3.3 相似三角形的性质和判定.ppt

相似三角形的性质和判定,3.3,你的两块三角板是不是相似？,和同学的有没有相似的？,与老师的呢？,实际生活中还有哪些三角形是相似的？举例说明.,图3-14中，右边的三角形是由左边的三角形ABC放大得到的，量一量它们的三个角和三条边，它们的三个角对应相等吗？与，相等吗？,图3-14,我们把三个角对应相等，且三条边对应成比例的两个三角形叫作相似三角形,相似三角形的对应边的比k叫作相似比.,如果与ABC相似，且A，B，C分别与A，B，C对应，,那么记作ABC，读作“相似于ABC”.,从上面知道，如果两个三角形相似，那么它们的三条边对应成比例.反之对吗？,即，如果两个三角形的三条边对应成比例，那么它们相似吗？,如图3-15，ABC的边AB，BC，CA的长度分别为4.2cm，3.6cm，3cm；,图3-15,4.2cm,1.5cm,2.1cm,3.6cm,3cm,1.8cm,的边，的长度分别为2.1cm，1.8cm，1.5cm,的三条边与ABC的三条边对应成比例吗？,计算：=，=，=.,成比例.,与ABC相似吗？,相等.,量出ABC和的内角，A与A相等吗？B和B呢？C和C呢？,答：相等.,相似.,答：相似.,可以证明下述定理：,判定定理1如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似,判定定理1可以简单说成：,三边对应成比例的两个三角形相似,举例,例1如图3-16，已知ABC，并且=3cm，AB=2.4cm，BC=1.6cm，B=65，C=75.求的长，以及B，A的度数？,图3-16,答：菱形的两条对角线的长度分别为60cm，80cm.,再由已知条件，得,由于相似三角形的对应角相等，因此B=B=65，C=C=75.,于是,举例,例2图3-17中的两个三角形是否相似？为什么？,图3-17,图3-17,从而DEFABC.(三边对应成比例的两个三角形相似),由于,因此,1.任意两个等边三角形是否相似？为什么？,2.三角形的三条中位线围成的三角形与原三角形是否相似？为什么？,3.已知DEFABC，且A=50，B=20，求F的度数.,答：F=110.,4.已知：在ABC与DEF中，AB=2.2cm，BC=1.6cm，CA=3cm；DE=3.3cm，EF=2.4cm，FD=4.5cm.求证：ABCDEF.,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么它们的第三个角相等吗？,由于三角形的内角和为180，因此它们的第三个角也相等.,画一个三角形，使它的一个角为30，与同桌和邻近桌的同学交流，所画的三角形相似吗？,画一个三角形，使它的三个角中两个角分别为30，50.与同桌和邻近桌的同学交流，所画的三角形相似吗？,画一个三角形，使它的三个角中两个角分别为40，55.与同桌和邻近桌的同学交流，所画的三角形相似吗？,由此猜想：有一个角对应相等的两个三角形相似吗？有两个角对应相等的两个三角形相似吗？,可以证明下述定理：,判定定理2如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.,判定定理2可以简单说成：,两角对应相等的两个三角形相似,举例,例3已知：在ABC与DEF中，A=48，B=82，D=48，F=50.求证：ABCDEF.,E=180-D-F=180-48-50=82.,A=D=48，B=E=82，,ABCDEF.(两角对应相等的两个三角形相似),举例,例4如图3-18，已知：在ABC中，EFBC求证：AEFABC.,AEF=ABC.(两直线平行，同位角相等),AEFABC.,又A是公共角，,图3-18,举例,例5如图3-19，ABC，相似比为k，分别作BC，上的高AD，求证：,B=B,又=ADB=90，,ABD.(两角对应相等的两个三角形相似),图3-19,举例,例6若ABC，相似比为k，那么它们的周长比是多少？面积比是多少？,由此得出：,相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方.,1.在ABC与DEF中，A=39，B=61，E=39，F=80.则ABC.,EDF,2.若ABC，它们的周长分别为60cm和72cm，且AB=15cm，=24cm，求BC，AC，的长.,答：BC=20cm，AC=25cm，cm，,3.若ABC，AB=3，=4.5，且SABC+S=78，求的面积.,答：S=54.,4.相似三角形面积的比等于对应高的比的平方吗？为什么？,答：相似三角形面积的比等于对应高的比的平方.,(提示：因为相似三角形对应高的比等于相似比，而面积比等于相似比的平方.),5.如图3-20，ABC中，A=90，EDBC，则：,答：ABCDBE，两角对应相等的两个三角形相似(B=B，BDE=BAC),（1）ABC与DBE是否相似？为什么？,图3-20,（2）已知AC=6，AB=8，BE=5，则BC，DE分别为多少？,答：RtABC中，AB=8，AC=6，BC=10.又ABCDBE，即,图3-20,画ABC与，使A=A，且与ABC相似吗？把相似比2换成任意一个正数k，与ABC相似吗？,可以证明下述定理：,判定定理3如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.,判定定理3可以简单说成：,两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似.,两条直角边对应成比例的两个直角三角形相似吗？为什么？,相似，因为符合相似三角形判定定理3的条件.,举例,例7已知在ABC与DEF中，C=F=70，AC=3.5cm，BC=2.5cm，DF=2.1cm，EF=1.5cm.求证：DEFABC.,证明：由于,因此,又F=C，,因此DEFABC.(两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似),且F是边FD与FE的夹角，C是边CA与CB的夹角，,如图3-21，在ABC与DEF中，B=E=40，AB=4.2cm，AC=3cm，DE=2.1cm，DF=1.5cm.ABC与DEF有两边对应成比例吗？有一个角对应相等吗？这两个三角形相似吗？,图3-21,从上述例子你能得出什么结论？,图3-21,有两边对应成比例.,图中B=E，而AD，故这两个三角形不相似.,在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两边的夹角相等，则这两个三角形不相似.,有两边对应成比例.,图中B=E，而AD，故这两个三角形不相似.,在两个三角形中，有两边对应成比例，如不是这两边的夹角相等，则这两个三角形不相似.,举例,例8如图3-22在RtABC与Rt中，C=C=90，且求证：ABC.,图3-22,证明：由已知条件得,从而,由此得出，,因此ABC.(三边对应成比例的两个三角形相似),图3-22,还可以根据相似三角形的判定定理3，来证明这两个直角三角形相似.,在例8的证明中，还可以根据哪个判定定理说明ABC？,把例7中的改成任意一个正数k，Rt与RtABC相似吗？由此你能得出什么结论？,把改为正数k，这两个直角三角形仍相似.,由此可得出，在两个直角三角形中，有两边对应成比例，则这两个直角三角形相似.,1.已知在RtABC与Rt中，C=C=90，AC=3cm，BC=2cm，=4.2cm，=2.8cm.求证：ABC.,2.已知在RtABC与Rt中，C=C=90，AB=6cm，AC=4.8cm，=5cm，=3cm.求