应就是上式对exper的偏导数：这是增加一年工作经验所导致工资的近似变化。注意这个偏效应与exper和educ的初始水平都有关系。例如，一个从educ=12和exper=5开始的工人，再增加一年工作经验，将使工资增加约0.19-0.085+0.00712=0.234元。准确的变化通过计算，结果是0.23，和近似计算结果非常接近。,例2.1.6含交互项的工资方程,计量经济学,在最小化或最大化单或多变量函数时，微分计算起着重要作用。如果是一个k元可微函数，则在所有可能的xj值中最小化或最大化f的必要条件是换言之，f的所有偏导数在处都必须取值为零。这些条件被称为函数最小化或最大化的一阶条件（firstordercondition）。,4.微分学,计量经济学,参看附件习题册。,思考题,计量经济学,一、随机变量及其概率分布假设我们掷一枚钱币10次，并计算出现正面的次数，这就是一个实验（experiment）的例子。一般地说，一个实验是指至少在理论上能够无限重复下去的任何一种程序，并且它有一个定义完好的结果集。一个随机变量（randomvariable）是指一个具有数值特征并由一个实验来决定其结果的变量。,第二节概率论基础,计量经济学,按照概率和统计学的惯例，我们一律用大写字母如常见的W，X，Y和Z表示随机变量，而用相应的小写字母w，x，y和z表示随机变量的特定结果。例如，在掷币实验中，令X为一枚钱币投掷10次出现正面的次数。所以X并不是任何具体数值，但我们知道X将在集合中取一个值。比方说，一个特殊的结果是x=6。我们用下标表示一系列随机变量。例如，我们记录随机选择的20个家庭去年的收入。可以用X1，X2，X20表示这些随机变量，并用x1，x2，x20表示其特殊结果。,一、随机变量及其概率分布,计量经济学,如定义所言，即使随机变量描述的是一些定性事件，我们也总定义它的结果是数值。例如，考虑只掷一枚钱币，其两个结果是正面和反面。我们可以定义一个随机变量如下：如果出现正面则X=1；如果出现反面则X=0。一个只能取0和1两个值的随机变量叫做贝努利（或二值）随机变量Bernoulli（orbinary）randomvariable。XBernoulli（）（读作“X服从一个成功概率为的贝努利分布）：P（X=1）=，P（X=0）=1-,一、随机变量及其概率分布,计量经济学,1.离散随机变量离散随机变量（discreterandomvariable）是指一个只取有限个或可数的无限个数值的随机变量。“可数的无限个”：虽然随机变量可取无限个值，但这些值可以和正整数一一对应。贝努力随机变量是离散随机变量的最简单的例子。,一、随机变量及其概率分布,计量经济学,一个离散随机变量要由它的全部可能值和取每个值的相应概率来完整描述。如果X取k个可能值其概率p1，p2，pk被定义为pj=P（X=xj），j=1，2，k（读作：“X取值xj的概率等于pj”。）其中，每个pj都在0-1之间，并且p1+p2+pk=1,1.离散随机变量,计量经济学,X的概率密度函数（probabilitydensityfunction，pdf）概括了X的可能结果及其相应概率的信息：而且对某个j，凡是不等于xj的x都有f（x）=0。换言之，对任何实数x，f（x）都是随机变量X取该特定值x的概率。当我们设计多于一个随机变量时，有时需要给所考虑的pdf加一个下标：例如fx是X的pdf，fY是Y的pdf等等。,1.离散随机变量,计量经济学,给定任一离散随机变量的pdf，就不难计算关于该随机变量的任何事件的概率。例如，设X为一名篮球运动员在两次罚球中的命中次数。因此X的三个可能值是0，1，2。假定X的pdf是f（0）=0.20，f（1）=0.44和f（2）=0.36这三个概率之和必然为1.利用这个pdf，我们能算出该运动员至少投中一球的概率：P（X1）=P（X=1）+P（X=2）=0.44+0.36=0.80。X的pdf如下图示：,1.离散随机变量,计量经济学,1.离散随机变量,图2.2.1两次罚球命中次数的pdf,计量经济学,2.连续随机变量连续随机变量（continuousrandomvariable）是指一个取任何实数的概率都为零的变量。这个定义有点违背直觉，因为在任何应用中，我们最终都会观测到一个随机变量取得的某种结果。这里的思想是，一个连续随机变量X的可能取值如此之多，以致我们无法用正整数去计算，因而，逻辑上的一致性就要求X必须以零概率取每一个值。,一、随机变量及其概率分布,计量经济学,在计算连续随机变量的概率时，讨论一个连续随机变量取某特定值的概率是没有意义的，最方便的是使用累积分布函数（cumulativedistributionfunction，cdf）。设X为任意随机变量，它对任何实数x的cdf被定义为F（x）P（Xx）对于一个连续随机变量，F（x）就是概率密度函数f之下、点x以左的面积。因为F（x）就是一个概率，所以它总是介于0-1之间。此外，若x1c）=1-F（c）2.对任何两个数ac）和P（aXb）=P（aXb）=P（aX0，则sd（aX）=asd（X）。,5.标准差,计量经济学,作为方差和标准差性质的一个应用而且本身也是有实际意义的一个问题假如给定随机变量X，我们将它减去其均值并除以其标准差，便定义了一个新的随机变量Z这又可写为Z=aX+b，其中a=（1/）而b=-（/）。可得：E（Z）=aE（X）+b=（/）-（/）=0Var（Z）=a2Var（X）=2/2=1因此，随机变量Z的均值为零，方差（或者标准差）为1。这一过程有时被称为将随机变量X标准化，而Z则叫做标准化随机变量（standardizedrandomvariable）。,5.标准化一个随机变量,计量经济学,1.关联度：协方差与相关虽然两个随机变量的联合pdf完整地描述了它们之间的关系，但对于它们大致如何互相变动，仍需要一个扼要的度量手段。正如期望值和方差一样，这类似于用一个数字来概括整个分布的某一方面，现在要概括的便是两个随机变量的联合pdf。,四、联合与条件分布的特征,计量经济学,两个随机变量X和Y之间的协方差（covariance）（有时也叫做总体协方差，以强调它考虑的是描述一个总体的两个随机变量之间的关系），被定义为乘积（X-X）（Y-Y）的期望值：有时又记为。若，则平均而言，当X超过其均值时，Y也超过其均值；若，则平均而言，当X超过其均值时，Y低于其均值。,2.协方差,计量经济学,计算的几个有用表达式如下：协方差度量两个随机变量之间的线性相依性（lineardependence）。一个正的协方差表示两随机变量同向移动，而一个负的协方差则表示两随机变量反向移动。,2.协方差,计量经济学,性质Cov.1：若X和Y相互独立，则注意：此性质的反命题并不成立：X和Y之间的协方差为零并不意味着X和Y相互独立。性质Cov.2：对任意常数a1，b1，a2和b2，都有此性质的重要含义在于，两个随机变量之间的协方差会因为将两者或者两者之一乘以一个常数倍而改变。这在经济学中之所以重要，是因为诸如货币变量和通货膨胀率等，都可使用不同的度量单位进行定义而不改变其实质。,协方差的性质,计量经济学,最后，知道任何两随机变量之协方差的绝对值肯定不会超过它们的标准差之积也有用处，此即著名的柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwartzinequality）。性质COV.3,协方差的性质,计量经济学,假定我们想知道劳动总体中受教育程度和年薪之间的关系，我们就可令X代表教育，Y代表薪水，然后计算它们的协方差。然而我们得到的答案却取决于教育和薪水的度量单位。协方差性质Cov.2意味着，教育和薪水之间的协方差，视薪水是以美元还是以千美元度量或者教育是以月还是以年计算而定。很明显，变量度量单位的选择对它们有多强的关系并没有影响。但是它们之间的协方差却与度量单位有关。,3.相关系数,计量经济学,取决于度量单位是协方差的一个缺陷。为克服这一缺陷，现引进X和Y的相关系数（correlationcoefficient）：X和Y的相关系数有时记做（而且有时称总体相关）。,3.相关系数,计量经济学,性质Corr.1-1Corr（X，Y）1若Corr（X，Y）=0，或等价地Cov（X，Y）=0，则X