-本科经济数学(多元函数的极限与连续偏导数全微分等--完成页.ppt

三、二元函数的极限（第196页定义2）,说明：,（1）定义中的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例4求证,证,当时，,原结论成立,例求极限,解,其中,例证明不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,确定极限不存在的方法：,利用点函数的形式有,四、二元函数的连续性（第197页）,定义3,例讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,(0,0)是函数的间断点,二元函数的间断点可以是孤立点，也可以是一条曲线.例如函数：,的间断点就是一条抛物线.,五、闭区域上二元连续函数的性质（第198页）,在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的二元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（1）最大值和最小值定理,（3）介值定理,（2）有界性定理,在有界闭区域D上的二元连续函数，在D上一定有界,二元初等函数：由二元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的二元函数叫二元初等函数,一切二元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例,解,例,解：,堂上练习题,堂上练习题,上节课内容小结：,1、空间两点间距离公式,2、二元函数定义域的确定,3、二元函数极限的定义和求法,4、二元函数连续性的讨论,一、偏导数的定义及其计算方法（199页）,三、高阶偏导数（第202页）,（偏增量比的极限）,纯偏导,混合偏导,（相等的条件）,第二节、偏导数全微分(199-206页),二、偏导数的几何意义（第201页）,四、全微分（第203页）,一、偏导数的定义及其计算方法,一阶偏导数的等价定义：,偏导数的概念可以推广到二元以上函数,如在处,三元函数的一阶偏导数的等价定义：,解,证,原结论成立,解,不存在,证,有关偏导数的几点说明：,、,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,、,求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；,解,例,解,按定义可知：,、偏导数存在与连续的关系,？,但函数在该点处并不连续.,偏导数存在连续.,一元函数中在某点可导连续，,多元函数中在某点偏导数存在连续，,例讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,(0,0)是函数的间断点,二、偏导数的几何意义（201页）,如图,偏导数的几何意义:（201页）,纯偏导,混合偏导,定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.,三、高阶偏导数（202页）,解,解,解,解,问题：,具备怎样的条件才能使混合偏导数相等？,解,证毕,由一元函数微分学中增量与微分的关系得,三、全微分（203-206页）,（1）全增量的概念（第203页）,（2）全微分的定义（第203页定义2）,事实上,（3）可微的条件（第204页）,证,总成立,同理可得,一元函数在某点的导数存在微分存在,多元函数的各偏导数存在全微分存在,？,例如，（教材203页最后一段）,则,当时，,说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，,证,（依偏导数的连续性）,同理,习惯上，记全微分为,全微分的定义可推广到三元及三元以上函数,通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理,叠加原理也适用于二元以上函数的情况,解,所求全微分,解,所求全微分,解,所求全微分,解,所求全微分,解,所求全微分,（4）全微分在近似计算中的应用（第205页）,也可写成,解,由公式得,上节课内容小结：,1、偏导数及其求法,2、高阶偏导数及其求法,3、全微分公式及其求法,一、多元复合函数的偏导数（第207页）,二、全微分形式的不变性（第209页）,第三节、多元复合函数和隐函数的求导法则（第207-211页）,三、隐函数的偏导数（第210页）,证,一、多元复合函数的偏导数（第207页）,上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.,如,上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：,链式法则如图示（208页）,解,解,例：设,求：,解,例：设,求：,解：,例：设,求全导数：,解：,法二：,全微分形式不变性的实质：无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的.,二、全微分形式不变性（第209页）,解,上节课内容小结：,1、偏导数及其求法,2、高阶偏导数及其求法,3、全微分公式及其求法,4、复合函数微分公式,（分以下几种