第一章-仿射几何1解析.ppt

高等几何电子教案,1.1平行射影与仿射对应,一.两直线间的平行射影与仿射对应,1.平行射影或透视仿射：,若直线,且,，,点A,B,C,D,过点A,B,C,D作直线的平行线交于,，则可得直线,到直线,的一个映射。,称为平行射影或透视仿射，记为T,原象点：A,B,C,D直线a上的点,平行射影的方向：直线,透视仿射与方向有关，方向变了，则得到另外的透视仿射,O,点O为自对应点(同一平面上两相交直线的公共点),2.仿射（或仿射变换）：,仿射是透视仿射链或平行射影链,表示透视仿射链，T表示仿射（如图）,仿此，每一个对应点都可以这样表示。,注：,1.仿射是有限回的平行射影组成的,2.判断仿射是否是透视仿射的方法：对应点的联线是否平行,3.书写的顺序与平行射影的顺序是相反的,二.两平面的平行射影与仿射对应：,1.平行射影：,如图,点A,B,C共线a，则共线,g,A,B,C,a,l,两相交平面的交线为自对应点的集合即对应轴,平面到平面的仿射是有限回平行射影的积组成的，是透视仿射链,性质：,1.透视仿射保留同素性.（几何元素保留同一种类而不改变）即点对应点，直线对应为直线.,2.保留点与直线的结合性,2仿射：,1.2仿射不变性与不变量,定义1,仿射不变性与不变量：经过一切透视仿射不变的性质和数量,仿射图形：经过任何仿射对应不改变的图形.仿射性：经过任何仿射对应不改变的性质.仿射量：经过任何仿射对应不改变的数量.,定理1：,两直线间的平行性是仿射不变性.（反证法）,推论,平行四边形是仿射不变的图形.,定义2,简比：,设A,B,C为共线三点，这三点的简比（ABC）定义为以下有向线段的比：,当点C在线段AB上时，(ABC)0,当点C在线段AB或BA的延长线上时，,当点C与点A重合时，,当点C与点B重合时，,当点C为线段AB的中点时，(ABC)=-1,则点C称为分点，A,B两点称为基点,简比(ABC)等于点C分割线段AB的分割比的相反数,例1,经过点A(-3,2)和B(6,1)两点直线被直线x+3y-6=0截于P点，求简比（ABP）,解:,设,(ABC)0,(ABC)=0,(ABC)不存在,定理2,共线三点的简比是仿射不变量.,定理3,两平行线段之比是仿射不变量.,点P在直线x+3y-6=0上.,A,B,C,=,=,要证:,A,B,C,D,E,证明:,如图,作DEAC,=,=,简比是仿射不变量,定理4,一直线上两线段之比是仿射不变量.,定理5,在透视仿射下，任何一对对应点到对应轴的距离之比是一个常数,g,A,B,C,证明:,设T为到的一个透视仿射,如图,并且,则,=,若ABg,=,=,g,则显然成立.,若ABg,=,g,=,过A,B,分别引轴g的垂线,垂足分别为,由相似三角形得:,定理2,任意两个三角形面积之比是仿射不变量.,证明:,分两种情形,特殊情形:有两对对应点在对应轴g上并且重合.如图,A,B,C,g,一般情形:如图,对应三角形的三对对应顶点都不在对应轴上,ABC与,对应,三对对应边相交于对应轴g上.,A,B,C,g,X,Y,Z,由的证明可得:,推论1,在仿射变换下，任何一对对应多边形面积之比是仿射不变量,推论2,在仿射变换下，任何两条封闭凸曲线所围成的面积之比是仿射不变量,1.3平面内的仿射变换及其决定,一.平面内的透视仿射,设为平面到平面的透视仿射，射影方向为.,设为平面到平面的透视仿射，射影方向为.,则,g,A,B,设,T将上的点A变换为其本身上的点,T将上的点B变换为其本身上的点,a,T将上的点变换为上的点,将上的直线a变换为上的直线,即T保留同素性和接合性.,T将上的相交直线a,b变换为上的相交直线.,T将上的平行直线变换为上的平行直线.,和的交线g上的每一点经过T不变，且T具有仿射不变性与不变量，称T为平面到自身的透视仿射,定理1,平面内的透视仿射由一对对应轴与一对对应点完全决定,证明:,设已知对应轴g与不在其上的一对对应点为平面,上任一已知点,定理2,给定平面内的两个三角形，至多利用三回透视仿射可使一个三角形变为另一个三角形,B,A,X,g,连直线AB,设与对应轴g相交于X,连X与,则AX,与是一对对应直线,过B引的平行直线,与B对应的,点就只能是这直线与的交点.,是唯一确定的.,B,A,AB,=,g,g,o,A,B,C,证明:,把ABC平移到使顶点A落在上,把平移看作,透视仿射的特例.记为,A,B,C,对应轴不存在,对应边互相平行,再以直线为透视轴,以,作为一对对应点确定一个透视仿射.,最后以为对应轴,以,作为一对对应点确定一个透视仿射,T为仿射变换,定理3,原象点不共线，映象点也不共线的三对对应点决定唯一的仿射变换.,若两三角形有一对顶点重合,则利用两回透视仿射就够了.,若两三角形有两对顶点重合,则利用一回透视仿射就够了.,仿射等价图形:经过仿射变换可以互相转换的图形.,任意三角形是仿射等价的.,证明:,存在性:设是平面内不共线的任意三点.,也是不共线的任意三点.,存在一个仿射变换T,使,在平面内任意取一点P,设交于Q.,由定理2知.,Q,P,在平面内任意取一点P,设,于Q,为仿射.保持接合性且简,比不变,都在直线上.,且有:,对于平面上任意一点P,都有,作业:,1.4仿射变换的代数表示,设有一正交笛卡儿坐标系xoy，以E为单位点（如图）。一个仿射变换T将平面上一点P变换为一点，求P的坐标（x,y）和的坐标之间的关系。,仿射变换T由三对对应点唯一确定.设的坐标为,X轴上的单位点的映象的坐标为,y轴上的单位点的映象的坐标为,设P在坐标轴上的正射影，且，则T将平行四边形及分别变换为平行四边形及.由于T保留简比.则,x,y,O,P(x,y),或者写为,且,因为三点不共线，三点不共线,所以行列式不为O,(1),(2),定义1,把笛氏坐标系在仿射对应下的象叫仿射坐标系，叫点的仿射坐标，记为,对于斜交笛氏坐标系，仿射坐标系，上面的代数式（1），（2）都成立。,例1,求使点（0，0），（1，1），（1，-1）分别变为点（2，3）,（2，5），（3，-7）的仿射变换。,将点,解:,分别代入仿射变换的代数表示式得:,仿射变换式为:,例2,求仿射变换的不变直线。,解:,设所求的不变直线为:ax+by+c=0,仿射变换的特例:,(3),(4),当a=1时,(