2_3行列式性质.ppt

第三节行列式性质,线性代数,的一个重要课题,由n阶行列式的定义可知，当n较大时，,用定义计算行列式运算量很大,25阶的行列式，需作25！1.551025次乘法，,若用每秒运算亿万次的电脑，也要算一千年才行！,因此如何有效地计算行列式，这是我们要解决,例如，计算一个,为了简化行列式的计算,有必要来研究行列式的性质.,一、行列式的性质,行列式称为行列式的转置行列式.,记,将行列式D的行与列依次互换后得到的行列式,称为D的转置行列式，记为,性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质1表明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的,对列也同样成立.反之亦然。,性质1行列式与它的转置行列式相等.,即,例如,性质2的作用：调整行列式的结构方便计算。,推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,证明,互换相同的两行(列），有,性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式,记为：,思考：若为n阶行列式，,推论2行列式的某一行(列)的元素全为零,则此行列式为零。,推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,证明,推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,解,例2证明奇数阶反对称行列式的值为零，即证明,证明,性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,则D等于下列两个行列式之和：,例3计算,解,例4计算,解,=0,例5判断,是否成立？,解,性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,例如,判断下列结论是否正确?,例6,注意不能将某一行(列)k倍后再加上另一行(列).,性质1行列式与它的转置行列式相等.,性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.,推论1行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面,推论2行列式的某一行(列)的元素全为零,则此行列式为零。,推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,推论3行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,性质5把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式不变,二、行列式按行（列）展开法则,1.余子式与代数余子式,行列式等于它的任一行(列)的各元素与其代数余子式的乘积之和.即,2.行列式按行（列）展开法则,例7计算行列式,解,按第一行展开，得,按第二行展开，得,例8计算行列式,解,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列式的计算化为低阶行列式计算的重要工具.,例9,求，其中为元素的代数余子式。,设,此题化为一个四阶行列式的计算.若此题直接计算四个代数余子式,则计算较繁且容易出错.,(有两行元素对应相同),由行列式按行（列）展开法则：,你从本题得到什么启示？,某元素的余子式与代数余子式仅与该元素所在的位置有关，而与它本身及它所在的行列的其他元素的数值无关。,推论行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即:,证明：,设,i行,j行,例10已知四阶行列式D的第一行元素依次是1，3，0，-2，第三行元素对应的代数余子式依次是8，k，-7，10，求k的值。,根据推论知：,解得,关于代数余子式的重要性质,性质1行列式与它的转置行列式相等.,性质2互换行列式的两行（列）,行列式变号.,性质3行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式.,推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,小结,1.行列式的性质,推论1行列式的某一行(列)的元素全为零,则此行列式为零。,推论2行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零,性质4若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和.,则D等于下列两个行列式之和：,性质5把行列式的某一列（行）的各元